第十一章　第三节　随机事件的概率与古典概型

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第三节随机事件的概率与古典概型【课标解读】【课程标准】1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.5.会用频率估计概率.【核心素养】数学抽象、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题常以现实生活为载体,考查随机事件、样本点、事件间的关系、古典概型;古典概型是高考热点,常以选择题的形式出现.预测预计2025年高考古典概型知识点仍会出题.事件的互斥会与独立事件交汇命题.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.有限样本空间与随机事件(1)样本点:随机试验的每个可能的基本结果.(2)样本空间:全体样本点的集合,一般用Ω表示.(3)有限样本空间:样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}.(4)随机事件(事件):样本空间Ω的子集.(5)基本事件:只包含一个样本点的事件.2.两个事件的关系和运算项目含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B

相等关系B⊇A且A⊇BA=B

并(和)事件A与B至少一个发生

A∪B或A+B交(积)事件A与B同时发生A∩B或AB

互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=⌀互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=⌀,且A∪B=Ω

微点拨互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:1≥P(A)≥0.(2)P(Ω)=1,P(⌀)=0.(3)如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).(4)如果事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).(5)如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).微思考两个互斥事件的概率之和等于1吗?提示:两个互斥事件概率之和小于或等于1,只有当两互斥事件为对立事件时,其概率和等于1.4.古典概型(1)古典概型及其特点①有限性:样本空间的样本点只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概型.(2)古典概型的概率公式P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.5.频率与概率(1)频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A).微点拨概率是一个常数,是一个理论值,不随试验次数的改变而改变;而频率是一个试验值,随着试验次数的改变而改变,是一个变量.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12,3451.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.(×)提示:因为频率的稳定值为概率,所以(1)错误;(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(√)提示:由两个事件的和事件的定义可知,(2)正确;(3)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(√)提示:因为从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,不是小于0,就是不小于0,各有12(4)若A∪B是必然事件,则A与B是对立事件.(×)提示:因为只有A∪B是必然事件,且A∩B=⌀时,A与B是对立事件,所以(4)错误.2.(必修第二册P235练习1改编)一个人打靶时连续射击两次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A.至少有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶【解析】选B.射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”,与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.3.(必修第二册P246习题9改编)从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【解析】选B.由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1-0.2-0.5=0.3.4.(样本点理解错误)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选D.因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)},共8个.5.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16 B.13 C.12 【解析】选D.依题意,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,总的基本事件有C42=6件,其中这2名学生来自不同年级的基本事件有所以这2名学生来自不同年级的概率为46=2【核心考点·分类突破】考点一随机事件的频率与概率[例1](1)(多选题)一部机器有甲、乙、丙三个易损零件,在一个生产周期内,每个零件至多会出故障一次,工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如图所示的柱状图,由频率估计概率,在一个生产周期内,下列说法正确的是()A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大D.已知甲零件发生了故障,此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大【解析】选AD.由题图可知,在一个生产周期内机器正常的概率为20100=0.2,则至少有一个零件发生故障的概率为0.有两个零件发生故障的概率为10+15+5100=0.3,只有一个零件发生故障的概率为15+20+10100=0乙零件发生故障的概率为20+10+5+5100=0.4,甲零件发生故障的概率为15+10+15+5100=0由题图可知,丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率更大,D正确.(2)我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石 B.169石C.338石 D.1365石【解析】选B.这批米内夹谷约为28254×1534≈169(石)解题技法利用概率的统计定义求随机事件的概率(1)利用频率的计算公式计算出频率;(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.对点训练1.某班要选一名学生做代表,每个学生当选的概率是相同的,若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13,则这个班的女生人数占全班人数的百分比是【解析】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,因为a+13a=1,所以a=3答案:75%2.通过手机验证码注册某APP时,收到的验证码由四位数字随机组成,如某人收到的验证码(a1a2a3a4)满足a1<a2<a3<a4,则称该验证码为递增型验证码,某人收到一个验证码,则它是首位为2的递增型验证码的概率为.

【解析】因为a1=2,2<a2<a3<a4,所以a2,a3,a4从3,4,5,6,7,8,9中选,选出3个数,让其按照从小到大的顺序排列,有C710000(种),所以它是首位为2的递增型验证码的概率为3510000答案:7【加练备选】1.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:9328124585696834312573930275564887301135据此估计,该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为.

