微积分复习资料

微积分极限与持续数列的极限数列定义：按着正整数的次序排列起来的无穷多种数叫数列，记作，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项界的概念：一种数列，若，对，均有，则称是有界的：若不管有多大，总，，则称是无界的若，则称为的下界，称为的上界有界的充要条件：既有上界，又有下界数列极限的概念定义：设为一种数列，为一种常数，若对，总,当时，有则称是数列的极限，记作或数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的几何意义：从第项开始，的所有项所有落在点的邻域数列极限的性质①唯一性②收敛必有界③保号性：极限大小关系数列大小关系（时）函数的极限1.定义：两种情形①：设在点处的某去心邻域内有定义，为常数，若对，，当时，恒有成立，则称在时有极限记作或几何意义：对，，当时，介于两直线单侧极限：设在点处的右侧某邻域内有定义，为常数，若对，，当时，恒有成立，称在处有右极限，记作或的充要条件为：=垂直渐近线：当时，为在处的渐近线②：设函数在上有定义，为常数，若对，当时，有成立，则称在时有极限，记作或的充要条件为：水平渐进线：若或，则是的水平渐近线2.函数极限的性质：①唯一性②局部有界性③局部保号性（②③在当时成立）极限的运算法则四则运算法则设、的极限存在，则①②③（当时）④（为常数）⑤（为正整数）复合运算法则设，若，则可以写成（换元法基础）四、极限存在准则及两个重要极限1．极限存在准则①夹逼准则设有三个数列，，，满足，则②单调有界准则有界数列必有极限重要极限①②或五、无穷大与无穷小1．无穷小：在自变量某个变化过程中，则称为x在该变化过程中的无穷小※若，则为x在所有变化过程中的无穷小若，则不是无穷小性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小2.常量与无穷小的乘积为无穷小3.有限个无穷小的乘积为无穷小4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：的充要条件是，其中为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)，为同一变化过程中的无穷小若（常数）则是的同阶无穷小（当时为等价无穷小）若（常数）则是的k阶无穷小若则是的高阶无穷小常用等价无穷小：()；；；2．无穷大：设函数在的某去心邻域内有定义。若对于，当时，恒有称当时为无穷大，记作定理：（下：趋于某点，去心邻域不为0）无穷大的乘积为无穷大，其和、差、商不确定六、持续函数1．定义设函数在某邻域有定义，若对，当时，恒有：也可记作或（或）为左（或右）持续2．函数的间断点第一类间断点：左右极限存在第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3.持续函数的运算若函数与都在处持续，则函数，，（）定理：，，若在处持续，在处持续，则在处持续闭区间持续函数的性质最值定理：在上持续，则，对一切有②介值定理：在上持续，对于与之间的任何数，至少一点，导数一、导数的概念定义：设函数在点的某邻域有定义，假如极限存在，则称函数在点可导，极限值为函数在点处的导数，记为单侧导数：设函数在点处的左侧有定义，若极限存在，则称此极限为函数在点处的左导数，记为，类似有右导数导函数：函数在某区间上可导，则性质：①函数在点处可导的充要条件②可导持续导数的几何意义：函数点处的切线斜率二、求导法则1．函数的和、差、积、商的求导法则定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且推论：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且2．反函数的求导法则定理：设函数在上单调可导，它的值域为，而，则其反函数在区间上可导，并且有复合函数的求导法则定理：若函数在可导，函数在点可导，则复合函数在处可导或（连锁规则）三、高阶导数定义：若函数的导数仍可导，则导数为的二阶导数，记作，类似的，有n阶导数四、隐函数求导对于,或，若求求导法：方程两侧对x求导微分法：方程两侧求微分公式法：，将方程化成=0，将F当作有关x,y的二元函数，分别对x,y求偏导五、参数方程所确定的函数求导，导数公式基本函数：导数运算法则:高阶导数※1.2.