【数形结合思想的价值意义体现6000字（论文）】

数形结合思想的价值意义体现TOC\o"1-3"\h\u35391引言 1277101.1研究背景 148381.2研究意义 1236571.3研究价值 2322242数学结合思想的起源与发展 2154042.1数与形的产生 28022.2古希腊时期的数形结合思想 3109752.3中国古代数学中的数形结合 4305202.4解析几何的创立 6233382.5近现代数学中的数形结合 6228623数形结合思想的价值体现 746433.1数形结合在概念定理中的优越性 7313153.2数形结合对微积分的重要作用 9268693.3数形结合为三大几何问题的解决提供了转机 9259483.4数形结合使圆锥曲线的研究有了新进展 11313944总结 129054参考文献 13摘要：数学思想方法是对数学知识的基本理解，即从具体数学内容和数学理解过程中得出的数学观点和方法，数形结合思想是最基本的数学思考方法，对数学具有重要的价值和重要性。数形结合思想在数学知识的所有方面都得到实施。将几何代数结合在一起，代数问题和几何问题相互交织，为代数问题提供了几何直觉，并为几何问题提供了准确的证明，研究价值很高。关键词：数学思想；数形结合；方法；价值1引言数形结合思想在整个数学知识体现中都有贯彻。它将几何与看似独立的代数结合起来，从而提供了关于代数问题的几何直觉和关于几何问题的确切证据，研究价值很高。数形结合可以通过图像揭示事物的本质，补充了逻辑思维，使数学研究具有目标和方向，并严格论证辩证统一，从而促进数学的不断改进和发展。数形结合思想是相互关联和不可分割的。通过将“数字”和“形状”密切结合，将强迫性表达的准确性与几何形状的直觉结合起来，使代数式和几何问题相互渗透和转化，从而抽象概念和图形思维完全结合。2数学结合思想的起源与发展2.1中国古代数学中的数形结合在中国古代数学的发展中，数形结合的优势也体现地淋漓尽致，它不但促进了中国古代数学的发展，同时也为现代数学的发展提供了参考，对数学的发展作出了巨大贡献。而在古代的数学研究中，最能体现数形结合的范例之一可属刘徽和杨辉对“三角形面积公式”的推导。在《九章算术》一书中，记录有刘徽对三角形面积公式的推导方法，其中有这样一段对于三角面积公式的推导过程的描述：“半广以乘正从.半广知，以盈补虚为直田也.亦可半正从以乘广[1]。”其实，刘徽的这种推导方式所得到的结论与我们现在所运用的三角形面积公式的表述是完全一致的，而在当时对于三角形面积公式这一结论的得出，得益于中国古代数学家将数与形相结合以解决数学问题的思考，它也是数形结合思想在我们古代运用最直接的反映。具体分析如下（如图1所示）。图1刘徽对三角形面积公式的推导后来，杨辉进一步研究了刘徽的三角面积公式的推导方法，其研究成果记录在《田亩比类乘除捷法》一书中.根据书中记载，杨辉将他自己的推导方法总结为：“广步可以折半者，用半广以乘正从，从补可以折半者，用半从步乘广。广从皆不可折半者，用步从相乘折半。”而这一结论与我们现在所运用的三角形面积公式完全一致，用公式可以将杨辉的结论表述为以下三种情况：；；。刘徽和杨辉对三角形面积公式的推导过程是我国古代数学中数与形完美结合的典范，其具体做法是通过“以盈补虚”的方式将三角形构造和转化成为一个矩形，从而得出三角面积公式，而这无疑是数形结合思想的体现[2]。2.4解析几何的创立17世纪以后，随着社会生产的进一步发展和需要，圆锥曲线的研究也应运而生，而就是在这样的背景下，解析几何应人们的种种需要产生了.解析几何的发明要归功于法国的两位著名数学家笛卡尔与费马，他们对解析几何的创立有着极为重要的作用，他们对解析几何的研究是数与形相结合的直观体现，是数与形相结合的典型的代表性成果。笛卡尔和费马打破了古希腊人对代数与结合认识上的狭隘性，他们将数与形相结合统一了起来.依据笛卡尔的《几何》可以知道，他创立解析几何的要旨是把几何学的问题归结为代数形式的问题，简单的说就是从运动轨迹（形）出发寻找它所满足的方程（数），而费马则相反，他是从方程（数）出发研究曲线（形），他指出“每当在最后的方程中出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，其中一个未知量的端点描绘出一条直线或曲线.这条直线简单且唯一，曲线的种类无限的多——圆、抛物线、双曲线、椭圆等等”，对比两人的思维路径，他们的研究正是解析几何基本原理的两个相反方面.即把几何问题转化用代数方法，然后用代数方法研究图形的几何性质。“随着解析几何的创立，……，不仅使过去的几何问题有了一个一般的解法和一个有力的工具——代数的工具，而且还扩大了几何的领域.另一方面又揭露了，代数与分析中的许多事实可以用几何来表现，例如函数关系就可以用图形来表示.反过来，几何上的一些考虑又可以帮助解决代数与分析的问题”[3]。2.5近现代数学中的数形结合从解析几何创立以后，数与形之间就不再有那么明显的界限了.对于18世纪后的数学，也许我们只能牵强的把“数”理解成是包括数论、分析学及代数方程等侧重“数”的代数学，而“形”就是包含了解析几何、微分几何、数论几何、欧几里得几何等侧重于“形”的几何学.但解析解却并不只是单纯地“形”进行研究，因而解析几何从诞生开始便不能算是完全意义上的几何学。