天津高考数理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅰ卷一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题,每小题5分，共40分.1．已知，，则()A.B.C.D.【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】先化简集合，再利用数轴进行集合的交集运算.由已知得,于是2．设变量x,y满足约束条件则目标函数的最小值为() A. B.C.1 D.2【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线，当直线过可行域内的点时，有最小值,.第2题图jxq563．阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为1,则输出S的值为（）第3题图jxq57A.64 B.73 C.512 D.585【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】，跳出循环，输出.4．已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆相切.其中真命题的序号是:（） A.①②③ B.①② C.①③ D.②③【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】命题①，设球的半径为R，则故体积缩小到原来的，命题正确；(步骤1)对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2）对于命题③，圆的圆心到直线的距离，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤3)5．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=（） A.1 B. C.2 D.3【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值.【难易程度】中等【考查方式】直接利用圆的切割线定理及三角形相似求值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】因为，所以，因为AE与圆相切，所以，所以，所以.（步骤1）又因为，所以四边形是平行四边形，由切割线定理可得，于是，所以（负值舍去），因此，（步骤2）又因为，所以，解得.（步骤3）14．设a+b=2,,则当a=时,取得最小值.【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】去掉绝对值符号，利用均值不等式求最值进而求a的值.【难易程度】较难【参考答案】【试题解析】由于a+b=2，所以，（步骤1）由于，所以，因此当时，的最小值是；（步骤2）当时的最小值是，故的最小值为，此时，即.（步骤3）三．解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数的周期性和最值.【考查方式】给出三角函数，利用其周期性和最值求值.【难易程度】容易【试题解析】(I)，故的最小正周期；（步骤1）(II)因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，并且，，，故在上的最大值为，最小值为.（步骤2）16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】利用古典概型的概率公式结合计数原理求概率，进而求分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(I)记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件，则，故所求概率为；（步骤1）(II)的所有可能取值为.，，，.故的分布列如下表是：1234（步骤2）其期望.（步骤3）17．(本小题满分13分)如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1(Ⅰ)证明B1C1⊥CE;(Ⅱ)求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.第17题图jxq61【测量目标】两条直线的位置关系，二面角，线面角，空间向量的应用.【考查方式】建立空间直角坐标系，利用空间向量证明及求值.【难易程度】中等【试题解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，.(I)易得，，故，因此；（步骤1）(II)，设是平面的法向量，则，得，取可得平面的一个法向量.（步骤2）由(I)，又，故平面，知为平面的一个法向量.（步骤3）故，知，所以所求二面角的正弦值为；（步骤4）(III)，，设，则.（步骤5）取为平面的一个法向量，设为与平面所成的角，则.于是，解得（负值舍去），（步骤6）所以.（步骤7）第17题图1jxq6218．(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为的直线与椭圆交于C,D两点.若＋＋,求的值.【测量目标】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用直线的定义和直线的位置关系求解椭圆的标准方程，利用直线的方程、向量的坐标运算、代数方法研究圆锥曲线的性质，运用方程求直线的斜率.【难易程度】中等【试题解析】(I)设，用，知.（步骤1）过点且与轴垂直的直线为，代入椭圆的方程有，解得，于是，解得.（步骤2）又，从而，所以椭圆的方程为.（步骤3）(II)设点，，由得直线的方程为，由方程组消去，整理得求解可得，（步骤4）因为，所以＋.（步骤5）由已知得，解得.（步骤6）19．(本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列,其前n项和为,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的最大项的值与最小项的值.【测量目标】等比数列的通项及性质，前项和.【考查方式】利用等差、等比数列的性质求通项及前项和，分类讨论并利用单调性判断最值.【难易程度】中等【试题解析】设的公比为，因为成等差数列.所以，即，故.（步骤1）又不是递减数列，且，故，故等比数列{}的通项公式为（步骤2）(II)由(I)得，（步骤3）当为奇数时，随的增大而减小，故，故.当为偶数时，随的增大而增大，故，故.综上，的最大项为，最小项为.（步骤4）20．(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使.(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为,证明:当时,有.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，函数的零点的应用，直接证明.【考查方式】给出函数方程，利用导数求单调区间，利用零点证明等式，结合导数证明不等式.【难易程度】较难【试题解析】(I)由题，令得.（步骤1）当变化时，、的变化情况如下表所示