初二数学分式运算的技巧

112 4分式运算的技巧112 4【精练】计算：工-1工+1?+l+x4+l【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 4 2 2 4【解】工—1工+1工窑+1工，+1X2-1K°+1 /+14 4E+门8x4【知识大串联】1．分式的有关概念设、表示两个整式.如果中含有字母，式子五就叫做分式.注意分母的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简2、分式的基本性质_AxMA_A^M（BxM'（ （为不等于零的整式）3．分式的运算（分式的运算法则与分数的运算法则类似）．Iacad±bc芯一行婚 异分母相加，先通分）.零指数*=@*口）a~p=—（aw口/为正整数）.5负整数指数 厘‘

a"-an=a^n(a#0),(a")n=a™?注意正整数幂的运算性质 9B『=酸恭可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的、可以是或负整数.分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．1．顺次相加法例：计算：X一1x+1x+1工+1【分析】本题的解法与例1完全一样.1十1十2工十4元, 2工+2工+4x3【解】7^1MK /n7^i+x4+i．整体通分法-a-1【例】计算：以一1【分析】本题是一个分式与整式的加减运算如能把（ ）看作一个整体，并提取“”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】"1a—【解】"1a—1 —(a+1)g+l)g—l)a2-{a2-1)．化简后通分3b-ba'+a'b-aJbJ-abJa'—b'-3aJ3b-baJb+abJ+2aJba3+a2b+ab2a-2ab+b分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．

=g+»(>_切 g_b尸脐限A.- abfa+bJ2b(a-b)(a2+ab+b2)a(a2+ab+b2)(a-b)2_a-babb4．巧用拆项法例计算：缄值+1)O+i)g+2)g+2)g+3；) g+9)g+io)分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续解：原式1_1_1整数的积(若是整数)，联想到厘解：原式1_1_1整数的积(若是整数)，联想到厘g+D值5+i,这样可抵消一些项aa+100+10—0 10ag+10)M仪+io)．分组运算法例：计算：y+工尸+2工+1x2+3x+2x2+4x+3分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便1[1]_]解：/+工炉+2工+1炉+3工+2炉+4工+3[犬3+2X+1M+4x+3/+1)(x+l)(x+2)x+2-x+x+2-x+工0+1)0+2)x+3-(x-1)

(工+1)1工+3)2 2式犬+32)+(犬+1)口32(2x2+6x+3)x(x+1)2(x+2Xx+3)【错题警示】一、错用分式的基本性质^-y—x+y例1化简2($一处3错解：原式(2X+""x+2y分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.学一处6=_1 _2x-6y正解：原式‘万'+"63x+6y二、错在颠倒运算顺序例2计算1—鼻3-鼻=---—(1-a)=1错解：原式1一以分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误._J1\-a_ ]正解：原式1一鼻3-a”aG一行三、错在约分x-1例1当工为何值时，分式/-3工+2有意义?_x-1 _1［错解］原式比-1乂犬一团x-2.由工一2,0得犬M2.x-1••・^^2时，分式/一3工+2有意义.［解析］上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式（犬一1）,扩大了未知数的取值范围，而导致错误.［正解］由炉一3犬+2mO得工Ml且工M2."1.♦.当工Ml且丈m2,分式/-3工+2有意义.四、错在以偏概全士例2元为何值时，分式工+1有意义？［错解］当工+1^0,得工看T.・•・当工mT,原分式有意义.［解析］上述解法中只考虑x+1的分母，没有注意整个分母工+1,犯了以偏概全的错误.［正解］工+1M0,得工W—1,1-—^0由x+1 ，得工看0.・•・当工且工¥-1时，原分式有意义.五、错在计算去分母L2-1--例3计算q+1.［错解］原式二g—i)g+D—1二川一1一后=-i.［解析］上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，._(a-Y)(a+Y)a2TOC\o"1-5"\h\z［正解］原式 值+1 口+1_a2-l-a2_ 1a+\ a+\,六、错在只考虑分子没有顾及分母x-2例4当工为何值时，分式F+工-6的值为零.［错解］由同一2=0,得工=±2.・♦・当犬=2或工=-2时，原分式的值为零.［解析］当工=2时，分式的分母疗+工-6=0,分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.［正解］由由因一2二0，得工=±2.由工3+工—6千口，得工注一3且工2.・♦・当工二-2时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法例7工为何值时，分式/一工-2有意义错解：要使分式有意义，工须满足/-工-2注0,即(犬一1"犬+2)*0.由工一IwO得工wl,或由工+2m0得工w—2.当当工Ml或工w-2时原分式有意义.分析:上述解法由(工_1)(工_0M0得工一］于0或工+2m0是错误的.因为(工一DW0与x+2w0中的一个式子成立并不能保证ET)E+2)w0一定成立，只有犬0与x+2#0同时成立，才能保证(工—DE—2)M0一定成立.

故本题的正确答案是X¥1且X¥一2.八、错在忽视特殊情况2m =A一m例8解关于工的方程工-1 .错解：方程两边同时乘以工—1,得◎—阳）5—1）=2*，即=3+^3+m当班m3时，3-明，当班=3时，原方程无解.分析：当*