2021-2022学年上海市上海中学东校高一下学期数学期末考试卷含详解

上海市上海中学东校2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题(本大题满分36分，本大题共有12题)3

dλ cosa=-.己知α是第四象限角，〃(至-4)是角α终边上的一个点，若5,则X=..在等差数列&｝中，公差d=2,则为=./(x)=3sin2x--.函数 1 6J的最小正周期为.己知”=(1,3)F=(-4,8),则5在5方向上数量投影为..若7,X,y,z,-9(Xj∖Z∈R)是等比数列，则实数)'=.(1 Iim(6z1+a.+-∙+all]=-ɔ_.已知数列是公比为4的无穷等比数列，且'Tχ ' 2,则3+9=. 兀 一r =Ib=1r~2d+b.已知平面向量〃，b,满足41,,且4,b的夹角为3,则1l+i+l+...+8.利用数学归纳法证明不等式23T-7</001 (“≥2,"∈I√)的过程中，由〃=k到〃=&+1时，左边增加了项；9,在δΛ5C中，= 是“sιn2A=sιn25”的 条件..己知｛"”｝和｛a｝均为等差数列，若&+仄=6,4+瓦=9,则见+"的值是..已知点G是的重心，过点G作直线与45,AC两边分别交于"、N两点，且・ ∙ I ∙I ∙ I ・AM=tnAB,AN=nAC9m>0,n>0,则3m+5〃的最小值是.已知数列｛"〃｝满足%+(T)/14=3"].S"是数列｛%｝的前〃项和，则%—%=二、选择题(本大题满分16分，本大题共有4题).下列结论中，正确的是()A.零向量只有大小没有方向C对任一向量Q,I。0总是成立的B.∖AB∖=∖BA∖D.145I与线段6A的长度不相等.函数/（x）=ASIn（〃加+°）,（其中A＞0,幻＞0,加＜三）其图象如图所示，为2了得到g（x）=-ACoSGX的图象，可以将/（x）的图象（）C,向左平移上个单位长度B.向右平移二个单位长度

12D.向左平移三个单位长度1215.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过IlOO万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（）A.2806万元 B,2906万元 C.3106万元 D.3206万元.数列｛%｝满足&=2,4〃+1=一4+1，n∈N+»则工+^+…+」一的整数部4 cιla2a2022分是（）A1 B.2 C.3 D.4三、解答题（本大题满分48分，本大题共有5题）.己知tana=-；,求下列各式的值:COSa+sιna ∑ ;sιna-3cosσ、 2sina+sin2a.+2cosa+cos2ais已知向量M=(L2),B=(-3,2).（1）求才4；(2)若向量d+/；与1_&/；互相垂直，求女的值..己知数列｛。“｝Ml=2,α?=S"*?=44+1—3an.(1)令。求证：数列｛4｝是等比数列；(2)若Cn=nbιl,求数列｛q,｝的前〃项和S”..如图，现要在一块半径为1m，圆心角为g的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在圆弧AB上，点。在OA上，点、M、N在OB上,设4QP=<9,平行四边形MNP。的面积为S.(1)求S关于〃的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的e角..已知数列｛〃”｝的前〃项和为S“ .2(1)求数列｛〃“｝通项公式；(2)设a=/,T“为数列｛a｝的前"项和.试问：是否存在关于〃的整式g(〃)，使得(+4+…+<=(。+「1)Y(〃)恒成立(其中"∈N且〃≥1),若存在，写出g(〃)的解析式，并加以证明：若不存在，说明理由.上海市上海中学东校2021-2022学年高一下期末

