2021-2022学年八年级第二学期期末考试卷（解析）

2021-2022学年八年级第二学期期末考试卷（解析）

（考试时间：90分钟试卷满分：100分）

一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（2022・河南•南阳市宛城区金华中学八年级期中）下列各组数中，能够作为直角三角形的

三边长的一组是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.3,4,5

【答案】D

【解析】

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】

A、P+2V32,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、22+32/P,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、42+52/62,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D、32+42=52,能构成直角三角形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

2.（2022•山西运城•八年级期中）设分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次,

情况如图所示，那么下列式子成立的是（）

A.・=2x・B.C.・V2x.D.・>3x・

【答案】B

【解析】

【分析】

设▲、・、■分别表示三种不同物体的质量分别为x,y,z,根据题意列出不等式，判断即可.

【详解】

解：▲、・、・分别表示三种不同物体的质量分别为x,y,z,

根据题意得：z+x>2x,即z>x；x+y=3y,即x=2y,

.".z>2y,

即・>2x・，

故选：B.

【点睛】

此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键.

3.（2022.河南鹤壁•一模）则图,将小ABC绕点河,0）旋转180°得到△A'5'C',点A的坐标

为（利〃），则点4的坐标为（）

A.B.（-m+2,-n）

C.—D.（—m+4,—n）

【答案】B

【解析】

【分析】

设W坐标为（x,y）,根据点A（m,n）和点A关于B（1,0）中心对称，得到关于x、y的

方程x+w=2,y+〃=0,解方程即可.

【详解】

解：设A'坐标为（x,y）

由题意得：4（/〃，〃）和4点关于3（1,0）中心对称，

.".x+m=2,y+n=0

解得：x=—m+2,y~-n

叩点A，坐标为C—m+2,—n）

故选B.

【点睛】

本题考查平面直角坐标系内两点关于另一点成中心对称的问题，根据中心对称的概念，得到

成中心对称点的坐标特征是解题的关键.

'2%+3>1

4.（2022•广东惠州•一模）不等式组x-1，的整数解的个数是（）.

---<1

2

A.0个B.2个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】

【分析】

求出不等式组的解集，根据解集即可确定不等式组的整数解的个数.

【详解】

解第一个不等式得：X>-1；

解第二个不等式得：x<3；

不等式组的解集为：-14x<3,

所以不等式组的整数解为：-1,0,1,2,共4个整数解.

故选：D.

【点睛】

本题考查了求不等式组的整数解，求出不等式组的解集是解题的关键.

5.（2022・山东聊城•二模）下列运算正确的是（）

A.（-加）3M2=_疗B.（2加）’=8/庐

「632r.（2a丫b2a

C.a-i-a=aD.—+—=—

[b）2ab

【答案】B

【解析】

【分析】

根据同底数基的乘法、积的乘方、同底数基的除法和分式的计算规则来计算即可；

【详解】

解：A、=-m5,故本选项错误；

B、（2曲2y本选项正确；

6j33

C、ara=a9本选项错误；

D、（生[+2="，本选项错误；

I〃J2ab}

故选：B.

【点睛】

本题考查同底数嘉的乘法、同底数基的除法、积的乘方和分式的计算；熟练掌握运算的计算

法则是解决本题的关键.

6.（2022•河北邯郸•一模）在化简学；•+时，两位同学分别给出如下方法：

tn"-42-m

佳佳的方法是：音音的方法是：

2m12m1

2I

m2-42-m疗一42-m

2nl12mm+2

=--------------1--------------

m2-4+2()%+2)(“一2)+

2mm-22nim+2

(加+2)(机-2)+2)(加一2)(他+2)(加一2)(/n-2)(/n+2)

2m-m+2=2m-m-2

(ZH+2)(/H-2)=m-2

1

m-2

则对于两人的方法，正确的是（）A.两人方法均正确B.佳佳正确，音音错误

C.佳佳错误，音音正确D.两人方法均错误

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分式的加减运算法则即可求出答案.

【详解】

5..2tn12m1

解：.——+------------------,

m-42-mm-4in-2

佳佳的方法错误，

...2m।1

m2-42-m

2mm+2

-------------------------,

（〃/+2）（勿-2）（2-m）（m+2）

2/77m+2

（7774-2）（/77-2）（勿・2）（m+2）'

2/77-m-2

-（277+2）（/77-2）*

m-2

+—，

1

=----，

m+2

音音的方法错误，

故选：D.