【解析】两次掷飞镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4之一.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10个,因此所求的概率为1020=1答案:12.某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如表:投篮次数8101520304050进球次数681217253239进球频率(1)计算表中进球的频率.【解析】(1)表中进球的频率分别为:68=0.75,810=0.8,1215=0.8,1720=0.85,2530=56,3240=0(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?【解析】(2)由于进球频率都在0.8左右摆动,故这位运动员投篮一次,进球的概率约是0.8.(3)若这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能投进8次吗?【解析】(3)不一定,一名运动员投篮进球的概率是0.8,表示投篮成功的可能性,他在10次一组的投篮中,可能会投进8次.考点二互斥事件与对立事件[例2](1)(2024·长春模拟)连续抛掷一枚硬币3次,观察正面出现的情况,事件“至少2次出现正面”的对立事件是()A.只有2次出现反面B.至少2次出现正面C.有2次或3次出现正面D.有2次或3次出现反面【解析】选D.连续抛掷一枚硬币3次,正面出现的次数有0,1,2,3,因此事件“至少2次出现正面”的对立事件是“正面出现0次或1次”即“有2次或3次出现反面”.(2)在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则在一次试验中,事件A+B发生的概率为()A.13 B.12 C.23 【解析】选C.掷一枚骰子有6种等可能的结果,依题意知P(A)=26=13,P(B)=46所以P(B)=1-P(B)=1-23=1因为B表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A与B互斥,从而P(A+B)=P(A)+P(B)=13+13=解题技法1.求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法解此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件还是对立事件,再选择相应的概率公式进行计算.2.求复杂的互斥事件概率的两种方法(1)直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式求解,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.对点训练1.(多选题)下列说法中正确的有()A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(AB)=0B.若事件A与事件B是对立事件,则P(A+B)=1C.某人打靶时连续射击三次,则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人,每人分得1张,则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件【解析】选ABC.事件A与事件B互斥,则A,B不可能同时发生,所以P(AB)=0,故A正确;事件A与事件B是对立事件,则事件B即为事件A,所以P(A+B)=1,故B正确;事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生,且二者必有一个发生,所以为对立事件,故C正确;事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生,即丙分得的是红牌,所以不是互斥事件,故D错误.2.一只袋子中装有7个红球,3个绿球,从中不放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为715,取得两个绿球的概率为115,则取得两个同颜色的球的概率为;至少取得一个红球的概率为【解析】由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两个互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=715+115=815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-1答案:815【加练备选】1.(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A={两弹都击中飞机},事件B={两弹都没击中飞机},事件C={恰有一弹击中飞机},事件D={至少有一弹击中飞机},则下列关系正确的是()A.AD=⌀ B.BD=⌀C.A+C=D D.A+B=B+D【解析】选BC.“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中且第二枚没中或第一枚没中且第二枚击中,“至少有一弹击中飞机”包含两种情况,一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,故AD≠⌀,BD=⌀,A+C=D,A+B≠B+D.2.某河流A与河流B是水库C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水库C就不缺水.根据经验知道河流A,B不缺水的概率分别是0.7和0.9,同时不缺水的概率是0.65.则水库C不缺水的概率为.

【解析】记“河流A不缺水”为事件A,记“河流B不缺水”为事件B,记“水库C不缺水”为事件C,则P(A)=0.7,P(B)=0.9,P(AB)=0.65,故P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.9-0.65=0.95.即水库C不缺水的概率为0.95.答案:0.95考点三古典概型[例3](1)(2024·福州模拟)为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯,某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙两位同学各自参加其中一个社团,每位同学参加各个社团的可能性相同,则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为()A.13 B.12 C.23 【解析】选A.记人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团分别为a,b,c,则甲、乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有a,a,a,b,a,c,b,a,b,而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有a,a,b,故这两位同学恰好参加同一个社团的概率P=39=1(2)将5名支援某地区的医生分配到A,B,C三所医院,要求每所医院至少安排1人,则其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为()A.12 B.625 C.716 【解析】选B.由题意可知,分配情况分为两类:3,1,1或2,2,1,其方法总数为C53A33+其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的方法有C22C31·A33+C解题技法1.古典概型的概率求解步骤(1)求出所有样本点的个数n(样本点个数的求解方法主要是利用排列组合知识,也可以利用列举法或列表法等);(2)求出事件A包含的所有样本点的个数k;(3)代入公式P(A)=kn求解2.涉及“至多”或“至少”以及正面较复杂而对立面较简单的情况下可以利用对立事件的概率公式求解.对点训练1.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有