2021-2022学年实际问题的函数建模

§2实际问题的函数建模

课后篇稳固提升

L在固定电压差（电压为常数）的前提下,当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度/（单位:安）与电线半

径可单位:毫米）的三次方成正比.假设电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，那么电流

通过半径为3毫米的电线时，电流强度为0

A.60安B.240安

C.75安D.135安

解析:设比例系数为&,那么电流强度/=4，由可得当r=4时,/=320,故有320=43%,解得A:==5,所以

/=5户,那么当r=3时,1=5x33=135（安）.

答案:D

2.某种动物繁殖数量y（单位:只）与繁殖时间x（单位:年）的关系为y=alog2（x+l）,设这种动物第一年有

100只，那么第七年它们开展到0

A.300只B.400只

C.500只D.600只

解析：：'由题意知，当x=l时,y=100,即100="log22,a=100..：y=l（X）log2（x+l）.

当x=7时,y=1001og28=300（只）.

答案:A

3.某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发，沿直线方向

匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速

返回.设，为出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻f时的距离，以下图像中能大致表示的函

数关系的为（）

解析:由题中所述，只有C符合题意.

答案:C

4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代外表

试人数，假设应聘的面试人数为60,那么该公司拟录用人数为（）

A.15B.40C.25D.130

解析:令）=60,假设4x=60,那么x=15>10,不合题意；

假设2x+10=60,那么x=25,满足题意；

假设L5x=60,那么x=40<100,不合题意.

故拟录用人数为25.

答案:C

5.某产品的总本钱y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20J:-0.1X2(0<X<240,X£

N),假设每台产品的售价为25万元,那么生产者不亏本时(销售收入不小于总本钱)的最低产量是()

A.100台B.120台C.150台D.180台

解析:由题意知

即解之，得150Wx<240且xCN..：不亏本时的最低产量为150台.

答案:C

6.某种商品投放市场以来，曾经过三次降价，其价格由a元降至匕元，那么该商品每次平均降价的百分

数是.

解析:此题是一个平均增长率的数学模型，要用到M=N(1土P%)”这一关系•设每次平均降价为x,那么

由题意，得“(l-x)3=4解得x=l-.故该产品每次平均降价的百分数为X100%.

答案:•100%

7.用清水洗衣服，假设每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%,那么至少要清洗的次数是(1g

2^0.3010).

解析:设至少要清洗x次,那么，

•：x2=3.322,所以需4次.

答案：4

8.

有一长为24m的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10m)围成一个矩形花圃，设该花圃的一边AB为x

m,面积是yn?.

(1)求出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

(2)当花圃一边AB为多少米时，花圃面积最大?并求出这个最大面积.

解：(1)：'0<24-2x^l0,.：7^x<12,

.^y=x(24-2x)=-2x2+24x(7Wx<12).

(2)由(1)得y=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,

.：当AB-lm时,y最大为70m2.

9.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%,假设初时含杂质2%,每过滤一次可使

杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求?(:1g2=0.3010,1g3=0.4771)

解:依题意，得2%W0.1%,即.

那么n(lg2-lg3)^-(l+lg2),

故〃2之7.4,考虑到“WN*,

即至少要过滤8次才能使产品到达市场要求.

10.某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和效劳都很好，但收费方式不同,甲家每张球台每小时5

元;乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的局部每张球台每

小时2元.某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也

不超过40小时.

(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为.大外元(15WxW40),在乙家租一张球台开展活动x小

时的收费为g(x)元(15WxW40),试求式x)和g(x);

(2)问:选择哪家比拟合算?为什么？

解:(1)J(x)=5x,\540;

g(x)=

(2)当5x=90时x=18,

即当15Wx<18时<x)<g(x);

当x=18时次x)=g(x);

当18cxW40时,/(x)>g(x);

.:当15Wx<18时，选甲家比拟合算;当x=18时，两家一样合算;当18cxW40时，选乙家比拟合算.

11.

为减轻手术给病人带来的痛苦，麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂，某医院决定在某小型手术中为

病人采用一种新型的麻醉齐IJ,这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间f(小时)成正比，麻

醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(a为常数)，如下图.

(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间K小时)之间的解析式；

(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时，病人才能清醒过

来，那么实施麻醉开始，至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来？

解:(1)根据题中所述，由题图可知，血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间/(小时)的一个分段函数：

当0〈忘0.1时，函数的图像是一条经过0(0,0)的线段，设其方程为y=kt(k为待定系数)，

又因为40.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得％=10,所以当OWfWO.l时,y=10f.

当f>0.1B寸,函数解析式为y=,

而A(0.1,1)在这段函数图像上,代入得:1=，所以有0.1-4=0,解得a=0.1.

故当t>0.1时,y=.

综上,血液中麻醉剂的含量M毫克)