第二章-直线与圆的位置关系

圆与方程直线与圆的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章平面解析几何初步入门答辩考点一考点二新知自解考点三提示：可利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系来判断．1．解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(圆心到直线的距离)去考虑，其中几何特征解题较为简捷．(2)代数法：思路三：利用直线方程(此题直线过定点(0,1))．(－1,1)在圆上，故直线与圆相切或相交．7．(1)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所[一点通]解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解．值为________．(2)代数法：(1)几何法：已知直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位置关系．问题3：怎样判断直线和圆的位置关系？直线与圆的三种位置关系及判定问题3：怎样判断直线和圆的位置关系？所以点(0,1)在圆内，从而直线与圆相交．直线与圆的三种位置关系及判定“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，他描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成是一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示：(1)相离(2)相切(3)相交．问题2：结合初中学过的知识，想一想直线与圆有哪些位置关系？提示：相交、相切、相离三种位置关系．问题3：怎样判断直线和圆的位置关系？提示：可利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系来判断．直线与圆的三种位置关系及判定位置关系

图片相离相切相交位置关系

几何法d与r的大小d

rd

rD

r代数法依据方程组解的情况Δ＜0方程组

Δ＝0方程组

Δ＞0方程组有＞＝＜相离相切相交无解只有一解两个不同解判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．已知直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位置关系．

[思路点拨]思路一：利用代数法；思路二：利用几何法；思路三：利用直线方程(此题直线过定点(0,1))．法三：由题意知，直线过定点(0,1)，而02＋12＝1＜4.所以点(0,1)在圆内，从而直线与圆相交．[一点通]直线与圆位置关系的判定方法1．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取

值范围是________．2．(2011·临汾高一检测)直线a(x＋1)－y＋1＝0与圆x2＋

y2＝2的位置关系是________．

解析：直线a(x＋1)－y＋1＝0恒过定点(－1,1)，而点

(－1,1)在圆上，故直线与圆相切或相交．

答案：相切或相交3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的

值为________．答案：－1

求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．

[思路点拨]解答此类题目的关键是先判断点与圆的位置关系，在此基础上选择代数法或几何法求切线方程．2．过圆外一点求圆的切线方程的方法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．值范围是________．问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？截得的弦长为________．直线与圆的三种位置关系及判定(2)代数法：截得的弦长为________．[一点通]解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解．7．(1)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？＋(y－1)2＝4截得的弦长为________．问题3：怎样判断直线和圆的位置关系？[一点通]解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解．值范围是________．(1)几何法：(2)代数法：2．过圆外一点求圆的切线方程的方法

(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．

(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．5．平行于直线2x－y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的

方程为________．答案：2x－y＋5＝0或2x－y－5＝06．过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线

方程．[思路点拨]设出点斜式方程，利用r、弦心距及弦长的一半构成三角形可求．值范围是________．法三：由题意知，直线过定点(0,1)，答案：2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．截得的弦长为________．问题3：怎样判断直线和圆的位置关系？值为________．提示：可利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系来判断．直线与圆的三种位置关系及判定值为________．2．过圆外一点求圆的切线方程的方法[一点通]解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解．解析：直线a(x＋1)－y＋1＝0恒过定点(－1,1)，而点[一点通]

解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法即在弦心距、弦长一半及半径构成直角三角形中求解．7．(1)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所

截得的弦长为________．

(2)k为任意实数，直线(k＋1)x－ky－1＝0被圆(x－1)2

＋(y－1)2＝4截得的弦长为________．1．解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(圆心到直线的