2025高考数学专项复习：圆锥曲线基础总结、二级结论、方法与技巧

2025高考数学专项复习圆锥曲线基础总结、二级结论、方法与技巧

圆锥曲线

一、椭圆及其性质

第一定义平面内一动点P与两定点入、月距离之和为常数（大于向EJ）的点轨迹

第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹季=孥=e

dia2

隹占

，■♦、，、、、焦点在力轴上焦点在沙轴上

yiI

B

2——忙1"-

X—

»c

C1小.1

)

图形OF^A2X

p1^2X

BI

■为+g=l(a>6>。)H/丁2

标准方程募+9=l(a>b>0)

范围—a464a且一bWyWb一bW力W6且一a4y《a

—Q)

顶点A(—a,0),A2(a,0),Bi(0,—fe),B2(0,b)4(0,,A2(0,a),Bx(-6,0),5(6,0)

轴长长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=曲列=2c,。2=Q2_〃

焦点月(—c,0)、用(c,0)月(0,—c)、月(0,c)

焦半径\PFX\=a+eg,\PF2\=a-eg炉月|=a-ey0,\PF2\=a+ey0

焦点弦左焦点弦|48|=2。+6（劣1+劣2），右焦点弦|48|=2。—631+62）.

e十产］(0Ve<l)

离心率

片土星

准线方程X=+—

c“C

力力

o2

切线方程212—16।a2T

azb7z

通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长\AB\=等（最短焦点弦）

⑴由定义可知：|PFJ+|P居|=2a,周长为：2a+2c

2

⑵焦点三角形面积：S^F1PF2=bxtang

⑶当P在椭圆短轴上时，张角。最大cos。>1—2e2

焦点⑷焦长公式：炉尸J=——-——、包

a—ccosaa+ccosa

三角形

I八=___2ab2________2ab2yi

a?—c2cos2ab2+c2sin2（2

⑸离心率:（

e=sin:+Q5Ox

sma+snip

第1页共29页

二、双曲线及其性质

第一定义平面内一动点P与两定点生、尺距离之差为常数（大于］£月1）的点轨迹

平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹季=呼=e

第二定义

dia2

隹占

，■♦、，、、、焦点在X轴上焦点在沙轴上

\1AI

(/虚轴/

虚轴

图形芭)/

/I、\cFzx/z、np1

\1

5三轴\

t/2zp2

标准方程2〃一1(。>0,6>0)-2----=l(a>0,b>0)

范围xW—a或为>a,geRy4—a或g>a,/£R

顶点A(-«)0),A2(a,0)4(0,-a)、人2(0«)

222

轴长虚轴长=2b,实轴长=2a,焦距=\FrF2\-2c,c=a+b

焦点用（一c,0）、姆（c,0）尸i(0,—c)、月(0,c)

焦半径\PFr\=a+ex0,\PF2\=—a+eg左支添”

e=£=J

离心率

a2一

准线方程

-c»c

,b।a

渐近线y=±——xg=土石工

/a

四)/y()y_1xQxyQy_

切线方程2

a2b2~6Q2T

过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长以H=等（最短焦点弦）

通径

（1）由定义可知：区同一|「四=2<1

（2）焦点直角三角形的个数为八个,顶角为直角与底角为直角各四个；

2

⑶焦点三角形面积：SAF1PF2=b4-tan-1--c-\y\

⑷离心率.e—田同-sin。_sin（a+£）

1

“、J•」WPF^—\PF2\\|sina—sin^l|sina—sin^l

隹占■j■

，，♦、，、、、

三角形

第2页共29页

三、抛物线及其性质

定义平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹称为抛物线.

