数学人教A版选修2-2课堂探究1.2导数的计算（第2课时）

课堂探究探究一应用导数的运算法则求导1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y＝f(x)的结构和特征，若直接求导很烦琐，一定要先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简、整理，然后再套用公式求导．【典型例题1】求下列函数的导数．(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝eq\f(cosx,x)；(3)y＝eq\f(\r(x3)＋\r(x5)＋\r(x7),\r(x))；(4)y＝x3ex；(5)y＝eq\f(lnx,x).思路分析：解答本题可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解．解：(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋eq\f(1,xln3).(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f((cosx)′x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2).(3)∵y＝x＋x2＋x3，∴y′＝1＋2x＋3x2.(4)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex.(5)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)))′＝eq\f((lnx)′x－lnx·x′,x2)＝eq\f(1－lnx,x2).探究二复合函数的导数求复合函数的导数需处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数的结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．【典型例题2】求下列函数的导数：(1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(5)y＝eq\f(1,\r(1－2x)).思路分析：解答本题可先分析复合函数的复合层次，再利用复合函数的求导法则求解．解：(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.(2)设y＝eu，u＝x－1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,(2x＋1)ln2).(4)设y＝2sinu，u＝3x－eq\f(π,6)，则y′x＝y′u·u′x＝2cosu×3＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).(5)设y＝，u＝1－2x，则y′x＝·(1－2x)′＝×(－2)＝.探究三导数运算法则的应用关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．【典型例题3】(1)曲线y＝eq\r(2x)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(1,2)))在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))处的切线方程为__________．(2)曲线y＝xex在(1，e)处的切线方程为__________．解析：(1)设y＝eq\r(u)＋lnv，u＝2x，v＝2x2＋eq\f(1,2)，∵y′x＝(eq\r(u))′u′＋(lnv)′v′＝eq\f(1,\r(u))＋eq\f(4x,v)＝eq\f(1,\r(2x))＋eq\f(4x,2x2＋\f(1,2))，∴＝1＋eq\f(4×\f(1,2),1)＝3.∴切线方程为y－1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即6x－2y－1＝0.(2)∵y′＝ex＋xex，∴k＝y′|x＝1＝2e.则切线方程为y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.答案：(1)6x－2y－1＝0(2)2ex－y－e＝0探究四易错辨析易错点：运用公式或法则时记忆不准导致出错【典型例题4】求函数y＝eq\f(ln2x,x)的导数．错解：y′＝eq\f((ln2x)′x＋ln2x·x′,x2)＝eq\f(\f(x,2x)＋ln2x,x2)＝eq\f(1＋2ln2x,2x2).错因分析：以上解法中有两处错误，一是错用商