空间向量及其运算（七大题型）

空间向量及其运算【题型归纳目录】题型一：空间向量的有关概念及线性运算题型二：共线向量定理的应用题型三：共面向量及应用题型四：空间向量的数量积题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度题型七：利用空间向量的数量积证垂直【知识点梳理】知识点一：空间向量的有关概念1、空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2、几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知识点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点三：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。知识点四：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。知识点五：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．知识点六：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点七：夹角问题1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点诠释：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。2、利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点八：空间向量的长度1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2、利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。【典型例题】题型一：空间向量的有关概念及线性运算例1．（2023·全国·高二专题练习）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（）①与是一对相反向量；②与是一对相反向量；③与是一对相反向量；④与是一对相反向量．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】对于①，，，，与是一对相反向量，①正确；对于②，，，又，与不是相反向量，②错误；对于③，，，，，,与是一对相反向量，③正确；对于④，，，又，与是一对相反向量，④正确.故选：C.例2．（2023·全国·高二专题练习）给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】对于①，，故①为真命题；对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题；对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题；对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题；对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题．故假命题的个数为4.故选：C例3．（2023·全国·高二随堂练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．1【答案】D【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．故选：D.变式1．（2023·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于

（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵M，G分别是BC，CD的中点，∴，．∴．故选：C变式2．（2023·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习）在四面体中，，点在棱上，且，为中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】点在线段上，且，为中点，，，．故选：B．变式3．（2023·安徽马鞍山·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故选：A.变式4．（2023·贵州贵阳·高二校考开学考试）已知四面体，是的中点，连接，则＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】四面体，是的中点，如图所示，因为是的中点，所以所以.故选：A.变式5．（2023·福建宁德·高二校考阶段练习）直三棱柱中，若，，，则（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】根据向量的加减法运算法则得：.故选：A【方法技巧与总结】在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．题型二：共线向量定理的应用例4．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面【答案】D【解析】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；对于B，，，，又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；对于C、D，若，，，四点共面，则有，，即，故，故，，，四点共面，C错误，D正确.故选：D.例5．（2023·高二课时练习）若，，，则､､（

）A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形【答案】D【解析】由题知，所以共线所以､､不构成三角形.故选：D例6．（2023·高二课时练习）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即.故选：B.变式6．（2023·全国·高二专题练习）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由，，得，因为A，C，D三点共线，所以，则存在唯一实数，使得，则，解得.故选：C.变式7．（2023·全国·高二专题练习）如果空间向量不共线，且，那么的值分别是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知空间向量不共线，且，即，则，即，故选：C.变式8．（2023·全国·高二假期作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则．【答案】/【解析】因为正方体中，，设，又，所以，即，因为A、E、F三点共线，所以，解得，即.故答案为：.【方法技巧与总结】利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．题型三：共面向量及应用例7．（2023·全国·高二专题练习）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，若，则点共面．对于A，，由于，故A错误；对于B，，由于，故B错误；对于C,，由于，故C错误；对于D，，由于，得共面，故D正确.故选：D.例8．（2023·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为.【答案】【解析】由题意可知，，所以，所以.故答案为：.例9．（2023·全国·高二随堂练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量表示向量；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．【解析】（1）因为，而，又D为的中点，所以，所以．（2）因为，，所以，，所以．所以四点共面．变式9．（2023·高二课时练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．【解析】设，则，为的中点，，又，，，为共面向量，又三向量有相同的起点，四点共面．变式10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面：(1)；(2)．【解析】（1）因为，所以，所以，可得，所以，所以点与点，，共面.（2）由可得，所以，所以，所以，所以点与点，，共面.变式11．（2023·高二课时练习）下面关于空间向量的说法正确的是（

）A．若向量平行，则所在直线平行B．若向量所在直线是异面直线，则不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面【答案】D【解析】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误；可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确.故选：D变式12．（2023·上海·高二专题练习）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（

