2021-2022学年沪教版数学八年级上学期同步讲义 第3讲 二次根式的运算 -教师版

第3讲二次根式的运算.解析版

教学内容

进门测试

二次根式加减法的步骤是什么？

课堂导入

精讲精练

模块一：二次根式的加减法

【知识梳理】

i.二次根式的加法和减法：

先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并(化简+合并).

【例1】【例题精讲】计算：

(1)

而-呼(2)(705-3

【难度】★

【答案】(1)-73;(2)—+473.

34

【解析】(1)原式=56-亚-且=口后；

433

(2)原式传_3x等生54*6一乎+56=孝+4石.

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.

【例2】计算：

(1)-J9〃zH—J16-;(2)J5O(〃—q)+/-----.

34\P-Q

【难度】★

【答案】(1)5y[m；(2)(5+―江卜2(〃一夕).

【解析】(1)—\/9m+—V16m=—x3\/m+—x4\/m=2\[m+2>\[m=5\[m;

3434

(2)，50(p—q)+J-=5J2(7一q)+^-J2(夕一>)=(5+—^―],2(〃一q).

Np-qp-qIP-Q)

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.

【例3】计算：

(1)f屈+后7_5'+2属；(2)1732?+2x^|-x2^.

【难度】★

【答案】(1)^2x2+4x+^V2x；(2)-2xy/2x

【解析】(1)5^=2x2+4xV2x-—•+l^lx=[2x2+4x+—1>/2x；

2xI2)

(2)原式=L4xy/lx+2x-_5x2-2ZIZ-2X41X+X\/2x-5xy/2x=-Ixyflx.

22x

【总结】木题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.

【例4】如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2,求阴影部分的面积.

(1)4b+yj(a-b)3--a2b(a>0);

【难度】★★

【答案】(1)(2-byla-b；(2)(6+，(3)+\y/a2-b2-

[m-n)-cr

【解析】(1)由题可知：a-h>0,则原式=2&-/?+(〃a=(2-b)Ja-b；

(2)原式=642(m-〃)+—-—d2(m-n)=f6+―-—\J2(ni-n｝；

m-nNIm-n)^

(3)原式=a二工一位d-当N=(二——J——

a+ba-ba~-b\a+ba-ba'-b~J

2/74-1yla2-b2.

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.

【例6】先化简，再求值：［《^+之瓜［-4x#+,36孙］,其中》='|,

y=27.

【难度】★★

【答案】衿

【解析】原式=6A-

=6历+3而-

4x—I----

y=27时，原式=3----2xJ-x27=—V2.

“I，27V22

【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简再带值计算.

【例7】设直角三角形的两条直角边分别为a,h,斜边为c,周长为C.

(1)如果a=廊，b=求C;(2)如果〃=3方>=5逐，求C.

【难度】★★

【答案】(1)30后；(2)875+7170.

【解析】(1)因为。=力2+从=,50+288=而i=13夜,

所以。=廊+7^§+13&=5痣+12及+13拒=30日；

(2)gl>9c=Va2+/>2=V45+125=7170,J9fWC=3>/5+575+V170=875+V170.

【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用.

【例8】解不等式：2x+&4x-《.

【难度】★★

【答案】x<3后.

12

【解析】由2x+、g>4x-器，得:2X+正>4x-更，E|J-2X>-->/5,所以》<上石.

Y4V923612

【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，注意判断不等式两边所除的数的

符号.

【例9】己知a+b=—2,ab=\,求由+后的值•

【难度】★★★

【答案】2

【解析】由题意可得：«<o,。<0,则苦+-=-乎+[一乎)=-甯而，

代入a+〃=—2,ab=\9则原式=--V1=2.

1

【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的化简以及加法运算，注意判定每一个因式的符

号.

【例10】已知+y2-4x-6y+10=0,求+>(_?^-5尤—]的值.

【难度】★★★

【答案】在+9.

4

【解析】V4x2+y2-4x-6y+10=0,(2A--1)2+(y-3)2=0,即；,x=；,y=3.

*.*原式=2x\[x4-y[xy-x>fx+5^xy=x4x+6y[xy，

・,•代值后，得：=—x+6x/—x3=—+376.