【点睛】

本题考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，注意符号的变化.

7.（2022•河北石家庄•一模）有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，

若■■■■，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是（）

1

解：设甲队每天修路.咪,

100

依题意得：—

X2A-30

A.甲队每天修路比乙队2倍还多30mB.甲队每天修路比乙队2倍还少30m

C.乙队每天修路比甲队2倍还多30mD.乙队每天修路比甲队2倍还少30m

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决.

【详解】

解：根据题意，设甲队每天修路x米，—=-^-

x2X-30

故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队2倍还少30m,

故选：D.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件.

8.（2022•河南周口•八年级期末）在AABC中，已知/BAC=90。，AB/AC,若用无刻度的直

尺和圆规在8c上找一点。，使AACZ）是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（）

①②③

A.②③B.①②C.①③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】

根据作图痕迹可知，图①作的是NBAC的平分线，图②作的是CA=CD,图③作的是4c的

垂直平分线，然后逐一判断即可解答.

【详解】

解：图①：由题意得：AO平分NBAC,

，ZBAD=ZCAD=-ZBAC=45°,

2

'：ZBAC=90°,AB+AC,

：.ZB^ZC^45°,

：.ZC^ZCAD,

...△AC。不是等腰三角形，故①错误；

图②：由题意得：

CA=CD,

...△AC。是等腰三角形，故②正确；

图③：由题意得：

点。在AC的垂直平分线上，

：.DA=DC,

...△ACC是等腰三角形，故③正确，

所以，上列作法中，正确的有：②③，

故选：A.

【点睛】

本题考查了基本作图一解平分线、线段垂直平分线，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角

形的判定方法是解题的关键.

9.（2022•山东淄博•一模）关于x的分式方程/二=1,下列说法正确的是（）

A.方程的解是》=S一6B.当机<6时，方程的解是负数

C.当朋>6时，方程的解是正数D.以上说法均不正确

【答案】C

【解析】

【分析】

先去分母求得分式方程的解，然后将分式方程的解代入最简公分母进行讨论即可.

【详解】

去分母得：x+6=m,

解得：x=m-6,

•.•当x+6=0,即x=-6时，方程产生增根，

当xr-6时，方程的解是x=〃i—6,故A错误;

当m<6时，x=m-6<0,

♦.•当x=-6时，方程产生增根，

m-6^-6,即机wO,

当〃?V6且加HO时，方程的解是负数，故B错误;

当相>6时，x=m-6>0,

•.•当x=-6时，方程产生增根，

m-6^-6,即/nwO,

当机>6时，方程的解是正数，故C正确；D错误；

故选：C

【点睛】

本题主要考查的是解分式方程，根据最简公分母是否为0进行讨论是解题的关键.

10.（2022.浙江彳酎州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）二模）已知必。8

的顶点。（0,0）,点C在x轴的正半轴上，现按以下步骤作图：

①以点。为圆心，适当长为半径画弧，分别交04于点M,交0C于点N.

②分别以点M,N为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧在40C内相交于点£

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本作图得到NAOF=NCOE,再根据平行四边形的性质得到AO〃OC,接着证明

ZAOF=NAFO得到OA=4八设AF交y轴于“，设AG,4）,则4,=T,AO=A尸=T+3,

利用勾股定理得到一+42=（T+3>,然后解方程求出f即可得到A点坐标.

【详解】

解：由作法得0E平分4OC,

则NAO/=NCOf.

•••四边形AOCZ）为平行四边形，

:.AD//OC,

：.ZAFO=NCOF,

：.ZAOF=ZAFO,

：.OA=AF,

：.HF=3,0/7=4,

设AC,4）,

:•AH=-t,AO=AF=-t+3,

在Rt^OAH中，

r+42=（-£+3）2,

7

解得/=

o

，点A的横坐标是

6

故选：D.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）；也考查了平行四边

形的性质.利用勾股定理列出关于点A的横坐标的方程是解决问题的关键.

11.（2022•重庆市育才中学二模）已知多项式4=/+2y+帆和B=/-2X+〃（m,〃为常

数），以下结论中正确的是（）

①当x=2且帆+”=1时，无论y取何值，都有A+8N0；

②当加=〃=0时，AxB所得的结果中不含一次项；

③当x=y时，一定有A28；

④若加+"=2且4+8=0,则*=»；

⑤若m=",A-B=-lS.x,y为整数，贝"x+y|=l.