）A．点是唯一的，且一定与共面B．点不唯一，但一定与共面C．点是唯一的，但不一定与共面D．点不唯一，也不一定与共面【答案】A【解析】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，因为，所以，所以共面，所以四点共面，因为，所以，所以点唯一.故选：A.变式13．（2023·全国·高二专题练习）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：C．变式14．（2023·全国·高二专题练习）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】平面，，，，四点共面，又，，解得．故选：D．或者根据平面，，，，四点共面，则存在实数，使得，即，又，所以解得故选：D变式15．（2023·全国·高二专题练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【解析】因为，所以由得，即，因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，所以，故.故选：A.变式16．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为，点在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值2．故选：D变式17．（2023·全国·高二专题练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由题知，四点共面,根据平面向量基本定理,不妨设,，则,，,.故选:B【方法技巧与总结】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．题型四：空间向量的数量积例10．（2023·全国·高二专题练习）如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得夹角，夹角，夹角均为，，，，故选：A.例11．（2023·北京昌平·高二校考阶段练习）如图，三棱锥的各棱长都是，点､､分别是､､的中点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，三棱锥为正四面体，点､､分别是､､的中点，，且，对于A，；对于B，；对于C，；对于D，.等于.故选：B.例12．（2023·浙江温州·高二校联考期中）正四面体的棱长为2，点D是的重心，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为点D是的重心,正四面体的棱长为2，.故选：D.变式18．（2023·全国·高二专题练习）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，由，，故,所以．故选:A．变式19．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由图形可得，所以，由正方体性质可得，所以，所以，又，与方向相反，所以.故选：B.变式20．（2023·全国·高二专题练习）在三棱锥中，为的中点，则等于（

