2023届高考数学二轮复习导数专讲第03讲不等式证明含解析

Page1第3讲不等式证明知识与方法构造函数，利用导数研究函数单调性或最值，从而证明不等式． (1)证明(其是为常数)，常见的方法是求出的最小值与比大小； (2)证明，常用的方法是设，然后求出的最小值与0比大小； (3)需要变形，因式分解或放缩变形，如证明，也有可能找到一个，使得成立； (4)转化为对数形式后得到另一些常用不等式，如：当时，，，，等．典型例题【例1】证明：，当且仅当时，等号成立．【分析】作差后构造函数，求导后求最小值即可．【解析】令，则，当时，；当时，，所以，即，当且仅当时，等号成立．【点睛】(1)此不等式为基本的指数不等式，用途广泛；(2)将通过适当变形，可以得到一些常用不等式，如： ，，， ，等．【例2】证明：当时，，当且仅当时，等号成立．【分析】作差后构造函数，，利用单调性证明．【解析】令，，则，记，则，所以在上单调递增，可得，所以在上单调递增，可得，所以当时，，当且仅当时，等号成立．【点睛】(1)此不等式在高观点视觉下与的泰勒展开有关，需条件；(2)显然，当时，；(3)于是当时，；当时，．【例3】证明：当时，．【分析】令(比例换元)，则原不等式可化为，构造函数后利用单调性即可．【解析】令，则原不等式可化为①．令，，，则①式，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，，得证．【点睛】(1)此不等式即对数平均不等式，用途广泛，使用前需证明；(2)结合均值不等式，有；(3)此不等式的指数形式为当时，；(4)通过适当赋值，可得一些常见不等式，如，，，，，等．【例4】证明不等式：．【分析】作差后可构造函数利用求导来证明．【解析】令，则， ，，记，则，所以当时，，当时，，所以，得证．【点睛】本题函数形式复杂，其导数并不复杂，但正负难判，因此用了两次导数．【例5】当时，求证．【分析】作差后可构造函数，利用求导来证明．【解析】令，则，所以在上单调递减，所以，即．令，，则，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即．综上所述，当时，．【点睛】在高等数学背景下，此不等式与的泰勒展开有关．【例6】设，，证明【分析】双变量问题，可用主元法．【解析】令，则，所以当时，；当时，，所以，得证．【点睛】令，原不等式可化为，其实是函数的凹凸性．【例7】已知，且，求证：．【分析】取对数后化同形，构造函数证明不等式．【解析】因为，所以．令，只需证在上恒成立．则，得证．【点睛】两边化同形，构造函数，利用单调性证明不等式是常用方法．【例8】设函数，为常数)，曲线与直线在点相切． (1)求的值； (2)证明：当时，．【分析】已知切点和切线方程可求原函数解析式，通过构造函数求最值加以证明．因为原函数中有对数函数、根式函数和一次函数，要证不等式，运用作差法的思想只要证明，可构造函数利用求导来证明．考虑到和其导数中都会出现，可利用均值不等式进行放缩，达到降低计算量的目的．【解析】(1)由的图象过点，代人得．由题意曲线在点处的切线斜率为，又，所以，解得．(2)方法一由均值不等式，当时，，故．记，则．令，则当时，，所以在上是减函数．又由得，所以，所以在上是减函数，又由得，所以当时，．方法二由(1)知．设，则，故在上单调递减．所以当时，，即．又当时，有，故当时，．记，则，因此在上单调递减．又，所以，即．所以．方法三令，由得，则所以．【点睛】(1)第(2)小题若直接作差求导，则非常麻烦，在证明过程中利用不等式放缩可以降低计算量；(2)方法一为原解法，应用均值不等式对导函数进行放缩，本质是直线为曲线在处的七线，仍不明朗，需对分子进行处理；方法二应用了均值不等式和对数不等式进行放缩，但感觉反而变麻烦了；(3)方法三中，换元的作用是去掉根式，再利用时进行放大，运用因式分解即可证明，非常简洁，远胜方法一和方法二．【例9】已知函数． (1)若当时，，求的最小值； (2)设数列的通项，证明：．【分析】1、恒成立问题；2、导数与数列不等式结合，利用第(1)小题结论，构造一个不等式关系，是常见的变形，进而只需得到与之间的一些关系再利用数列求和即可．【解析】(1)由已知，得．(1)当时，因为，所以，所以为减函数，成立；(2)当时，，所以当时，，所以在上为增函数，，不符合．综上可得，的最小值为．(2)令，由(1)知当时，，即．取，则，即，于是，得证．【点睛】导数与数列不等式结合时，要想一想【例】中隐含的条件与结论，通过变形得到我们需要的关系式．【例10】设函数，，其中． (1)求函数的单调区间； (2)若函数存在极值点，且，其中，求证：； (3)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．【分析】(1)利用函数值相等进行恒等变形，分解因式得到；(2)分类讨论求函数最值．【解析】(1)， ①当时，有恒成立，所以的单调递增区间为； ②当时，令，解得，或，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为(2)由(1)可知，且，由题意得，所以因为，且，所以，即，所以，得证．(3)设在区间上的最大值为，表示两数的最大值．下面分三种情况讨论．①当时，，由(1)知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为， 所以