数学试卷一、填空题(本大题满分36分，本大题共有12题).小 COSa=一1.己知α是第四象限角，〃(至-4)是角α终边上的一个点，若5,则X=【答案】3【分析】根据三角函数的定义求解即可.X3【详解】解：由题意可得χ>0,且CoSa=’『==三，解得χ二3∙√x2+163故答案为：3..在等差数列｛%｝中，q=1,公差d=2,则生=.【答案】13【分析】根据等差数列的通项即可得解.【详解】解：因为q=1,公差d=2,所以%=al+6d=13.故答案为：13.r乃、3,函数/(X)=3Sln2x--的最小正周期为.【答案】乃【分析】直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可.【详解】函数/W=3sιn的最小正周期T=K=乃故答案为：咒.己知不=(1,3)万=(—4,8),则方在G方向上的数量投影为【答案】2晒【分析】根据投影定义求解即可.【详解】解：由下=(L3),』=(-4,8),得a=y∕10,b=4>∕5,6f∙b=20,所以B在后方向上的数量投影为人」=2晒.故答案为：2JE..若-1,X,y,z,-9（X、），、ZER）是等比数列，则实数）'=.【答案】-3【分析】由等比数列的性质直接计算即可得出结果.【详解】-1,X,y,z,-9（X、），、ZER）是等比数列，.∙.（-l）χ（-9）=XZ=y∖解得：y=±3.又••./=—y,则＞=-3.故答案为：一3.已知数列｛%｝是公比为4的无穷等比数列，且J型（《+%+…+%）=；,则2%+q=【答案】1【分析】由无穷等比数列极限的求法可直接构造等式，整理即可得到结果.【详解】∙∙Tιm（%+%+…+4"）=7^=（,∙∙∙2q=l-9,即2q+q=L5 1-q2故答案为：1..已知平面向量不，6,满足同=ι,WI=1,且后，B的夹角为g,则恸+6=【答案】√7【分析】首先根据数量积的定义求出小6,再根据忸+*J（2U+町及数量积的运算律计算可得；1 Tr【详解】解：因为同=1,b=1,且小5的夹角为所以1∙B=忖卜WcosC=IxIxJ=I,3 22所以25+6=J（2M+6）=y∣4ci*123+4ci∙b+b2=^4∣^∣2+4λ∙5+∣5∣=^4×12+4×i+l2=近故答案为：J7.利用数学归纳法证明不等式1+[+：+…+∙τJ<∕(")(“≥2,〃gN,)的过程23λ—1中，由〃=Z到〃=&+1时，左边增加了项；【答案】2*【分析】根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.【详解】当〃二女时，不等式左边为l+L+L+∙∙∙+r^;232a-1当”二〃+1时，不等式坐标为ι+g+g+…+尹—+/+止工+…+开工J；故增加的项数为21一1一(2"-l)=2x2*-2*=2t故答案为：2a【点睛】本小题主要考杳数学归纳法的知识，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题..在δA5C中，“4=8”是"sm2A=sm26”的条件.【答案】充分不必要【分析】在δA5C中，先化简sιn2A=sιn25,再根据充分、必要条件的定义判断即可.【详解】在δA5C中，由sm2A=sm26,可得2A=26或2A+2B=%,即A=B或4+3=2，2所以“A=5”是“sm2A=sm25”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要..已知｛凡｝和｛4｝均为等差数列,若见+4=6,q+包=9,则凡+b的值是.【答案】12【分析】设数列｛4｝和｛”｝的公差分别为4,4，根据题意可求得4+小，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】解：设数列｛%｝和他“｝的公差分别为4,4，由02+4=6,λ4+⅛=9,得2d1+Id2=3,所以％+4=2+24+65+24=12.故答案：12..已知点G是δA5C的重心，过点G作直线与A8,AC两边分别交于M、N两点，且AM=inAB.AN=∏AC,hi>0/>0，则3m+5n的最小值是.【答案】8+2√1532【分析】延长AG交6C于点O,则点。为5C的中点，且AG=§4。，将宿用ANi、AN表示,再根据M,N,G三点共线，可得〃?,〃的等量关系，再利用等量代换结合基本不等式即可得解.【详解】解：延长AG交5C于点。，2则点。为BC的中点，且AG=H4。，又因为AΛf=mAB,AN=nAC.ιn>0√?>O，所以a1也+越31innJ1——. 1—，=——4M+——AN,