）A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】C【解析】因为，所以，，，因为，.故选：C.变式21．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，故，又，.故选：C变式22．（2023·全国·高二专题练习）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有故选：C变式23．（2023·全国·高二专题练习）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】取中点，连接，如图，则，当在正方体表面上运动时，运动到或处时，最大，所以,所以的最大值为8.故选：C变式24．（2023·全国·高二随堂练习）已知正四面体的棱长为1，如图所示，求：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）在正四面体中，，且，可得.（2）由向量的运算法则，可得．（3）由.【方法技巧与总结】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角例13．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.【解析】设，，，由已知可得.因为，，所以，，，，所以，，所以，，故与所成角的余弦值为.例14．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．【解析】连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以，，，，.例15．（2023·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）如图，在平行六面体中，，且的两两夹角都是．(1)若，求线段的长度；(2)求直线与所成角的余弦值．【解析】（1）以为空间一组基底．，，所以．（2），，所以．，，所以．．设直线与直线所成角为，则．变式25．（2023·全国·高二专题练习）已知：正四面体（所有棱长均相等）的棱长为，、、、分别是四面体中各棱的中点，求、的夹角．【解析】正四面体的棱长为，、、、分别是四面体中各棱的中点，记，，，由空间向量数量积的定义可得，，，，同理可得，所以，，，因此，、的夹角为.变式26．（2023·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考期末）平行六面体，(1)若，，，，，，求长；(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．【解析】（1），，，，∴，；（2）∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，设与所成的角为，则.变式27．（2023·高二课时练习）已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求：(1)；(2)向量与的夹角.【解析】(1)因为，是两个空间单位向量，它们的夹角为，所以，所以；(2)因为，所以，，又因为所以，因为，所以，即向量与的夹角为.变式28．（2023·重庆江津·高二重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：（1）的长；（2）与夹角的余弦值.【解析】（1）记，，，则，，，，，即的长为；（2），，，，，，又，，即与夹角的余弦值为.【方法技巧与总结】本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度【方法技巧与总结】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。例16．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点.(1)求；(2)求；(3)求的长.【解析】（1）.（2）因为为平行六面体，所以四边形为平行四边形，∥，，在三角形中，，，，所以，所以，又∥，所以.（3）由题意知，，则，所以.例17．（2023·辽宁沈阳·高二新民市第一高级中学校考阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长．【解析】设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，则.又，，，，..故答案为：例18．（2023·江苏淮安·高二洪泽湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，．求：(1)；(2)的长；(3)的长．【解析】（1）由向量的数量积的概念，可得.（2）因为，所以，即的长为.（3）以为，所以.变式29．（2023·江苏宿迁·高二校联考阶段练习）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，.(1)证明：平面；(2)若为中点，求的长.【解析】（1）过点作，交于点，连接，由题意得，故，，而平面，平面，平面，同理得平面，而，平面平面，平面（2）由题意得，故，，故变式30．（2023·河北唐山·高二滦南县第一中学校考阶段练习）如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.【解析】，四边形为平行四边形，，，；与成角，或；；当时，，解得：；当时，，解得：；的长为或.变式31．（2023·高二课时练习）如图，已知平行六面体中，，，，，求的长．【解析】在平行六面体中，.所以=55.所以变式32．（2023·江西宜春·高二校考期末）如图所示，在平行六面体中，，，，.(1)求；(2)求线段的长.【解析】（1）由题意可得，，，所以；（2），所以线段的长为.变式33．（2023·浙江湖州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，，.求：(1)；(2)的长.【解析】（1）；（2），所以变式34．（2023·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，.(1)试用，，表示向量；(2)若，，，求的长.【解析】（1）由题图知，，因为，，所以，，故.（2）根据题意，由，，，得，即，由（1）知.题型七：利用空间向量的数量积证垂直例19．（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．(1)求；(2)求与的夹角的余弦值(3)判断与是否垂直．【解析】（1）正方体中，，故.（2）由题意知，，，，故，故.（3）由题意，，，故与垂直.例20．（2023·全国·高二专题练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：．【解析】因为，所以，因为，，所以，．又，所以，故．例21．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，(1)求线段的长；(2)求证：．【解析】（1）设，则，∵，则.∵，∴.故线段的长为.（2）证明：∵，∴.故.变式35．（2023·山东泰安·高二统考期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点．(1)求的长；(2)证明：．【解析】（1）设，，，则，，，，．因为，所以（2）证明：因为，所以．变式36．（2023·全国·高二专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.(1)求证：共面；(2)当为何值时，.【解析】（1）在平行六面体中，连接，因为，所以，，所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面；（2）当时，，理由如下，设，且与、与、与的夹角均为，因为底面为菱形，所以，，，若，则，即，即，解得或舍去，即时，.变式37．（2023·全国·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.(1)用表示，并求出；(2)求证：.【解析】（1）因为点是的重心，所以因为点是线段的中点，所以.因为正四面体的棱长为，所以,所以，所以.（2），所以.【方法技巧与总结】立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零.【过关测试】一、单选题1．（2023·贵州贵阳·高二校考开学考试）已知点，，，分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“，，，四点共面”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】充分性：因为，且，由空间向量共面定理可知，，，，四点共面，所以充分性成立，必要性：若，，，四点共面，，则，其中，，只是其中的一种情况，，，也可以是其他和为1的取值，所以必要性不成立，综上所述，“”是“，，，四点共面”的充分不必要条件，故选：A．2．（2023·高二课时练习）如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】A【解析】以为原点，分别以所成在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，由，因为，所以，所以A正确；由，因为，所以，所以B不正确；由，所以，所以C不正确；由，因为，所以，所以D不正确；故选：A.3．（2023·新疆·高二校联考期末）已知空间任意一点和不共线的三点，若，则“”是“四点共面”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，即，，三点共线，四点共面，充分性成立；当四点共面时，，满足条件的数据不止，必要性不成立；“”是“四点共面”的充分不必要条件.故选：B.4．（2023·高二课时练习）已知，是异面直线，，，分别为取自直线，上的单位向量，且，，，则实数的值为（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【解析】因为，是异面直线，，，分别为取自直线，上的单位向量，所以，则，因为，所以，即，所以，所以，解得，故选：B5．（2023·全国·高二专题练习）已知在四面体中，为的中点，，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图所示，因为为的中点，，且，则.故选：D.6．（2023·高二课时练习）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】．因为平面，所以，所以，所以．则的不同值的个数为.故选：A．7．（2023·甘肃天水·高二统考期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】在平行六面体中，，，，，，∵，∴,∴．故选:C．8．（2023·河南·高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，所以.故选：C.二、多选题9．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（

）A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个【答案】ABC【解析】由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确；与相等的向量有，，，共3个，故B正确；向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确；模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误．故选：ABC10．（2023·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）下列命题中正确的是（

）A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．设，，是三个空间向量，则D．若与共面，与共面，则任意，与共面【答案】CD【解析】对于选项A：例如非零向量，，是三棱锥三条侧棱所在的向量，显然满足与共面，与共面，与