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生物信息学基础讲座第3讲生物信息学与数学1/36微积分calculus2/36函数function一元函数多元函数3/36极限limit上式中L即为函数f(x)在x0处极限4/36导数derivative导数几何意义函数曲线在该点处切线（tangent）斜率（slope）5/36导数规则rulesforderivatives加法规则additionrule传递标准chainrule乘法标准multiplicationrule除法标准divisionrule6/36Appliedcalculus改变Change:常导数ordinary、偏导数partial和方向导数directionalderivatives最优化optimization：包含拟合fitting和带约束优化constrainedoptimization建模modeling函数类型：线性linear、多项式polynomial、指数exponential、三角trigonometric、幂power-law多元函数multi-variablesfunction微分方程differentialequation单位和维度unitsanddimension例子:二元二次多项式7/36微分方程：动态过程建模DifferentialEquation8/36动态模型dynamicmodel描述研究对象特征随时间/空间改变演变过程分析研究对象特征改变规律预测研究对象特征未来状态控制研究对象特征未来状态微分方程建模方法依据函数及其改变率（导数）关系建模依据建模目标和问题分析简化假设依据内在规律（模式）或类比法建立微分方程9/36线性代数：矩阵之美LinearAlgebra10/36基本概念集合（set）线性空间（linearspace）线性组合（linearcombination）线性相关（linearindependent）欧式空间（Euclideanspace）正交（perpendicular，orthogonal）11/36向量加法（addition）其实质是对应元素加法交换律（communicativelaw）结合律（associativelaw）分配率（distributivelaw）向量加减几何学意义（geometricinterpretation）12/36向量乘法（multiplication）几何意义内积（innerproduct）：也称作点乘（dotproduct），其结果为一标量（scalar），相当于a范数（L2-norm）与b范数乘积乘以两向量夹角余弦值，表示为<a,b>或a·b应用：计算物理上做功。外积（outerproduct）：也称作叉乘（crossproduct），其结果为垂直于向量a与b形成平面向量，其范数为向量a和b范数乘积乘以夹角正弦值，表示为a×b应用：物理上电磁力计算，确定方向采取右手螺旋方法13/36矩阵（matrix）矩阵秩（rank）：矩阵A行（或列）极大无关组个数，表示为rank(A)，rank(A)<=min(m,n)。假如等式成立，则称A是满秩（fullrank）（行满秩还是列满秩取决于m、n大小）；假如rank(A)=m=n，则称A为n阶非奇异方阵（n-ordernonsingularsquarematrix），此时A可逆（invertible）。方阵行列式（determinant），表示为det(A)。矩阵非奇异充要条件是：det(A)<>0矩阵转置（transposematrix）逆矩阵（inversematrix）对称矩阵（symmetricmatrix）正交矩阵（orthonormalmatrix）正定矩阵（positivedefinitematrix）正半定矩阵（positivesemidefinitematrix）14/36矩阵分解（decomposition/factorization）所谓矩阵分解，是将矩阵分解为经典矩阵（canonicalmatrix）乘积方法，目标是为了简化计算。LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵（uppertriangularmatrix，L）和上三角矩阵（uppertriangularmatrix，U）乘积，惯用于方程组求解。通常A为方阵QR分解：将矩阵分解为一个正规正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵积（R）。QR分解惯用来求解线性最小二乘问题。矩阵无须为方阵，分解得到Q为m×m方阵，R为n×n方阵Cholesky分解：特征值分解（eigendecomposition）：Schur分解：奇异值分解（singularvaluedecomposition,SVD）：A=USVT，其中U、V为正规正交矩阵，S为对角阵。是最为准确矩阵分解方法，可用于主成份分析（PCA）和聚类（clustering）15/36最优化：理论与应用OptimizationTheory&Applications16/36数学规划（mathematicalprogramming）最优化理论一个主要分支数学规划是指对n个变量对单目标（或多目标）函数求解极小值（或极大值）变量可能受到一些条件（等式或不等式）约束17/36优化问题：分类线性规划+非线性规划（二次规划等）凸规划+非凸规划全局（global）优化和局部（local）优化带约束优化+不带约束优化无约束优化应用：最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）带约束优化应用：LASSO（leastabsoluteshrinkageandselectionoperator）18/36线性规划（linearprogramming）目标函数（objective）和约束函数（constraint）都是线性方法（solutions）图解法（graphicalmethod）单纯形法（Simplexmethod）修正单纯形法（ModifiedSimplexmethod）对偶单纯形法（dualSimplexmethod）应用：19/36二次规划（quadraticprogramming）20/36概率论：赌场中产生科学Probability21/36统计：科学还是骗术？Statistics：CheatingTools？22/36DescriptivestatisticsContinuousdataLocation:mean,median,modeDispersion:range,standarddeviation,coefficientofvariation,percentileMoments:variance,semivariance,skewness,kurtosisCategoricaldataFrequencyContingencytable23/36StatisticalgraphicsbarplotbiplotboxplotHistogramStemplotQ-Qplotcorrelogram24/36Mathematicscanbebeautiful…25/36barplot26/36boxplot27/36Pairsplot28/36Perspectiveplot29/36Timeseriesdatadecomposition30/36Stemplot1|11111122222334441|55555566666678999992|33442|593|3|56784|01231/36随机过程：从偶然到必定StochasticProcess32/36马尔可夫链（MarkovChain）有向无环图（DirectedAcyclicGraph,DAG）可用于预测（prediction）与分类（classification）每条有向边为量化可信度（或者概率）是马尔可夫链（Markovchain,MC）扩展（extension或generalization）每个节点概率计算，可用贝叶斯公式计算；与马尔可夫链相同，每个状态值取决于前面有限个状态33/36贝叶斯网络（BayesianNetwork）有向无环图（DirectedAcyclicGraph,DAG）可用于预测（prediction）与分类（classification）每条有向边为量化可信度（或者概率）是马尔可夫链（Markovchain,MC）扩展（extension或generalization）每个节