3>m 3〃因为M,N,G三点共线,所以‘一+」-=1,3加3〃则3m+5n=1 1A F一\3m3〃J/ \8(37W+5/7)=-+8+2√153当且仅当号=?即〃=牛,〃7=丁时，取等号,所以3〃?+5〃的最小值是W店.已知数列｛%｝满足%+∣+(T)"1∕=3"-I,S〃是数列｛g｝的前〃项和，则a””一4【答案】6072【分析】分〃为奇数和偶数两种情况讨论,即当〃=2k,k∈N*时，有.生e—〃*=6k—1,。*+3一=6女+5,当“=2k-l,k∈N"时,有a2k+α2jt.1=6k-402*+2+π2*+l=6k+29从而可得〃*+3一%J=I2，即可得出答案.【详解】解：由。皿+(-1)〃+%〃=3〃一I,当〃=2k,k∈N"时，有^72⅛+i-a2k=6k-l,a2k^5-a2jt+2=6k+5,当〃=2k—1,k∈N"时，有∙％jt+=6左一4,a2k4r2+^2jt+1=6/:+2,所以a2kjr2+a2k=3,*=12—5,〃“+3+^2⅛+l=12”+7,作差可得ʤ一的tτ=12,所以a2025=(a2O25~df2021)+(6,2021^^β2O17)+(“2017—6,201b)-1 FaI=I2x506+Cli,所以生。25一%=6072.故答案：6072.二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）.下列结论中，正确的是（）A零向量只有大小没有方向B.∖AB∖=∖BA∖C.对任一向量3，臼>0总是成立的 D"而I与线段£4的长度不相等【答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案.【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误：由于与与丽方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0,故C错误；|猫|与线段64的长度相等，故D错误.故选:B..函数/（x）=ASlnwX+协，（其中4>0，∖φ∖<~^其图象如图所示，为了得到g（x）=-ACOS的的图象，可以将/（x）的图象（）C向左平移专个单位长度5乃B.向右平移二个单位长度12D.向左平移W个单位长度12【答案】B【分析】根据函数所过的特殊点和正弦最小正周期公式，结合诱导公式和正弦型函数的变换性质进行判断即可.【详解】由函数图象可知：4=1，函数过(?,0),(营,一1)两点，设“x)=ASin(Ox+0)的最小正周期为丁，因为3>0,所以有T=而COHE=TS因此一二2,即/(x)=sm(2x+e),因fjj=0»2万所以/(x)=Sin3+^∣=0=>^-+^=kπ{k∈Z),因为闸<£,

√ɔ 2ππ所以k=l,即O=g,因此/(x)=Sml2x+f]=sm[2(x+1)],

3 V37 633而g(x)=-Acosωx=-cos2x=sin(2x-ɪ)=sin[2(%-夕],5兀而〃x)=sin(2x+g=sin[2(x+12：)],因此该函数向右平移工个单位长度得到函数g(x)的图象,故选：B.某病毒研究所为了更好地研究，新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过IlOO万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要()A.2806万元 B,2906万元 C.3106万元 D.3206万元【答案】A｛a,一名=28【分析】设每个实验室的装修费用为%,设备费为4，依据题意可得《 --联∖a1-a4=112立求解可得可应的值，根据每个实验室的改建费用不能超过IloO万元，可求解工取值范I韦I,再利用等比数列的求和公式可求解总费用，即得解.【详解】设每个实验室的装修费用为X万元,设备费为勺万元("=1,2,3,…,10),则%-g=28,且%-%=112,解得q=q=2,故《0=1024.依题意,x+1024≤1100t即x≤76,所以，总费用为:1Ox+q+。，+…+=1Ox+2∙(l-21°)

^^1≡2^^=10.v+2046≤2806∙故选：A.5 1 1 116.数列｛。〃｝满足q=一,anu=crn-an+l,"∈N*,则一+—+…+ 的整数部4 cιla2 a2022分是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】先根据数列的递推公式，利用裂项相消法求和即可得到Ill)I ,—+—+•--+——=4 再先判断为≥%τ≥∙∙∙≥q>l,通过计算可判断出qa2a2Q22 ∏2023-1。期3>2,即可求出结果.【详解】因为数列｛qj满足∕=；,1=Cln+1，/`1所以“”(…)，即KF。”一1%11111所以一=

