矩阵运算与方程组求解

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项目五矩阵运算与方程组求解矩阵运算与方程组求解（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）实验1行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法.掌握利用Mathematica(4.0以上版本)对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算,并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica中,向量和矩阵是以表的形式给出的.1.表在形式上是用花括号括起来的若干表达式,表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2.表的生成函数最简单的数值表生成函数Range,其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m,n]—生成表{m,…,n};Range[m,n,dx]—生成表{m,…,n},步长为dx.(2)通用表的生成函数Table.例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量,二层表表示矩阵.例如,矩阵可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A显示成通常的矩阵形式.例如,输入命令:MatrixForm[A]则输出但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩阵A不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量,但实质上Mathematica不区分行向量与列向量.或者说在运算时按照需要,Mathematica自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]则输出注:这个矩阵也可以用命令Array生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4.命令IdentityMatrix[n]生成n阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1],b[2],b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6.矩阵的线性运算:A+B表示矩阵A与B的加法;k*A表示数k与矩阵A的乘法;A.B或Dot[A,B]表示矩阵A与矩阵B的乘法.7.求矩阵A的转置的命令:Transpose[A].8.求方阵A的n次幂的命令:MatrixPower[A,n].9.求方阵A的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a与b的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵A的转置函数Transpose[A]例1.1求矩阵的转置.输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm输出为如果输入Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误.由此可见,向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例1.2设求输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm输出为如果矩阵A的行数等于矩阵B的列数,则可进行求AB的运算.系统中乘法运算符为“.”,即用A.B求A与B的乘积,也可以用命令Dot[A,B]实现.对方阵A,可用MatrixPower[A,n]求其n次幂.例1.3设求矩阵ma与mb的乘积.输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm输出为矩阵的乘法运算例1.4设求AB与并求输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B右乘矩阵A的结果.如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B左乘矩阵A的结果这里不需要先求B的转置.求方阵A的三次方,输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为例1.5(教材例1.1)设求及输入A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}MatrixForm[B]3A.B2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出及的运算结果分别为求方阵的逆例1.6(教材例1.2)设求输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm则输出注:如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果,即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例1.7求矩阵的逆矩阵.解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8设求输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm输出为对于线性方程组如果A是可逆矩阵,X,b是列向量,则其解向量为例1.9解方程组输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b输出为{1,1,2}求方阵的行列式例1.10求行列式输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]输出为40例1.11(教材例1.3)求输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify则输出例1.12计算范德蒙行列式输入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm输出为再输入Det[van]则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]则有输出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13(教材例1.4)设矩阵求输入A={{3,7,2,6,4},{7,9,4,2,0},{11,5,6,9,3},{2,7,8,3,7},{5,7,9,0,6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出分别为115923向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示,也可以用命令Dot实现例1.14求向量与的内积.输入u={1,2,3};v={1,-1,0};u.v输出为-1或者输入Dot[u,v]所得结果相同.实验习题1.设求及2.设求一般地(k是正整数).3.求的逆.4.设且求5.利用逆矩阵解线性方程组实验4：矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构造范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，非齐次线性方程组的通解二、实验目的1.学会使用MATLAB编程，实施初等变换将矩阵化为上三角矩阵2.掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵3.了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析4.能根据由MATLAB所求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解三、预备知识（一）线性代数知识（二）相关命令提示：1.输入语句：变量名=input（‘提示信息’）2.for循环3.if结构4.矩阵与向量的范数:norm(A5.求矩阵A的秩:rank(A6.求矩阵A的标准阶梯形：rref(A四、实验内容与要求1.在建立的sy31.m文件中编程将任意给定的n阶方阵B1，化为上三角阵B1;调用时输入B1=A,n=6;其中A为实验：矩阵的基本运算中的矩阵A2.在建立的sy32.m文件中编程用1—6单位增量的行向量产生一个范德蒙矩阵B23.在建立的sy33.m文件中编程对任意输入的高阶分块可逆矩阵B3实现分块法求逆：（1）调用sy33.m文件时输入B3=A^2，输入n1=2,求出B3的逆C2；（2）调用sy33.m文件时输入同上的B3，输入n1=4,求出B3的逆C4；（3）调用sy33.m文件时输入同上的B3，输入n1=6,求出B3的逆C6；（4）调用norm函数对上面三种方法所求的逆做误差分析（即做（B3×Ci-E）的范数）4.建立sy34.m文件，求下列非齐次方程组的通解。五、思考与练习1.求解下列齐次方程组的基础解系2.用任意输入的8维行向量产生一个8解范德蒙矩阵项目五矩阵运算与方程组求解实验1行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法.