，需补充条件在处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定义：设函数在某区间上有定义，，若可表达为（其中A与无关），则称为y在处的微分，记作※的区别：当y为自变量时，当y为因变量时，，，为y的线性主部定理：对于一元函数，性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分二、微分的几何意义“以直代曲”三、微分在近似计算中的应用，当很小时，近似于0=四、微分中值定理中值定理条件结论Rolle①上持续,②上可导,③至少存在一点至少存在一点，使得Lagrange①上持续,②上可导Cauchy①上持续,②上可导，③①有限增量定理：②法则：型未定式定值法：在的某去心邻域有定义，且，在的某去心邻域可导，且，则有，，，，，类似③展开式：上式为在处的n阶展开式，为n阶展开式余项定理：在具有的区间上有n阶导数，并且在上持续，则n阶展开式余项：Peano型余项中值定理：在具有的区间上有n+1阶导数，则（）Lagrange型余项当时，称为Maclaurlin展开式，常用的有：五、函数的单调性与极值1.单调性：定理：设函数在上持续，在上可导，则导数符号原函数单调性2.极值定义：设函数在点某邻域有定义，若对该邻域内一切x均有则是函数的一种极大值，点为函数的一种极大值点。（极小值类似）函数获得极值的一阶充足条件函数在点去心邻域可导，且在处可导或导数不存在，则：①当时，，时，，则是极大值②当时，，时，，则是极小值③无论还是，总有（或），则不是极值函数获得极值的二阶充足条件函数在点处具有二阶导数，且，，则①若，则是极小值②若，则是极大值六、函数的凸性与拐点定义：设函数在区间内持续，若对内任意两点，恒有则在区间内为下凸函数。同理可得上凸函数定义。持续曲线上凸部分与下凸部分的分界点为拐点定理：设函数在区间具有二阶导数①若，则为下凸函数②若，则为上凸函数水平渐进线求法：第四章、不定积分一、不定积分的概念和性质1.原函数与不定积分原函数：设在上有定义，若对，均有或则称为在上的一种原函数原函数存在定理：若函数在上持续，则在上可导函数，对，均有。即持续函数一定有原函数不定积分：设使的一种原函数，C为任意常数，称为的不定积分，记作几何意义：积分曲线族2.不定积分的性质：①积分运算与微分运算为互逆运算②③二、换元积分法1.第一类换元积分法定理：设有原函数，且具有持续导数，则有原函数2.第二类换元积分法定理：设持续，具有持续导数，且，则，其中三、分部积分法四、有理函数的积分1.简朴有理函数的积分①将真分式分解为部分分式之和对于形式：应分解成k个部分分式对于：应分解成个部分分式②求4种积分，，，其中，对于，可令，则，再运用递推法2.三角函数有理式的积分万能变换：，，其他措施：形式换元一、二、与对于令对于令三、与为偶数对于令对于令四、当n,m至少有一种为奇数时，可运用将其转化当n,m均为偶数时，运用2倍角转化五、令解出A,B原函数为积分表()第五章、定积分一、定积分的定义定义：设函数在上有界，在内任意插入n-1个分点把提成n个小区间，().记，在第个区间上任取一点，用乘上区间长度，即，并作和.记，无论怎么分割，无论怎么取，若时，趋于同一极限，则称此极限为在上的定积分.记作可积定理：①函数在上持续②函数在上有界，且仅有有限个第一类间断点③函数在上单调有界二、定积分的性质①②③区间可加性④⑤单调性:若上则⑥⑦估值性质：设，分别为在上的最大值与最小值，则⑧定积分中值定理：若在上持续，则在区间上至少存在一点,⑨在上的平均值为⑩若为奇函数，；若为偶函数⑾为周期函数，三、微积分学基本定理1.变上限函数定理：若在上持续，则变上限函数可导，2.原函数存在定理若在上持续，则函数是在上的一种原函数3.Newton-Leibniz公式（微积分基本定理）在上持续，是在上一种原函数则※若不满足持续条件，可分段积分四、定积分换元法定理：设函数在上持续，函数满足：①在上单调，值域为，②在上具有持续导数则有:五、定积分的分部积分法类似不定积分六、广义积分1.无穷区间上的广义积分设函数上持续，任取，若极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作类似定义上的广义积分对于，令，为常数2．无界函数的广义积分设函数在上持续，而