0.11n+l~ɪ所以%—1011111111 1 F...H a.a,aX 一2022 1 F...H 4—1 。、一1 。、一1 %一1^=4.，Tβ2023-1 生023—1又因为%+「%=X-2%+1=a—I)?≥O,即¾+1≥an,所以*%≥∙∙∙≥a1八所以。〈六≤占≤∙∙∙≤=542116361 103441=，%=256 65536a5≈1.911a6≈2.74>2,/.«2023>%>2,即。M3-1>1，°<“2023—ɪ.∙.4-一∈(3,4),a2023~ɪ1 11因此一+—+…+——的整数部分是3.aL aI 02022故选：C.三、解答题（本大题满分48分，本大题共有5题）17.己知tana=-；,求下列各式的值:(1)COSa+sιna

sιna-3cosσ(2)2sina+sin2。1+2CoSa+cos2a【答案】（1）-ɪ7【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系求解即可；（2）先利用二倍角公式化简，然后计算即可.【小问1详解】cosσ+sina1+tanaɔ1Sina-3cosatan<z-3 7一厂【小问2详解】2sm<z+sm2a 2sina+2sinacosa2sιna(l+cosa)λ1 - = =tanct———1+2cosa+cosla1+2cosa+2COS-a-i2cosa(l+cosa) 2IS.己知向量d=(L2),5=(-3,2).(1)求万∙B：(2)若向量值+/:与心互相垂直，求k的值.3【答案】(1)1 (2)-【分析】(1)根据平面向量数量积的定义计算即可；(2)根据平面向量垂直的性质可得到伍+5)・伍-kb)=O,计算即可求解.【小问1详解】由Q=(1,2),5=(-3,2),.∙Zb=lx(-3)+2x2=-3+4=1.【小问2详解】若向量ci+B与汗—互相垂直，^(a+b)∖a-kb)=a2-kb2+(l-k)a∙b=5-l3k+l-k=0t3所以女二一.719.已知数列｛4｝,%=2,a2=5,4+2=4all+l-3an.(1)令求证：数列｛4｝是等比数列；(2)若Cn=nbn,求数列｛ς1｝的前〃项和Sn.(1 1ʌ 3【答案】(1)见解析⑵，=不〃-73π+1+-幺 4J 4【分析】(1)根据递推公式证明为定值即可;(2)利用错位相减法求解即可.【小问1详解】证明：因为。〃+2=4。”+1—3%，所以。“+2一4”+1=3(。”+]—。〃)，即"+]=3",又4=%-4=3,所以数列｛a｝是以3为首项，3为公比的等比数列；【小问2详解】解：由(1)得4+i-4=3∙3"T=3",CL4=〃•3",则S“=3+2x3:+3x33+,..+小3”,3S〃=32+2χ3∖3χ3、…+〃・3"。两式相减得-2S=3+32+33+∙∙∙+3,'-h∙3〃M='I)-n

〃 1-31,3n+1=∣i-∕7∣3zi+1-2,U2所以s〃=(1一〃一U1ʌ3

-3w+1+-.4；420.如图，现要在一块半径为hn,圆心角为△的扇形白铁片AO5上剪出一个平行四边形3MNP。，使点夕在圆弧八5上，点。在OA上，点”,N在08上，设4OP=8,平行四边形MNP。的面积为S.（1）求S关于。的函数关系式;（2）求S的最大值及相应的e角.【答案】(1)S=LSIn2。+巫cos26∖e∈θ32 6 3（2）S的最大值为且nf，此时夕=二6 6【分析】（1）分别过P,。作夕。，。5于O,QELOB于E,则四边形。EDP为矩形,则MN=QP=ED9直接利用平行四边形的面积公式求解即可.（2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可.【小问1详解】分别过P,。作PD,O5于。，QE于E,则四边形QEoP为矩形.由扇形半径为1m,得Pz）=Sm，，OD=cosΘ.在Rt△。七。中,OE=与QE=与PD,MN=QP=ED=OD-OE=cosθ一。Sinθ,S=MN∙PD=(cosθ-ɔγ-siιιθ)sin=siιιcosθ-siιι2