掌握利用Mathematica(4.0以上版本)对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算,并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica中,向量和矩阵是以表的形式给出的.1.表在形式上是用花括号括起来的若干表达式,表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2.表的生成函数最简单的数值表生成函数Range,其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m,n]—生成表{m,…,n};Range[m,n,dx]—生成表{m,…,n},步长为dx.(2)通用表的生成函数Table.例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量,二层表表示矩阵.例如,矩阵可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A显示成通常的矩阵形式.例如,输入命令:MatrixForm[A]则输出但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩阵A不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量,但实质上Mathematica不区分行向量与列向量.或者说在运算时按照需要,Mathematica自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]则输出注:这个矩阵也可以用命令Array生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4.命令IdentityMatrix[n]生成n阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1],b[2],b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6.矩阵的线性运算:A+B表示矩阵A与B的加法;k*A表示数k与矩阵A的乘法;A.B或Dot[A,B]表示矩阵A与矩阵B的乘法.7.求矩阵A的转置的命令:Transpose[A].8.求方阵A的n次幂的命令:MatrixPower[A,n].9.求方阵A的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a与b的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵A的转置函数Transpose[A]例1.1求矩阵的转置.输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm输出为如果输入Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误.由此可见,向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例1.2设求输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm输出为如果矩阵A的行数等于矩阵B的列数,则可进行求AB的运算.系统中乘法运算符为“.”,即用A.B求A与B的乘积,也可以用命令Dot[A,B]实现.对方阵A,可用MatrixPower[A,n]求其n次幂.例1.3设求矩阵ma与mb的乘积.输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm输出为矩阵的乘法运算例1.4设求AB与并求输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B右乘矩阵A的结果.如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B左乘矩阵A的结果这里不需要先求B的转置.求方阵A的三次方,输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为例1.5(教材例1.1)设求及输入A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}MatrixForm[B]3A.B2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出及的运算结果分别为求方阵的逆例1.6(教材例1.2)设求输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm则输出注:如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果,即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例1.7求矩阵的逆矩阵.解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8设求输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm输出为对于线性方程组如果A是可逆矩阵,X,b是列向量,则其解向量为例1.9解方程组输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b输出为{1,1,2}求方阵的行列式例1.10求行列式输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]输出为40例1.11(教材例1.3)求输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify则输出例1.12计算范德蒙行列式输入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm输出为再输入Det[van]则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]则有输出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13(教材例1.4)设矩阵求输入A={{3,7,2,6,4},{7,9,4,2,0},{11,5,6,9,3},{2,7,8,3,7},{5,7,9,0,6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出分别为115923向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示,也可以用命令Dot实现例1.14求向量与的内积.输入u={1,2,3};v={1,-1,0};u.v输出为-1或者输入Dot[u,v]所得结果相同.实验习题1.设求及2.设求一般地(k是正整数).3.求的逆.4.设且求5.利用逆矩阵解线性方程组第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识点：矩阵的初等变换、矩阵的秩初等矩阵线性方程组的解学习目标:1.掌握矩阵的初等变换.2.理解矩阵秩的概念及求法.3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.4.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.一、填空题1.设矩阵，且，为的一个阶子式，则__0___.2.设3阶方阵的秩为2，矩阵，，若矩阵，则.3.已知，且其秩为2，则___3___4.设，且非齐次方程组有唯一解向量，则增广矩阵的秩___n____.5.已知的逆矩阵，那么方程组的解二、选择题1.已知有一个阶子式不等于零，则(DA.B.C.D.2.设为34矩阵，若矩阵的秩为2，则矩阵的秩等于（B）A．1B．2C．3D．43.设是阶阵，且，则由(A可得出.A.B.C.D.为任意阶矩阵4．若方程组有非零解，则方程组必（B）A.有唯一解B.不是唯一解C.有无穷多解D.无无穷多解5．线性方程组只有零解，则（B）A.有唯一解B.可能无解C.有无穷多解D.无解6.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（C）A．无解B．有非零解C．只有零解D．解不能确定7．非齐次线性方程有无穷多解的充要条件是（D）A．B．C．D．8.设线性方程组中，若，，则该线性方程组（B）A．有唯一解B．无解C．有非零解D．有无穷多解9.设矩阵的秩为2，则（B）A.2B.1C.0D.-110.设均为3阶矩阵，若可逆，，那么（C）A．0B．1C．2D．311.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）A．B．C．D．三、将下列矩阵化成最简形矩阵：1.2.（练习）四、设，且，求。解：所以五、试利用矩阵的初等变换求方阵的逆矩阵。解：~~~~故逆矩阵为六、设求X使AXB解因为所以七、求矩阵的秩并求一个最高阶非零子式解(下一步r1r2r22r1r37r1~(下一步r33r2~矩阵的秩是2是一个最高阶非零子式八、取什么值时，线性方程组有解？有解时，何时有唯一解？何时有无穷个解？解：当时，=，有唯一解；当时，，无解；当时，，有无穷多个解；当时，，无解.第一章