2V2V24

【总结】本题综合性加强，一方面考查二次根式的化简求值，另一方面考查几个非负数的和为

零的基本模型.

【例11】已知。一匕=2+石，b-c=2-6,求/+从+/的值.

【难度】★★★

【答案】15.

【解析】由题意可得:a-c=(a-b)+(b-c)=4,

2

a2+人2+c-ab—ac—be

g（2+73）2+42+（2-V3）2

=-x30

2

=15

【总结】木题一方面考查二次根式的运算，另一方面考查完全平方公式的变形.

模块二：二次根式的乘除法

【知识梳理】

1、二次根式的乘法和除法

(1)两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变;

(2)两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.

【例题精讲】

【例12】计算：

(1)V12x>/32；(2)yfxy-y/4y•

【难度】★

【答案】(1)876；(2)2)，石.

【解析】(1)X^/§^=2行4及=8指；(2)y/xy-x/4y=y[xy-2y[y=2y\/x.

【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用.

【例13】计算.

(1)^1^4-；(2)-/lx-i-yl2y

(3)Jx3y+；(4)+J12"23n.

【难度】★

【答案】(1)3；(2)(3)%回；(4)

2y5v3mn

【解析】(1)铝;

(2)

(3)

(4)y/Sm2+J12加〃=2m五+21nl31ml=———-.

3mn

【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用.

【例14】计算：

(1)；Jxyz。-3-Jxyz;

【难度】★

【答案】(1)xyz4z:(2)；(3)60r2Jl5a；(4)

2x2-2y2

【解析】

3f2_/3_fT_3>/6.76(.2_76

(2)

2V3V2V6232(6j63

【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用.

【例15】计算：

(1)Gxj-a2b3；(2)3&x5而；

(3)Jx(x+y)+——(x>0,y>0);(4)y/a-b+\/a2c-b2c(a>匕>0).

x+y

【难度】★★

【答案】(1)-a2b日;(2)30屈；(3)山；(4)^ca+cb.

yca+cb

【解析】(1)由题意可得：Z?v0,贝lj义J-1>=a--ab\[^b=-crh4-h;

(2)3疡x5痘=30V^;

(3)屈寿+居=屈寿停=手；

(4)\la-b+42c=>ja-b+Jc(a+b)(a-b)=""+.

丫ca+cb

【例16】计算：

⑴咨展

【难度】★★

【答案】(1)-2a\[a;(2)-6啦.

一、15HOf25__1585_158噜=一2.；

【解析】⑴一利2为Y奇=-五•法+病=-1•访

【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定.

【例17]如图所示，在面积为2a的正方形ABC£＞中,截得直角三角形ABE的面积为

—a，求BE的长.

3

【难度】★★

【答案】恒.

3

【解析】正方形的边长为而，则LB»AB=3”，

贝ljBE=

233

【总结】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用.

其面积为半，求等腰三角形的高.

【例18】已知④和可是等腰三角形的两条边,

【难度】★★

噜；底边上的高为等.

【答案】腰上的高为:

【解析】由题意可得：等腰三角形的三边长为屈，M,6,

由上加.〃=叵，解得：h=叵,即腰上的高为画；

221010

由。血1=丝，解得：〃=华，即底边上的高为运.

2222

【总结】本题考查的知识点较多，一方面考查二次根式的乘除运算，另外考查了三角形的三边

关系，另一方面此题没有说明是哪条边的高，因此要分类讨论.

【例19】解方程：6-2疯=-2&.

【难度】★★

【解析】由6-2向=-2夜，得：2向=2五+豆，则尸逑建,

2V6

化简，得：尤=3/+4、.

12

【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用.

【例20】计算.

【难度】★★★

【答案】（1）y-l：（2）3—27〃；（3）a2--+2+a.

b

【总结】木题主要考查二?:根式的混合运算，注意法则的准确运用.

【例21】计算.

（1）'层£3《卜得（心°’〃叫；

卮叶寻皿

⑵-.