A.B.①②⑤C.①④⑤D.③④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】

主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可.

【详解】

①当x=2且6+〃=1时，A+B=4+2y+m+y2-4+n=/+2y+l=(y+l)-,

•..无论y取何值，总有(y+l)2》0,

无论)，取何值，都有A+B20,

故①正确；

②当，?1=〃=0时，AxB=(x2+2y)(y2-2x)=x2y2-2x3+2/-4xy,

，AxB所得的结果中不含一次项；

故②正确；

③当x=y时，A-B=x2+2y+m-^y2-2x+n^=x2+2x+m-x2+2x-n=4x+m-n,

其结果与0无法比较大小，

故③错误；

④若〃?+〃=2且A+B=O,则A+8=炉+2y+w?+y2-2x+“=*2+V+2y-2x+2=0,

变形得：(x-iy+(y+l)2=0,

；.户1,y=-l,

.".x=-y,

故④错误；

⑤若优=",A-B=-15.x,y为整数，

则A-8=12+2y+m-(^y2-2x+n}=x2+2y-y2+2x=-1

x2-y2+2x+2y+l=0

变形得：(x+l)2-(y-l)2=-l,

因式分解得：(x+y)(x-y+2)=-1,

y为整数，则必有k+y|=l.

故⑤正确；

故选：B

【点睛】

本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进

行计算及因式分解.

12.(2022•山东泰安•八年级期末)如图，在QABC。中「是8边上一点，且AP和分别

平分ND4B和NC54,若4）=5,AP=8,则AAPB的周长是（）

A.18B.24C.23D.14

【答案】B

【解析】

【分析】

由平行四边形性质得出AB〃CD,推出ND4B+NC8A=180。，再证出AD=OP

=5,BC=PC=5,得出。C=10=A8,然后证/APB=90。，最后由勾股定理求出3尸=6,

即可求出答案.

【详解】

解：•.•四边形A8C。是平行四边形，

J.AD/7CB,AB〃CD,

：.ZDAB+ZCBA=\S00,

又..工/1和BP分别平分/D4B和NCBA,

：.ZPABA-ZPBA=^(NDAB+/CBA)=90°,

在AAPB中，/APB=180。-(/弘B+/P8A)=90°；

YAP平分ND4B,

：.ZDAP=ZPAB,

"."AB^CD,

J.APAB^ZDPA,

：.ZDAP=ZDPA,

...△AOP是等腰三角形，

：.AD=DP=5,

同理：PC=CB=5,

即AB=DC=DP+PC=-10,

在RSAPB中，AB=10,AP=S,

BP=dAB?-A产=V102-82=6，

...CzAPB=6+8+10=24,故B正确.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和

定理，勾股定理等知识点的综合运用，根据题目中的已知条件求出。P、CP的长度是解题

的关键.

X~，n>3

13.（2022•云南・丽江市教育科学研究所二模）若关于x的不等式组2一无解，且

x+3>2（x+1）

关于y的分式方程一tn方+1=vA—1的解是正数，则满足条件的整数加的值之和是（）

y—zz—y

A.-12B.-11C.-10D.-9

【答案】A

【解析】

【分析】

解关于X的不等式组｛--2------3无解；解得"仑-5,且关于y的分式方程一H^l+1=：^V——1的

c7i\LL

x+3>2（x+l）y~~y

解是正数；解得加<3,所以根的取值范围是：-5VmV3,写出则满足条件的整数加的值之和

即可求解；

【详解】

解：•・,关于x的不等式组2"无解;

x+3>2（x+l）

由①得：应6+加

由②得「VI

因为原不等式组无解

6+/w>l

解得:ni>-5

且关于y的分式方程:YY+\i=V>—I的解是正数;

y-zz-y

解方程黄+占首

用3沏

得.尸厅

因为解是正数;

3-m八

所以k>0

2

解得m＜3

的取值范围是：-5W〃?V3

则满足条件的整数机的值可以是：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,

所以有(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+(0)+1+2=-12

故答案为：A

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的解，解题的关键是掌握根据不等式组无解,

和分式方程的解是正数得出«的范围.