矩陣與線性方程組1-1矩陣的意義定義：數學上，一個m×n矩陣乃一m列n行的矩形陣列。矩陣由數組成，或更一般的，由某環中元素組成。【例】以下是一個4×3矩陣：某矩陣A的第i列第j行，或i,j位，通常記為A[i,j]或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。

1-2矩陣之基本運算定義：矩陣相加減

【例】

及

【解】

定義：矩陣相乘矩陣及，，為一個階數等於之矩陣，且

【例】

，

，

若與，則

定義：轉置矩陣MT中第i行第j列的元素即為原矩陣M中之第i列第j行的元素【例】，使得。1-3逆方陣定義：若，，使得時，則稱B為A的逆方陣或反方陣。此時，A稱為可逆方陣或非奇異方陣，通常以表示A的逆方陣。反之，若不存在B，則稱A為奇異方陣。【例】【解】1-4線性方程組的解法定義：1、若n>m，則n個未知數及m個線性方程式的齊次方程組有一組非必然解。2、若A為n階方陣，，則齊次方程組AX=0，有一組非必然解的充要條件是A

為奇異方陣。3、若，則下列的敘述為同義。(1)A為可逆方陣。(2)AX=0僅有必然解。(3)A是列同義於。4、令AX=B為具有n個變數及n個一次方程式的方程組。若存在，則此方程組之解為唯一，且。【例】【解】第二章向量空間與線性變換2-1三維空間中向量之性質定義：單位向量就是長度為1的向量。單位向量的符號通常有個「帽子」，如：î。一個非零向量u的正規化向量û就是平行於u的單位向量：定義：空間中向量之性質若u，v及w為空間中的向量，而為實數，則下列性質成立(1)u+v=v+u(2)(u+v)+w=

u+(v+w)(3)u+0=0+u=u，0為零向量(4)存在-u使得u+(-u)=(-u)+u=0(5)(6)(7)(8)1u=u2-2三維空間中向量的內積定義：兩向量A和B的內積寫成A×B，讀作"AdotB"，定義為A和B兩向量的大小與其夾角的餘弦函數的乘積，如下圖所示，其方程式之形式為A×B=ABcosq

其中0°£q£180°。向量內積的結果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。運算法則1.交換律：A×B=B×A2.與一純量相乘：a(A×B)=(aA)×B=A×(aB)=(A×B)a3.分配律：A×(B+D)=(A×B)+(A×D)【例】【解】2-3向量空間與子空間定義：向量空間給出域F，一個向量空間是個集合V加上兩個運算：向量加法：V×V→V記作v+w,∃v,w∈V，標量乘法：F×V→V記作av,∃a∈F及v∈V。都符合下列公理(∀a,b∈F及u,v,w∈V)：向量加法符合結合律：u+(v+w)=(u+v)+w.向量加法符合交換律:v+w=w+v.向量加法有單位元:V裡有一個叫做零向量的0，∀v∈V,v+0=v.向量加法有逆元素:∀v∈V,∃w∈V,導致v+w=0.標量乘法分配於向量加法上:a(v+w)=av+aw.標量乘法分配於域加法上:(a+b)v=av+bv.標量乘法一致於純量的域乘法:a(bv)=(ab)v。標量乘法有單位元:1v=v,這裡1指示域F的乘法單位元.注意第七個公理涉及兩種運算不稱其為符合結合律。有些文獻包括兩個閉包公理：V閉合在向量加法下：v+w∈V.V閉合在標量乘法下:av∈V.簡而言之，向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量而F的成員叫作標量若F是實數域R，V稱為實數向量空間.若F是複數域C，V稱為複數向量空間.若F是有限域，V稱為有限域向量空間對一般域F，V稱為F-向量空間