【难度】★★★

【答案】(1)之曲;(

2)\/m—n.

mn-m

【解析】(1)工叵xpl周一唇

mv2m1tn

n11n/fi312m3

mmV2m3,vnr,

_nIn/2M

=2忙

MVM

nnIn

=肃而比

nnyfnm

m2mm

2

=-^-r\fmn

m

断-

(?)3~^n.f3np-

2a2jN"2-九

l3m2-3n212a2x/1

~N2a2h

?72—3n2\m-n

3a1------

=---------\Jm-n.

m-n

【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判

定.

当堂检测

(2)Jo.5+J32—2^^——J75

【答案】⑴父后⑵・也⑶”.

【解析】（1）3&2旧-旧-g旧事+触-触-*布=如;

历+后一2卜♦一行=*+4行一飙一乎一5百=］也一15

(2)

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并.

【难度】★

【答案】（1）-6拉；（2）--V2-1.

4

【解析】（1）^-7115-^7300+J5J-V245=^-|V2-|V3+^-1s/2=-6V2；

（2）（血-2>/6^）-（旧+回+g阮）

QQ1

=2^-1-->/2-5^-4>/2=--V2-1.

44

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并.

【习题3】计算:

+40**；

(1)(2)—xy/9x+6x

3

(3)—\[^a+8〃

2

【难度】★

近+5

【答案】(1)；(2)x4x+7y[xy；(3)2a4a.

2

◎

【解析】(1)-耕沙=«+也一容6泻+56

|村

(2)冢+6x2xy[x+6yfxy+y[xy-x4x=x4x+l4xy；

a

(3)3\[4a+8ad---a~2=a4a+2a\[a-a\[ci=layfa.

16

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并.

【习题4】计算:

(1)6727x(-273);

【难度】★

【答案】(1)-108；(2)--；(3)VlO；(4)-6V3+—

33

【解析】(1)6A/27X(-273)=18^x(-273)=-108;

+卜旧)=4右+3石)=-g

(2)4亚

(3)(V45->/20)x>/2=(3^-2x/5)x>/2=75xV2=x/i0;

(4)18-s包.

3底3

【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定.

【习题5】计算：

(1)(3/?G+a•)-(J4ab+ab>Jb);

(2)3x机+y由一+夜3

弁+26.

(3)a2\/Sa+面

【难度】★★

5)J2a+.

【答案】(1){a+b-ab)4b；(2)(4-x+y\[xy;(3)|2a2+5a—

【解析】(I)=3by[b+a\/h-2h\[ab-ab\[b=(3Z>+a-ab)\fb-2b\[ab；

(2)3x^+y+=3y[xy+y/xy-Xy/xy+yy/xy=(4-x+y)y[xy；

(3)原式=2/\/^+Sa-Jla--2^^+2>fa=(2/+5a-^\/2a+2x/a.

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并，另外只有同类二次根式才能

合并.

【习题6】计算：

(1)QG-3&y；(2)亚)+#；

⑶小信2后+患;(4)(#)xf)一向河

【难度】★★

【答案】(1)30-1276；(2)"2;(3)--V3.

33

【解析】⑴(28-3&『=12+18-12后=30-12#；

(2)(布-血b#=布+指-&+后=1-日；

(3)原式二而x姬一2x3"2.旦会/石，石；

56233333

(4)=—x6\/6x—x3—\[2x3——=12-76--76=11\/6.

8813

【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定.

(2)6松学.3

(4)(7五-6)(6+26).

【难度】★★

【答案】(1)工；(2)108x2y；(3)-：(4)7x+13向-2y.

36x3

【解析】(I)5的+=5X^^XL—=；

V666xyJ6x36x

(2)6j3/C.3^1^1=18卜2y3.1Z£=18•6fy=108x2y；

5

\/3a=—\j3ci—>J3a+2y13cl■i-yfia=-\/3a4-V3a(4)

33

(J\[x-4)(4+A/?)=7x+147^-yfxy-2y=7x+l3y[xy-2y.

【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定.

【习题8】计算.

(1)yJabcxl^abc2；(2)yjlxx\]6xy^(y>0);

(3)^\[a;)*■

【难度】★★

【答案】(1)2abcy/c；(2)26xy;(3)-~a4y[a;(4)--Vx.

3x

【解析】(1)\labcx2\labc2=2abc\[c；(2)y[2xxy)6xy2=2y/3xy;

(3)gGx卜2^/^)xg^/^=g&x^-2a>/a^x—a2\/a=--a4\/a;

33

3=_8、H=-双后.

