高数多元积分学

多元积分学1.定义给定二元函数z=f(x,y)，其定义域为有界闭区域D。将D分成n个小区域：，第k个小区域面积仍记为，，计算和式

，其中如果，上极限存在，称为f(x,y)在区域D上的二重积分，即。其中f(x,y)叫做被积函数，D叫做积分区域，为面积微元。2.二重积分性质

(1)(2)若，且的面积为0，则(3)(4)

的面积(5)若(6)积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D连续，则至少存在一点，使的面积。【例1】就，计算积分中值定理中的，其中D为单位圆：所围区域。解：根据积分几何意义，原积分值为，由此可得应满足，即亦即。

3.二重积分计算设D：则有积分公式设D：则有积分公式以上为所谓化重积分为累次积分公式。abcdyy【例2】设，化重积分为累次积分。（1）D为x=0,x=a,y=0,y=b所围矩形区域；（2）D为连接点(0,0),(a,0),(0,b)的三角形区域；（3）D为椭圆所围在第一象限部分。

【例3】改变二次积分次序，已知（1）01xy（2）01-11【例4】计算二重积分

（1）（答案：）（2）（答案：）xy【例5】证明空间平面与三个坐标面所围体积。证明：

abcxyz【例6】计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的体积。解：所求体积为。【例7

】求由平面x=0,y=0,x+y=1所围的空间柱体被平面z=0及抛物面截得的体积。解：所求体积为。

二重积分的变量替换法假设具有连续偏导数，且变换是一对一的，则有二重积分变量替换公式：其中，是一对一的。4.二重积分的极坐标变量替换下计算在二重积分计算中，同样也有换元积分问题。考虑将直角坐标下的积分化为极坐标下的积分的变换：积分就化为

【例1】化直角坐标下积分为极坐标下积分，设：1.2.3.4.答案：1.2.3.4.【例2】计算积分。解：作变换：积分化为。【例3】计算的内部。解：作极坐标变换，积分化为5.二重积分简单应用

【例1】证明概率积分：证明：显然，积分是存在的，于是原积分

，设D：

则又由前面例知，所以，……(2)平面图形面积

【例2】求在圆内及圆外面积A。解：先求交点，处

。于是，所求面积为(3)空间体体积【例3】求球面与柱面

所围立体体积。解：所求体积为【例4】设一形如的容器，开始盛有液体，现又倒进的液体，问液面高度上升多少？解：首先将体积写成高度的函数，设高度为h，则体积为其中，于是

（答案：12cm）

曲面面积

设空间曲面S的方程为，D为S在oxy面上的投影（定义域），并假定函数具有连续的偏导数。则有S的曲面面积A积分公式：【例5】计算半径为R的球的表面积。解：球面的方程可写为，其中

位于oxy面上方的部分方程为其定义域为，于是所求面积为应用极坐标变换，积分化为

曲线积分一.对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）1.定义：设C为平面上一条光滑曲线，函数f(x,y)在C上连续，用点将C分成n个小弧段，第k个小弧段为，其长度为，做和。若极限存在，称其值为函数f(x,y)在曲线C上的第一型曲线积分，记为，即

关于上述定义作下说明：(1)第一型曲线积分与（积分路线）方向无关。(2)所谓光滑指曲线有连续的切线。按照积分可加性，C为分段光滑即可。2.第一型曲线积分性质

(1)(2)(3)若，则

的长度，其中M为|f(x,y)|在C上的最大值。3.第一型曲线积分计算方法（1）若曲线C：，则有公式（2）若曲线C：，则有公式

【例1】计算，其中C为自点(0,0)至(1,1)解：按公式积分=【例2】计算，其中曲线C:从t=0到的弧段解：按公式积分

=【例3】计算，其中C为圆周，直线y=x及x轴在第一象限中所围成的图形边界。解：由积分可加性，原积分分为三个积分的和，其中在直线y=x上，为

；在圆周上，为；

在x轴上

，为，故原积分等于yx

二.对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）1.定义：设C为平面上一条有向光滑曲线，函数P(x,y)、Q(x,y)在C上连续，用点将C分成n个小弧段，第k个小弧，做。若，存在，称其值为函数P(x,y)、Q(x,y)在曲线C上的第二型曲线积分，记为2.第二型曲线积分性质(1)第二型曲线积分与（积分路线）方向有关。即其中表示C的反向。闭合路径规定逆时针方向为正向。(2)若，则3.第二型曲线积分计算方法（1）若曲线C：，则有公式其中对应C的起点，对应C的终点。（2）若曲线C：，则有公式【例4】其中(1)单位圆从A(1,0)到B(0,1)段；(2)上半圆周从A(1,0)到C(-1,0)

，方向逆时针，在从C

沿直线到A。解：（1）令，，积分化为（2）

格林公式及其应用定理

设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的正向边界。上公式称为格林公式。证明分单连通区域及多连通区域两种情景加以说明。

格林公式应用由L所围区域D的面积A计算公式：【例1】求椭圆所围图形面积。解：【例2】设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明【例3】计算积分，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，方向逆时针。解：令，。则有因此，按格林公式原积分

第二型曲线积分与路径无关的条件定理设区域D是一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则积分与路径