定義：子空間一個向量空間V的一個非空子集合W在加法及標量乘法中表現密閉性，被稱為V的線性子空間。給出一個向量集合B，載著它的最小子空間，稱為它的擴張，紀作span(B)。姶出一個向量集合B，若它的擴張就是向量空間V，稱B為V的生成集。一個向量空間V最大的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V=0，唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V最小的生成集。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如,實數向量空間：R0,R1,R2,R3,…,R∞,…中，Rn的維度就是n。空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以座標系統來呈現。2-4線性獨立與基底定義：線性獨立

函數集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中為線性相依，若且存在一組非全為零的實常數(純量)c1,c2,…cn使得c1u1(x)+c2u2(x)+…cnun(x)=0x屬於[a,b]若函數集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中不為線性相依的集合,則為線性獨立的集合【例】所示的區間內線性相依或線性獨立?

x+1;x-1(0<x<1)

【解】

利用wronkian解

x+1微分為1

x-1為分為1

1*(x+1)-1*(x-1)取絕對值為2=/=0

故x+1;x-1在(0<x<1)為線性獨立

定義：基底若V為一向量空間，為V中一組向量，

若

(1)是線性獨立，且

(2)

則稱為V的一組基底(basis)。所以要判斷一組向量能否為V的一組基底，第一就是要檢驗它們是否線性獨立，然後還必須檢驗它們所衍生出來的空間是否為V，也就是V中的每一個向量都可以表示成它們的線性組合。【例】如果U是V的一個子空間，若為U中一組向量而且滿足下面二個條件(1)是線性獨立，且(2)則也是U的一組基底。【解】(1)若x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)=(0,0,0)，則

解得x=y=z=0，故題中所給的一組向量為線性獨立。

(2)R3中的任意向量(a,b,c)可否表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)

之線性組合設(a,b,c)=x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)，如果

(a,b,c)可以表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)之線性組合，則上

式x,y,z必有解。由解得

因此有解，故

即2-5矩陣的特徵值與特徵向量定義：假設為一線性算子，在許多的應用問題，一個相當重要的問題就是:我們如何在中求得一向量使得與平行，即，求得一向量與一純量使得若且滿足式，則稱為線性變換的特徵值且稱為對應於特徵值的特微向量。【例】令為一線性變換，定義為試求的特徵值及對應於這些特徵值的特徵向量。【解】令為特徵值，而為對應於的特徵向量，可得或……….①因，故聯立方程組①有非必然解之充要條件為係數矩陣之行列式值為零。因此，或，得或，故求得的特徵值為或。將代入①中得解上面聯立方程式可得。因此，對應於特徵值的特徵向量為形如，r為任意實數。再將代入①中得解上面聯立方程式可得。因此，對應於特徵值的特徵向量為形如，r為任意實數。在此例題中，我們不難發現矩陣恰為線性變換的矩陣表示式。2-6相似矩陣定義：已知二個階方陣與，若存在一可逆的階方陣使得，我們稱相似於。【例】設，，;試證相似於。【解】且則。由於，故為可逆方陣:又因為，我們得或，故證得相似於。2-7二次型定義：每一項變數皆為平方或二變數之乘積，一般我們稱之為二次型。例如，一含二變數及之二次型可表示如下【例】在之條件限制下，求二次型的最大值及最小值，並求產生最大值及最小值時的與【解】令，則A的特徵方程式為=è特徵向量正規化得最大值為發生在，最小值為發生在第三章最佳化方法3-1高階偏導數定義：若與在閉區域IR皆為連續，則對IR中的每一點，或【例】若，試驗證【解】故3-2函數極值定義：若且則c為f圖形的反曲點。【例】試求圖形之反曲點。【解】