(4)=2y.匕.

xxyvxx

【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用.

【习题9】计算.

6毋1杼

(1)(2)\ja+b4-Vcrc-b2c(a>b>0)；

2a+2b4a+b

(3)+\/|0H3V(W>0)；(4)

"Vx2"5y12^■

【难度】★★

(1)她;(2)如卫(3)叵；

【答案】;(4)-15扬.

15ac-bc5uv

(1)6口+，F=6X-U2a二屈

【解析】

V452V33岳3415'

a

(2)Ja+匕.J/c一加c=Ja+Z?+J(G+力="C:c.

6…面v=、F=叵;

(3)

V5uv5uv

12^^la±b=_6x5=

(4)222

Vx5\2bx-47xa+b"

【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用.

【习题10】计算：

（1）3xy/xy-r

I2寸)

(2)2J%?+<0,/«<0).

a

【难度】★★

【答案】(1)0；(2)8向.

【解析】(1)=3xy/xy-+x2^2xy-^-^-yflxy^=x2y-x2y=0；

-xjamr

(2)原式3a---------\-lm-=-2\[ani+3ylmii+Ixfain=S\/am.

-a.a

【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用，（2）中要特别注意被开

方数的符号.

【习题11】先化简后求值，当x=4,yj时，求正-历-6-:正的值.

【难度】★★

【答案】（）.

【解析】因为出-工厅=4x-2y[y-^----yy[y=^--3y/y,

V4y2y2

所以当x=4,y=」时，原式=31一3xE=0.

,92V9

【总结】本题主要考查二次根式的化简求值.

【习题12】化简：«x3+x2y+—xy2--jcy-vxy2+y3.

V4AV4

【难度】★★★

【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的化简，注意符号的判定.

【习题13]解下列方程和关于x的不等式:

(1)3石x+6G=V5x；(2)2瓜+6&<3岳.

【难度】★★★

【答案】(1)X=-1A/F5;(2)x>3-76+6.

【解析】(1)由3底:+66=石犬，得：30-&=-6+，即26r=-6石，所以x岳;

673

(2)由20+6十<3缶，得：@五-2g)x>6G，解得

二3及一26

化简，得：x>3«+6.

【总结】本题主要考查二次根式的运算在方程和不等式中的运用，注意相关符号的判定.

【习题14]已知X为奇数，且^^3=、忙6,求川+2》+-/1+7》-8的值.

49-xV9-XVx+1

【难度】★★★

【答案】12^5.

【解析】由题意可得：x-6>0且9-x>0,则6cx<9.,.・尤为奇数，.•.x=7.

，1+2犬+犬-J：78=(x+1).]/"+晋一"=J(x+8)(x-l)(x+l),

.•.当x=7时，原式=J(7+8)x(7-l)x(7+l)=12后.

【总结】本题综合性较强，要先根据二次根式有意义的条件判定出x的取值，然后再对所求二次根式进行化

简再代入求值.

【习题15】先化简，再求值：2ay/^-2j27aW+2abp岫,其中“=2，b=3.

6V49

【难度】★★★

【答案】

2

【解析】因为原式=2abJ3ab—:•3ab飞3。1>+2ab•2^^.=(3"-卜3ab,

所以当a=g,〃=3时;原式=(3*〃3-3小32卜小3小3=3.

【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意计算时细心一些.

【习题16]已知x=3-2y,求3"石+7■的值•

【难度】★★★

【答案】朱

3

【解析】3jx-2y+54%2-]6y2=3jx-2y+2j(x-2y)(x+2y)=

2dx+2y

3_A/3

•♦3Jx—2y+-]6)"^=T

【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查整体代入思想的运用.

课堂检测二

【难度】★

【答案】(1)-1373；(2)-176+—V2；(3)3百+2后；(4)—+1172.

3433

【解析】(1)775+2./5--3>/108-8./-=5>/3+->/3-18>/3--73=-13>/3；

V3V333

(2)(2.+去卜⑻河=|二+*冬2+4后=T3卜;

(3)(a-4A卜(34-4疝)=4>5-飙-行+2&=|6+2垃;

⑷哈半+3收黑邛一员12夜邛邛+11收.

