第二节向量及其坐标表示法

第二节向量及其坐标表示法第1页，课件共18页，创作于2023年2月记为

0，其方向不定.如果方向相同、模相等，模等于1的向量称为单位向量.即经平行移动后，两向量完全重合.既有大小又有方向的量，如力、位移、速度、加速度等.这类量称为向量，或称为矢量.向量a的大小称为该向量的模，记作|a|;与a同向的单位向量记为a

，模等于0的向量称为零向量，两个向量a

与b不论起点是否一致，则它们是相等的，记为a

=b.允许自由移动的向量称为自由向量.一、向量的概念第2页，课件共18页，创作于2023年2月这就是向量加法的平行四边形法则.这个法则可以推广到任意有限个向量相加的情形.以a

、b为边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图，则由

a

的起点到b

的终点的向量.设有两个非零向量a、b，称为两向量a与b的和向量，记为a+b，若以向量a

的终点作为向量b

的起点，也是a

与b

的和向量.这是向量加法的三角形法则.定义1

baababca+bb+c(a+b)+c=a+(b+c)a+b第3页，课件共18页，创作于2023年2月若向量b加向量c等于向量a，从图中可以看出:向量的加法满足交换律和结合律.即

a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c).根据向量加法的三角形法则，则称向量c为a与b之差，记为c=a-b.c=a

bab第4页，课件共18页，创作于2023年2月

是一个非零实数，定义2

设

a

是一个非零向量，则

a与

的乘积仍是一个向量，记作

a

，且(1)

|

a|=|

||a|;(2)

a

的方向与

a

同向，当

>0，与

a

反向，当

<0，如果

=0或

a=0，规定

a=0.数乘向量满足结合律与分配律，即

(

a

)=(

)a

，

(a

+b)=

a+b，

(+)a

=

a+

b

，其中

，

是数量.第5页，课件共18页，创作于2023年2月设a

是非零向量，由数乘向量的定义可知，且与a

同方向，所以有向量的模等于1，因此任一非零向量a都可以表示为第6页，课件共18页，创作于2023年2月终点为P(x,y,z).过a的终点P(x,y,z)作三个平面分别垂直于三条坐标轴，则点A在x轴上的坐标为x，在空间直角坐标系中，与x轴、y轴、z轴的正向同向的单位向量分别记为i、

j、k，称为基本单位向量.设向量a

的起点在坐标原点O，

设垂足依次为A，B，C，根据向量与数的乘法运算得向量二、向量的坐标表示法,ixOA=第7页，课件共18页，创作于2023年2月于是，由向量的三角形法则，有称a

=xi+yj+zk

为向量a的坐标表达式，记作其中x，y，z称为向量a的坐标.xzABCQaijPOyk

向量的坐标表示法

第8页，课件共18页，创作于2023年2月求向量a的坐标表达式.例1已知是以A(

x1,y1,z1)为起点，B(x2,y2,z2)为终点的向量，解AzyxOBa第9页，课件共18页，创作于2023年2月设则(

为数量).或第10页，课件共18页，创作于2023年2月例2已知a

={2,-1,-3}，b

={2,1,-4}，求a

+b,a

-

b

,3a

-2b

.解a

+ba

-

b3a

-2b第11页，课件共18页，创作于2023年2月那么它的终点坐标A的坐标就是(ax,

ay,

az).

a

的起点放在坐标原点，由两点间距离公式可知xPQyRzAOab

第12页，课件共18页，创作于2023年2月非零向量a与三坐标轴正向的夹角、、(其中0≤

≤

,0≤

≤

,0≤

≤

)，称为向量

的方向角;这三个角的余弦cos

、cos、cos

称为向量a

的方向余弦.因为△OPA、△ORA都是直角三角形，所以第13页，课件共18页，创作于2023年2月例3已知M1

(1,-2,3)、M2(4,2,-1)，求的模及方向余弦.解由条件可得第14页，课件共18页，创作于2023年2月设向量a的两个方向余弦为求向量a的坐标.可知例4解

因为

第15页，课件共18页，创作于2023年2月所以

=2,4,4或

=2,4,－4.因此第16页，课件共18页，创作于2023年2月求其合力F

的大小及方向角.例5已知作用于一质点的三个力为F1=i－2k

，F2=2i－3j+4k，F3