补上一课 向量中的最值（范围）问题

第五章平面向量、复数补上一课向量中的最值(范围)问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.题型分析内容索引分层精练巩固提升题型一与系数有关的最值(范围)问题A解析设BD，AE交于点O，因为DE∥AB，所以△AOB∽△EOD，

因为x＞0，y＞0，此类问题的一般解题步骤是第一步：利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系；第二步：运用基本不等式或函数的性质求其最值.感悟提升B解析由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，设C(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤120°，∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°，∴当θ＝60°时，x＋y的最大值为2，此时C为弧AB的中点.所以x＋y的最大值是2.题型二与数量积有关的最值(范围)问题A解析法一如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，数量积最值(范围)的解法：(1)坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.(2)向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.感悟提升A解析取线段AB的中点O，连接OC，则OC⊥AB，以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.题型三与模有关的最值(范围)问题解析法一由题意可设a＝(0，1)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，则a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)，由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1，

法二由|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，求向量模的最值(范围)的方法，通常有：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式，三角函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行

，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解.感悟提升B题型四与夹角有关的最值(范围)问题D解析因为平面向量a，b满足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4b2－2a·b＋b2＝9，

因为0≤〈a－b，a〉≤π，求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式，采用基本不等式或函数的性质进行.感悟提升

当st≤0时，(st－2)2≥4，当st＞0时，由2t＋s＝2，故s＞0，t＞0，极化恒等式拓展视野

解析设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，因为A，B，C三点在圆上，所以CD长度最大为r＋d，其中d为圆心O到弦AB的距离，

D解析法一以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，

FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升3A【A级

基础巩固】解析设a＋b，c的夹角为θ，B解析由题设，知a·b＝0且(a＋b)·(2a－b)＝2a2－a·b＋2a·b－b2＝2a2－b2＝2，当|b|＝0时等号成立，∴|a＋b|min＝1.CB解析因为点M在△ABC内部(包括边界)，C又|c－a|＝1，于是有|c－b|＝|(c－a)＋(a－b)|≤|c－a|＋|a－b|＝4，当且仅当c－a与a－b同向共线时取“＝”，所以|c－b|的最大值为4.

CCC因为A，C不重合，所以－1≤cos∠AOC＜1，所以cos∠AOC＝－1，1又m，n∈[0，1]，又向量a，b的夹角为θ，[－2，2]因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，法二因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，记AC，BD的交点为O，以O为坐标原点，AC，BD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.因为菱形ABCD的边长为2，且∠ABC＝60°，因为点P在线段BC上，B【B级

能力提升】C∵