14.(2022•浙江嘉兴•一模)如图，在平行四边形A8C。中，AB=3瓜AD=3,24=60。,

点E在AB边上，将沿着直线OE翻折得AA7)E.连结AC,若点4恰好落在/BCD

的平分线上，则A,C两点间的距离为()

A.3或6B.3或述C.迈D.6

22

【答案】A

【解析】

【分析】

过点4作4F_LC£)于。，由平行四边形ABCQ,得NBCZ)=NA=60。,CD=AB=3&,A'D=AD=3,

根据点恰好落在N8C£＞的平分线上,所以/A，CF=30。,所以C4=2AE设A，F=x,贝UCA'=2x,

CF=&x,所以。尸=3石-Gx,在心△D4'尸中,由勾股定理，得32=(36-bx)2+x2,求解

即可得出x,从而求出C4的长.

【详解】

:如图，过点A'作于。，

C

:平行四边形ABCD,

：.ZBCD=ZA=60°,CD=AB=3G,

由翻折可得，A'D^AD=3,

,/点A恰好落在/5C£＞的平分线上,

.•.04,平分/BCZ）,

，ZA'CF=30°,

VATICD,

，CA'=2A'F,

设A'F=x,则CA'=2x,

由勾股定理，得CF=&x,

DF=30x,

在心△力4F中,由勾股定理，得

32=（3&-£x）2+x2,

3

解得：Xl=2,以=3,

CA'=2x=3或6,

故选：A.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，翻折性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，作辅助线

4FLC。于。，构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是解题的关键.

二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。

15.（2022・云南・云大附中七年级期中）已知4（1,-2）、B（-l,2）、E（2,a）、/9,1）,若将线

段AB平移至点A,E为对应点,则a-b的值为.

【答案】-3

【解析】

【分析】

根据点A平移到E,点B平移到点F,得到平移的方向和距离，在对应求出。和b的值，即

可求解.

【详解】

解：•..线段AB平移至EF,即点A平移到E,点8平移到点凡

而4（1,一2）、3（-1,2）、E（2,a）,尸伍,1）,

；.点A向右平移一个单位到E,点B向下平移1个单位到F,

二线段AB先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到EF,

A-2-l=a,-1+1=/?

a=—3,h—0,

a+b——3+Q=—3.

故答案为-3.

【点睛】

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图

形与原图形的形状和大小完全相同.解决本题的关键是通过点的坐标之间的关系确定线段平

移的方向和距离.

16.（2021•辽宁盘锦•八年级期中）化简+_________

bc

【答案】/

【解析】

【分析】

根据分式的乘除混合运算可求解.

【详解】

解：原式：

故答案为2记.

【点睛】

本题主要考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除混合运算是解题的关键.

17.（2022•河北石家庄•一模）如图所示，在正四边形、正五边形中，相邻两条对角线的夹角

分别为内，4,则应为______°.以此类推，正〃边形相邻两条对角线的较大夹角为°.

(n-2)-180

【答案】108

【解析】

【分析】

根据正多边形的性质，正多边形的内角和定理，三角形的外角的性质，求得相邻两条对角线

的较大夹角，找到规律，进而即可求解.

【详解】

解：如图,

•・•四边形ABC。是正方形，

可得AC_L3D,

.•・%=90。，

v五边形45CDE是正五边形，

.・.AB=BC=CD,

5-2

・•.ZABC=ZBCD=x180°=108°,

ZDBC=ZACB=-108。=36O,

2

.・.a,=180°-2DBC-乙4c3=108°=土匚xl80°,

5

同理可得%=120。='2x180。，

6

当〃>3时、正〃边形相邻两条对角线的较大夹角等于正多边形的一个内角，

，正〃边形相邻两条对角线的较大夹角为七2x180。，

n

.八八(«-2)-180

故答案为：108；——1——.

n

【点睛】

本题考查了正多边形的性质，正多边形的内角和定理，三角形的外角的性质，找到规律是解

题的关键.

18.(2022•云南曲靖•一模)在平行四边形ABC。中，8C边上的高为8,AB=\0,AC=4不，

则平行四边形ABCD的周长等于.

【答案】24或40

【解析】

【分析】

根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出

即可.