方程y2=2px(p>0)y2=—2px(p>0)"=2pg(p>0)x2=—2p7/(p>0)

yky卜

寸L1

VPl

图形Ljv"yh?1

/JX

一

X

2]X/\~2/尸厂\

顶点(0,0)

对称轴为轴"轴

噌，。）—尸（。，号）尸D

焦点

X=J

准线方程*=-号2"=-晋

离心率e=l

范围力)0/W0">0

切线方程yoy=p(x+xo)wy=—pQ+*0)xox=p(y+yo)xox=-p(y+yo)

通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦\AB\^2M最短焦点弦）

48为过婚=2p/(p>0)焦点的弦，4(力1，%)、B(62,例)，倾斜角为则：

⑴|北闭=%1+普\BF\=x+

2\AB\=Ti+x2+p,

(2)电电=丁yiV2=-p2

(3)|AF|=—\BF\=—1,1_2

1—cosa1+COSQ\FA\\FB\P

⑷AB|=2与S^AOB—

sina2smdf

AB为过/=2Pg(p>>o)焦点的弦，461,%)、氏狈仇),倾斜)语为a.则:

(1)|AF|=——\BF\=——£——

1—sma1+sin(7

⑵黑

S^AOB—

29cosa

焦点弦

(3)嚣|二九则:sint

'4+1

<|\

oX

x=~^

xc(p>0)y2=2j)x(p>0)

第3页共29页

四、圆锥曲线的通法

椭圆双曲线抛物线

@点差法与通法

1、圆锥曲线综述：

联立方程设交点，韦达定理求弦长;变量范围判别式，曲线定义不能忘；

弦斜中点点差法,设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.

★2、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线的设法：

①若题目明确涉及斜率,则设直线：沙=岫+6,需考虑直线斜率是否存在,分类讨论；

②若题目没有涉及斜率或直线过（a,0）则设直线：④=+a,可避免对斜率进行讨论

⑵研究通法:联立I",得：&/+红+c=0

W，7/）=0

判别式：△=〃—4ac,韦达定理：g+a；2=—5，X］X2-

（3）微长公式：\AB\=J（±i—工2尸+（%—仇y=VT+A?|XI-x2\

=/（+/）.［（口+电）2-4力122］=J1+表［（%+例）2—4%统］

3、硬解定理

设直线y=ka+p与曲线a+/=1相交于421,%）、B（x2,y，2）

由：，可得：（九+巾%2）,2+2的巾2；+机（卬2—71）=0

\nx+my—rrm

弟J另lj式：△—4mn（n+mfc2—（p2）韦达定理：g+/2=-2ktm?血电="&—£

n+mkn+mk,

由：山一/2I=NQi+/2）2—46162,代入韦达定理：E一冗21=一

n+mk

★4、点差法：

若直线，与曲线相交于河、N两点，点P（g,仇）是弦MN中点，MN的斜率为出小，

2212

则:在椭圆-^2-+T2-=l（Q>b>。）中，有kMN•~~~---

ab力。a

22j2

在双曲线m--%=1（Q>b>0）中，有AMN'~~~=~2"；

ab力oa

在抛物线y2=2px{p>0）中，有kMN-yQ=p.

（楠国）

设7W、N两两点的坐标分别为（如%）、（/2,仇），

第4页共29页

2

2

%

为1

1

+

-

一-

一±

2

Q

2

t有

6

n

n

^

2

2

生2国

L

+

-

-

2

Q

,

2

b

.

=0

4/

‘匚潺+

⑵，得

⑴—

0

a

=♦

+%

%一

.—一

2

'

~

x+x

Xi

"X-

o

r

2

2

=_尤

.岂

.卜

y

^y

仅

%+

统一1

=

=

=

kMN

又,：

2

MN

a

x

•

力••

2力

62

'61+

一61

62

程

数方

的参

曲线

圄像

U

的概念

数方程

1、参

数1

的函

变数t

是某个

①沙都

的坐标

意一点

线上任

中，曲

标系

角坐

面直

在平

(t)

ly=g

程

,该方

曲线上

在这条

。)都

MQ,

的点

确定

程所

这个方

值，由

允许

一个

t的每

对于

并且

数.

称参

数，简

参变

t叫做

变数

。，9的

变数

，联系

方程

参数

线的

条曲

做这

就叫

程.

普通方

程叫做

系的方

标间关

点的坐

接给出

言，直

程而

数方

于参

相对

程

参数方

直线的

派2、

sa

+tco

x—x

Q

数方程

线的参

)的直

a丰