【总结】木题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.

2.计算.

(1)cry/Sa+3〃>/50〃3——J8/;(2)A/—•+aJo.75c——

2\cc~5

⑶yV18X+X2^|+6JC^|；

(4)(8府-3x用Li而1x>0,y>0).

【难度】★

【答案】(I)\6a2y[2a；(2)—V3c;(3)—V2x;(4)^y^[xy.

c2

【解析】(1)4屈+3口7^7一q7^7=2/伍+15〃伍一幺2〃房=16"缶

22

盾¥3FT-2y1^c5[33/^-\/3c3/r-

(2)原耳二73c+二・c---------J-=-v3c+---------=73c；

cc25eyecccc

2

(3)原式=N•3\/2x+x•+6x•=2xy/2x+x^lx+—y[2x=—5/2x;

3x422

(4)原式=Syy[xy-3x-

=8y向-3y[xy-4H+7y[xy=Syyfxy.

【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.

3.计算.

【答案】(1)—；(2)8；(3)3痣；(4)—

【解析】(1)LpxOSxH=L®xO.6x叵=亚;

3V4V1232620

(2)腐、半第=4氏率应=8；

(3)同xg后+2忖=同亭：6*；・半=3亚;

【总结】本题主要考查二次根式的乘除混合运算，注意法则的准确运用.

4.计算：

(1)(V5+2A/3)2-(V5-2>/3)2；(2)(26+3亚)(26-3血);

(3)(-6卜[5>/^-23)；

(4)

【难度】★★

【答案】(1)8而：(2)-6:(3)-5a石+2：(4)-3%

【解析】(1)(石+2可-(石-2⑹)=(5+12+4厉)-(5+12-4巫)=8而;

(2)(2>/5+3及)(2>/5-3亚)=12-18=-6;

(3)(-Va)x=-5a\[a+2；(4)原式

a

=^x\fx-2x4x-2x\/xj+G=-3xy/x+G=-3x・

【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用.

中算

2

b-

(2)gm\/9m_(18或不5-Itn1]J—)(/n>0)；

(3)；Jx2yx(-4^—)+*Jx2y(x>0»y>0).

【难度】★★

【答案】(1)9a2by[ab；(2)my[m；(3)--Vx.

x

2222

【解析】(1)^^i=--b\fab-(<--a\/ab-3.[^-)=-9ab-=-9ab4ab；

b2\bb

(2)原式=-m-3\fm-(10加•亚^-2m2•=m\fm-2m\[m+2m\[m=m\fm；

35m

(3)原式=；工后乂(-4丁。).£.[=-8y・4=一?«・

【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用.

6.化简：

⑴f

⑵后,产-4

【难度】★★

【答案】(1)by[ab;(2)y[xy.

【解析】(1)原式二工八产+4帅+埒=上x*界=也

2a+bVb2a+bb

⑵原式=广、但名三生z而=而.

2x-y'y2x-yy

【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用.

7.若直角三角形的面积是作cm?,一条直角边长gem,求另一条直角边长及斜边上的高线长.

【难度】★★

【答案】2-76;-V6.

3

【解析】另一条直角边长为：2炳+6=2而；斜边上的高为：2R忑+冰=乙屈.

3

【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查等积法的运用.

8.化简：电+口)+。方区〃%>0,〃>0).

Vmmnvm

【难度】★★

a2-ab-i\-\.

【答案】

~a^

【解析】原式=d-叵-畋屈+匕叵)

mmmna~bn

ci~—ab+1

a2b2

【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用.

【作业1】已知4=3+26，b=3-2后,求加的值.

【难度】★★

【答案】-44后.

【解析】由题意有:ab=—\1,a-b=4后,J^lfIUa2b—ab2-ab(a—fe)=-11x4>/5--44-75.

【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求代数式的值.

9.解关于x的不等式：

(1)哭-荒>6+拉+1；(2)2(x+1)-(x-1).

J

:-2V3-3V2;(2)x>2V6-V3-V2+5.

x<

由

x+3x-2>>/3+V2+1，

kF

6旦

-y/2,>5/3++1,

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