【详解】

解：如图I所示：

BE

图1

•.•在nABCO中，BC边上的高为8,4B=10,AC=4石,

EC=jAC2—A£2=4,AB=CD=IO,

BE=4AB--AE2=6>

：.AD=BC^IO,

...□ABCQ的周长等于：40,

如图2所示：

图2

.在DABCZ)中，BC边上的高为8,AB=10,AC=4石，

•*-EC=y]AC2-AE2=4>AB=CD=10,

BE=y/AB2-AE2=6，

BC=6-4=2,

...□ABC。的周长等于：2+2+10+10=24,

则口ABC。的周长等于40或24.

故答案为：24或40.

【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键.

三、解答题(19题6分，其余每题8分，共46分)

19.(2022・河南信阳•八年级期末)(1)因式分解：2/6-8必+86;

(2)化简：(x+1)~+(2x+l)(2x—1)—4x(x4-1).

2

【答案】(1)2〃a-2)\(2)X-2X

【解析】

【分析】

(1)提公因式2b,然后根据完全平方公式进行因式分解；

(2)根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式进行计算即可.

【详解】

解：（1）原式=»（/-4.+4）

=2/7（a-2）2；

（2）原式=%2+2x+l+4f-1-4--4%

=x2-2x.

【点睛】

本题考查了提公因式法因式分解，整式乘法混合运算，掌握乘法公式是解题的关键.

20.（2022•湖北襄阳•一模）化简求值：/+土者其中a=0-i.

〃+1a-\（a-1J

【答案】-->2—>/2

。+1

【解析】

【分析】

先把分式化简后，再把。的值代入求出分式的值即可.

【详解】

2a+1+-2a（2。—1

a-\

。+1a2-1Ia-\

2。+1cr-2a（2。-1）-（。+1）（。-1）

------1---j----i-------------------

a+\a-1a-\

2。+1a~—2a—ci~+2tz

-----1--------；--------

a+1a—1a—\

2a+l__1_

q+1a+1

2a

a+\'

当会正-时原式二婆二）=卑）=2-内

V2-1+1V2

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键.

21.（2022.福建泉州•二模）如图，在RtZkABC中，ZBAC=90°,将RtAABC绕点A旋转

一定的角度得到RtZXAOE,且点E恰好落在边BC上.

D

A

BEC

⑴求证：AE平分NCED；

(2)连接30,求证：ZDBC=90°.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行

等量转化，最后可证得结论.

(2)根据旋转性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论.

(1)证明：由旋转性质可知：AE=AC,ZAED=ZC

:.ZAEC^ZC

:.ZAED=ZAEC

:.AE平分NCED

由旋转性质可知：AD^AB,ZDAE=ABAC=90°

/.ZADB=ZABD,ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE

^ZDAB=ZEAC

VNDAB=180°-2ZABD,NEAC=180°-2ZC

;.ZABD=NC

在Rt^ABC中，ZBAC=90°

:.ZABC+ZC=90°

:.ZABC+ZABD=9Q°

即NZ)8c=90°

【点睛】

本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理

利用三角形内角和定理是解决本题的关键.

22.(2022•广东•二模)“四书”“五经”是我国传统文化的重要组成部分，是儒家思想的经典著

作.某学校计划购买《孟子》和《论语》两种书籍供学生阅读.已知《孟子》与《论语》的

单价之和为40元，用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同.

(1)求《孟子》《论语》的单价分别是多少元？

(2)该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过1800元，问最少购进

《孟子》多少本？

【答案】⑴每本《孟子》《论语》的单价分别是15元、25元

(2)70本

【解析】

【分析】

(1)设每本《孟子》《论语》的单价分别是工元、(4()-x)元.再分别表示90元购进《孟子》

的数量与用150元购进《论语》的数量，再列方程，解方程即可；

(2)设购进《孟子》。本，则购进《论语》本.利用花费总额不超过1800元，

列不等式，再解不等式即可.

(1)解：设每本《孟子》《论语》的单价分别是x元、(40-x)元.

由题意得见=」"，解得x=15.

x40-x

经检验，x=15是原方程的解.则40-x=25.

所以每本《孟子》《论语》的单价分别是15元、25元；

(2)设购进《孟子》〃本，则购进《论语》(100—〃)本.

由题意可得154+25(100-041800,

解得“270.

所以最少购进《孟子》70本.

【点睛】

本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系列方程或

不等式是解本题的关键.