因但故為圖形之反曲點。第四章機率概論4-1隨機實驗、樣本空間與事件定義：一隨機試驗之各種可能結果的集合，稱為此實驗的樣本空間，通常以S表示。樣本空間內的每一元素，亦即每一個可能出現的結果，稱為樣本點。【例】投三枚硬幣，求其樣本空間及出現二正面的事件。【解】①樣本空間

S=②而出現二正面的事件為E=4-2機率的定義與基本定理定義：機率是衡量某一事件可能發生的程度(機會大小)，並針對此一不確定事件發生之可能性賦予一量化的數值。【例】設S為樣本空間【解】因所以，4-3條件機率與獨立事件定義：若A和B為二獨立事件，則【例】一個小鎮有一輛消防車和一輛救護車可供發生緊急事件使用。需要消防車的時候其可用機率為0.98，需救護車時其可用機率是0.92，假設大樓火災裡有一人受傷，試求救護車和消防車都立即可用的機率。【解】設A與B分別代表消防車和救護車立即可以用的事件，則4-4貝士定理定義：設為樣本空間S的一個分割，B為S中的任意事件，若，則對每一自然數k，，我們有【例】某人欲從三家租車公司租借車:60%從租車公A，30%從租車公司B，10%從租車公司C。但從租車公司A租借的車有9%需做引擎調整，從租車公司B租借的車有20%需做調整，從租車公司C租借的車有6%需做引擎調整。試問此人租借的車需做引擎調整的機率有多少?【解】4-5白努利試驗定義：如果在白努利試驗中，事件A發生的機率為，則在n次試驗中，事件A恰巧發生k次的機率是，其中p+q=1，這個機率通常記為b(k，n，p)。【例】某次考試，共有選擇題十題，某生決定不唸書，單憑猜測去答問題，他自信對每題的猜測有的把握，問他猜中最少七題的機率是多少?【解】4-6數學期望值定義：設一實驗的樣本空間為S，為S的一個分割，若事件發生，可得元，，則稱為此實驗的數學期望值，簡稱為期望值。【例】擲一顆公正骰子，出現么點可得300元，出現偶數點可得200元，出現其它各點可得60元，求擲一次骰子所得金額的期望值。【解】擲一顆骰子，出現么點的機率為，出現偶數點的機率為，出現3點、5點的機率為，故所求的期望值為元第五章隨機變數與機率分配5-1隨機變數、機率密度函數、累積分配函數定義：設X為離散隨機變數，若對每一個x的可能結果均滿足則稱為機率函數或機率質量函數，有序數對的集合為X的機率分配。【例】令連續隨機變數X的機率密度函數為計算。【解】5-2數學期望值定義：若a與b均為常數，則【例】設隨機變數X的機率密度函數為求【解】所以，5-3常用離散機率分配定義：離散均勻分配的平均值為變異數為【例】從一個裝有5瓩、40瓩、60瓩，和100瓩各一個燈泡的盒子中，隨機選取一燈泡，因而樣本空間中每一元素發生的機率均為。所以，均勻分配為。【解】5-4常用連續機率分配定義：若連續隨機變數X的機率密度函數為其中與為參數，分別代表平均值與標準差，則稱X的分配為常態分配，簡記為X~N，而X被稱為常態隨機變數。【例】設X～Ｎ，求【解】第六章差分與差分方程6-1差分的意義定義：若為x之函數，則【例】若，試求。【解】6-2階乘函數定義：若x為任一實數，n為一正整數，則【例】試將多項式以階乘函數表示之，並求其差分函數。【解】設解A=1，B=1，C=0，D=6故=所以，6.3平移運算子定義：設y為定義於集合A的函數，h為一定常數使時，也成立，則定義函數Ey如下並稱Ey為函數y的一階平移函數。一般我們稱E為平移運算子。【例】若求及之值。【解】

6-3不定和分定義：若n為大於-1之整數時，則【例】試求之值【解】6-4差分方程式定義：在一個方程式中，若含有一未知函數y及其各階次的差分函數等等，就稱之為差分方程式。【例】試證為一階差分方程式之解，設求特解。【解】將代入中，得故為差分方程式之解。又因，則得c=1，故特解為6-5一階線性差分方程定義：一階