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文档简介
2025高考数学专项复习圆锥曲线基础总结、二级结论、方法与技巧
圆锥曲线
一、椭圆及其性质
第一定义平面内一动点P与两定点入、月距离之和为常数(大于向EJ)的点轨迹
第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹季=孥=e
dia2
隹占
,■♦、,、、、焦点在力轴上焦点在沙轴上
yiI
B
2——忙1"-
X—
»c
C1小.1
)
图形OF^A2X
p1^2X
BI
■为+g=l(a>6>。)H/丁2
标准方程募+9=l(a>b>0)
范围—a464a且一bWyWb一bW力W6且一a4y《a
—Q)
顶点A(—a,0),A2(a,0),Bi(0,—fe),B2(0,b)4(0,,A2(0,a),Bx(-6,0),5(6,0)
轴长长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=曲列=2c,。2=Q2_〃
焦点月(—c,0)、用(c,0)月(0,—c)、月(0,c)
焦半径\PFX\=a+eg,\PF2\=a-eg炉月|=a-ey0,\PF2\=a+ey0
焦点弦左焦点弦|48|=2。+6(劣1+劣2),右焦点弦|48|=2。—631+62).
e十产](0Ve<l)
离心率
片土星
准线方程X=+—
c“C
力力
o2
切线方程212—16।a2T
azb7z
通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长\AB\=等(最短焦点弦)
⑴由定义可知:|PFJ+|P居|=2a,周长为:2a+2c
2
⑵焦点三角形面积:S^F1PF2=bxtang
⑶当P在椭圆短轴上时,张角。最大cos。>1—2e2
焦点⑷焦长公式:炉尸J=——-——、包
a—ccosaa+ccosa
三角形
I八=___2ab2________2ab2yi
a?—c2cos2ab2+c2sin2(2
⑸离心率:(
e=sin:+Q5Ox
sma+snip
第1页共29页
二、双曲线及其性质
第一定义平面内一动点P与两定点生、尺距离之差为常数(大于]£月1)的点轨迹
平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹季=呼=e
第二定义
dia2
隹占
,■♦、,、、、焦点在X轴上焦点在沙轴上
\1AI
(/虚轴/
虚轴
图形芭)/
/I、\cFzx/z、np1
\1
5三轴\
t/2zp2
标准方程2〃一1(。>0,6>0)-2----=l(a>0,b>0)
范围xW—a或为>a,geRy4—a或g>a,/£R
顶点A(-«)0),A2(a,0)4(0,-a)、人2(0«)
222
轴长虚轴长=2b,实轴长=2a,焦距=\FrF2\-2c,c=a+b
焦点用(一c,0)、姆(c,0)尸i(0,—c)、月(0,c)
焦半径\PFr\=a+ex0,\PF2\=—a+eg左支添”
e=£=J
离心率
a2一
准线方程
-c»c
,b।a
渐近线y=±——xg=土石工
/a
四)/y()y_1xQxyQy_
切线方程2
a2b2~6Q2T
过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长以H=等(最短焦点弦)
通径
(1)由定义可知:区同一|「四=2<1
(2)焦点直角三角形的个数为八个,顶角为直角与底角为直角各四个;
2
⑶焦点三角形面积:SAF1PF2=b4-tan-1--c-\y\
⑷离心率.e—田同-sin。_sin(a+£)
1
“、J•」WPF^—\PF2\\|sina—sin^l|sina—sin^l
隹占■j■
,,♦、,、、、
三角形
第2页共29页
三、抛物线及其性质
定义平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹称为抛物线.
方程y2=2px(p>0)y2=—2px(p>0)"=2pg(p>0)x2=—2p7/(p>0)
yky卜
寸L1
VPl
图形Ljv"yh?1
/JX
一
X
2]X/\~2/尸厂\
顶点(0,0)
对称轴为轴"轴
噌,。)—尸(。,号)尸D
焦点
X=J
准线方程*=-号2"=-晋
离心率e=l
范围力)0/W0">0
切线方程yoy=p(x+xo)wy=—pQ+*0)xox=p(y+yo)xox=-p(y+yo)
通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦\AB\^2M最短焦点弦)
48为过婚=2p/(p>0)焦点的弦,4(力1,%)、B(62,例),倾斜角为则:
⑴|北闭=%1+普\BF\=x+
2\AB\=Ti+x2+p,
(2)电电=丁yiV2=-p2
(3)|AF|=—\BF\=—1,1_2
1—cosa1+COSQ\FA\\FB\P
⑷AB|=2与S^AOB—
sina2smdf
AB为过/=2Pg(p>>o)焦点的弦,461,%)、氏狈仇),倾斜)语为a.则:
(1)|AF|=——\BF\=——£——
1—sma1+sin(7
⑵黑
S^AOB—
29cosa
焦点弦
(3)嚣|二九则:sint
'4+1
<|\
oX
x=~^
xc(p>0)y2=2j)x(p>0)
第3页共29页
四、圆锥曲线的通法
椭圆双曲线抛物线
@点差法与通法
1、圆锥曲线综述:
联立方程设交点,韦达定理求弦长;变量范围判别式,曲线定义不能忘;
弦斜中点点差法,设而不求计算畅;向量参数恰当用,数形结合记心间.
★2、直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线的设法:
①若题目明确涉及斜率,则设直线:沙=岫+6,需考虑直线斜率是否存在,分类讨论;
②若题目没有涉及斜率或直线过(a,0)则设直线:④=+a,可避免对斜率进行讨论
⑵研究通法:联立I",得:&/+红+c=0
W,7/)=0
判别式:△=〃—4ac,韦达定理:g+a;2=—5,X]X2-
(3)微长公式:\AB\=J(±i—工2尸+(%—仇y=VT+A?|XI-x2\
=/(+/).[(口+电)2-4力122]=J1+表[(%+例)2—4%统]
3、硬解定理
设直线y=ka+p与曲线a+/=1相交于421,%)、B(x2,y,2)
由:,可得:(九+巾%2),2+2的巾2;+机(卬2—71)=0
\nx+my—rrm
弟J另lj式:△—4mn(n+mfc2—(p2)韦达定理:g+/2=-2ktm?血电="&—£
n+mkn+mk,
由:山一/2I=NQi+/2)2—46162,代入韦达定理:E一冗21=一
n+mk
★4、点差法:
若直线,与曲线相交于河、N两点,点P(g,仇)是弦MN中点,MN的斜率为出小,
2212
则:在椭圆-^2-+T2-=l(Q>b>。)中,有kMN•~~~---
ab力。a
22j2
在双曲线m--%=1(Q>b>0)中,有AMN'~~~=~2";
ab力oa
在抛物线y2=2px{p>0)中,有kMN-yQ=p.
(楠国)
设7W、N两两点的坐标分别为(如%)、(/2,仇),
第4页共29页
2
2
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为1
1
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2
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62
'61+
一61
62
程
数方
的参
曲线
圄像
U
的概念
数方程
1、参
数1
的函
变数t
是某个
①沙都
的坐标
意一点
线上任
中,曲
标系
角坐
面直
在平
(t)
ly=g
程
,该方
曲线上
在这条
。)都
MQ,
的点
确定
程所
这个方
值,由
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一个
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并且
数.
称参
数,简
参变
t叫做
变数
。,9的
变数
,联系
方程
参数
线的
条曲
做这
就叫
程.
普通方
程叫做
系的方
标间关
点的坐
接给出
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程而
数方
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相对
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直线的
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数方程
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a丰
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