23.(2022.河南信阳.八年级期末)如图，AABC,/ADE均是等边三角形，点B,D,E三点

共线，连按CD,CE；且

B

⑴求证：BD=CE；

(2)若线段QE=3,求线段B。的长.

【答案】(1)见解析(2)6

【解析】

【分析】

(1)由“SAS”可证△ABDWZXACE,可得BD=CE；

(2)由全等三角形的性质可得/AEC=/AO8=120。，可求NOEC=60。，由含30度角的直角

三角形的性质可求解.

(1)证明：:△ABC、aAOE是等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,/B4C=N£>AE=60。，

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

：./BAD=NCAE,

在△AB。和△ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCA£

AD=AE

.,.△ABD^AACE(SAS),

：.BD=CE；

(2)解：:△AOE是等边三角形，

ZADE=ZAED=60°,

•.•点B,D,E三点共线

ZADB=]20°,

'：/XABD^^ACE,

：.NAEC=NAOB=120。，

ZCED=ZAEC-ZAED=60°,

'JCDLBE,

ZCDE=90°,

ZDCE=30°,

：.BD=CE=2DE=6.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的

判定定理是本题的关键.

24.(2022•安徽•宣州市雁翅乡初级中学二模)如图1,在梯形ABC£>中，ZA=ZB=90,

AD//BC,AB=\2,AD=2\,,BC=16,一动点尸从点A出发，在线段A£>上以每秒2个

单位长度的速度向点。运动，动点。同时从点B出发在线段8c上以每秒1个单位长度的速

度向点C运动，当点P运动到点。时，点。随之停止运动，设运动时间为/(秒)，

(2)当r为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形

【答案】(1)当，=5时，四边形PQC。是平行四边形；

⑵当，为/或(时，XPQC是以PQ为腰的等腰三角形.

【解析】

【分析】

(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故只要令9=。。，建立方程求接即可;

(2)APQC是以PQ为腰的等腰三角形，有两种情况：®PC=PQ.②CQ=PQ,分别列

方程求解即可.

(1)W：-.AD//BC,即尸O〃QC

:.令PD=QC,四边形PQC。是平行四边形，

■.■PD=2\-2t,QC=\6-t

21—2f=16—t,

解得：f=5,

当f=5时，四边形PQC。是平行四边形；

(2)过点尸作于点E,

-.■EB=AP=2t,PE=AB=\2,

①当PC=P。时，

•••PEVBC,

又\QE=BE-BQ=AP-BQ,

2

解得：f若,

，当f=g时，PC=PQ；

②当CQ=PQ时，

■.■EB=AP=2t,

:.QE=BE-BQ=2t-t=t,

•/CQ=16—/,

・•.PQ=l6-tf

在RfAPQE中，根据勾股定理得：

『+122=(167)2,

解得：t=\,

二当”;7时，CQ=PQ,

综上，当/为个或1•时，APQC是以PQ为腰的等腰三角形.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定和“三线合一”的性质、勾股定理等知

识点，牢固掌握以上知识点并学会分类讨论是做出本题的关键.

25.(2022.河南信阳•八年级期末)教科书中这样写道：“我们把多项式/一2"+^及

°2一2必+廿叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添

加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方

法叫做配方法.能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.

例如：分解因式：X2+2X-3.

原式=x?+2%-3=(x2+2x+1)-4=(%+1)2-22=(x+1+2)(%+1-2)=(x+3)(x-l)

例如.求代数式2/+4x7的最小值.

原式=21+4X-1=2(犬+2*+1-1)=2*+1)2-3,可知当x=-l时，+4x-l有最小值，

最小值是-3.

⑴分解因式：a2-2a-3=;

(2)试说明：x、y取任何实数时，多项式V+y2-4x+2y+6的值总为正数；

(3)当“7,"为何值时，多项式旭2-2a〃+2〃2-4n+1有最小值，并求出这个最小值.

【答案】⑴(。-3)(。+1)

⑵见解析

(3)当帆=〃=2时，多项式加一2加〃+2/-4〃+1有最小值-3

【解析】

【分析】

(1)仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，运用平方差公式进行分解因式；

(2)先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，利用非负数的性质进行解答；

(3)用配方法将多项式“2-2〃„7+2〃2-4〃+1转化(加一”)2+(〃-2)2—3,然后利用非负数

的性质进一步得最小值.

⑴解：a2-2a-3

=a2-2a+l-l-3

=(