在此后，代数与几何几乎是紧密联系、捆绑式发展，而数与形在局部相关领域联系也更加紧密，“数”提供了研究的工具、思路和方法，更新看待问题的视角，而“形”提供研究的对象和辅助思考的工具，数形结合思想也彻底的、完全的渗透到数学的发展当中，并被当作一种研究问题的思想方法提炼出来。在近现代数形结合思想的推动下，“数”的运用使得研究向更加深入、抽象的方向发展，不过在另外一些领域，比如代数学内部研究的对象与“形”的联系却越来越远。由于整个数学领域内越来越多的数学分支与日益兴起的综合交叉学科，现象已经很难准确的诠释“数”与“形”的具体含义，同时，数学家们所关注的“结合”、“联系”也不再仅只是“数”与“形”这些具体的数学对象，在他们看来，关注不同的数学方法与数学思想之间的相互融合更具有实际意义.由于现代数学工具大部分兼具“数”和“形”双重特征，“数形结合”已经作为一种基本数学思想被完全地、彻底地熔融到数学的发展中[4]。3数形结合思想的价值体现数形结合思想是中学数学的一般数学理念之一，对数学学习具有重要价值。数学研究的主要目标是数字和形状。数字代表了学习的抽象特征，而形则代表了数学知识的直观形象。在研究和解决数学问题时，数字和形状的组合将总结出几何显示和代数式的本质的基本特征。此外，数字和形状的结合是数字和形状之间的联系，通过数字和形状的相互转换，困难、抽象可转化为直观和易于解决的数学问题。因此，要把数字和形状结合起来，就必须掌握这个思想。3.1数形结合在概念定理中的优越性在数形结合思想的指导下，可以通过代数充分描述几何对象，几何概念可以用代数形式表达，几何目标也可以通过代数手段实现，几何图像也可以从代数的角度间接反映;另一方面，数形结合思想的结合可以解释代数语言的几何解释，使代数语言具有明显而明确的含义。比如毕达哥拉斯学派对完全平方公式的证明，具体的证明过程如下（如图2所示）：图2完全平方公式的证明在以为边长的正方形中，被切割成四个四边形，其中包含有两个分别以，为边长的小正方形，根据图像关系可以知道，大正方形的面积是被四个四边形所填充，也就是以为边的大正方形的面积等于其他四个四边形面积的和，即，整理就得到完全平方式：图2完全平方公式的证明又如我国古代科学家赵爽对勾股定理的证明：下图的正方形是由四个完全相同的直角三角形拼成，其中，直角三角形的两直角边分别为、，斜边为.那么，这个大正方形的边长为，中间小正方形的边长为.四个三角形的面积之和，大正方形的面积，小正方形的面积.显然，四个三角形的面积之和=大正方形的面积-小正方形的面积，即，所以，所以，即，勾股定理成立。图3赵爽弦图图42002年世界数学家大会会徽赵爽利用他所绘制的图案，非常巧妙的运用数形结合逻辑性严密的证明了勾股定理，对我国的数学发展做出了重大贡献.值得一提的是，2002年，在我国北京举办的世界数学家大会上所使用的会徽就是“勾股弦图”.（如图8所示）这显然也是中国古代数学史上的一大骄傲。此外，对于数形结合思想，在向量运算中也得到了了充分的体现.对于一些几何定理，我们可以通过构造向量来证明，或者简化证明过程.例如，在三角形中构造向量，可以运用数量积的定义和向量的运算法则证明三角形的余弦定理，也可以利用向量积模的定义证明三角形的正弦定理[5]。上述例子说明，从古至今，数形结合相互间的联系就很紧密.用代数方法解决几何问题，用几何方法处理代数问题，充分体现出了数形结合思想对于理解数学概念、证明数学定理的优越性。3.2数形结合对微积分的重要作用3.2.1微积分创立的准备工作在恩格斯的《自然辩证法》一书中，微积分的创立被看成是17世纪人类理性精神的最高胜利，但是它的产生离不开解析几何所给予的贡献.在17世纪上半叶时期，数学家们已经积累了大量微积分的知识和方法，如德国天文学家、数学家开普勒发现了如何求旋转体体积；意大利数学家卡瓦列里建立了不可分量原理，后称“卡瓦列里原理”；法国数学家笛卡尔在《几何学》中提出了“圆法”；费马提出了求极大值与极小值的代数的方法；巴罗给出了求曲线切线的方法——“微分三角法”，也叫“特征三角法”以及沃利斯的“无穷算法”等，这些努力都为微积分的产生起到了积极的促进作用，而解析几何的出现则为微积分的创立奠定了基础。3.2.2解析几何在微积分中的作用17世纪笛卡尔创立的解析几何，建立了坐标系中点与数的一一对应，这为利用数形结合思想去研究微积分打下了基础.事实上，微积分学中的很多问题就是运用的数形化归，这是形象思维的常见形式，其主要体现在两方面：一是将代数问题几何化，将问题的本质形象化，即根据数量特征，构造出相应的几何图形；二是将几何问题代数化，也就是将图像信息转化为代数信息.在微积分中，许多概念定理都离不开数形结合。如：函数在区间上连续表示它的图像在这个区间上是一个连贯的曲线；定积分表示曲边梯形的面积代数和。而解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台，可以说，正是有了解析几何，才推动了微积分的发展[6]。3.3数形结合为三大几何问题的解决提供了转机古希腊是几何学的故乡，而古希腊时期的三大几何难题，是延续两千多年才得以解决的世界性难题.3.3.1三大几何问题古希腊著名的三大几何问题分别是：（1）化圆为方，即求作一个正方形，使其与给定的圆的面积相等；（2）倍立方体，即求作一个立方体，使这个立方体的体积等于已知正方体的两倍；（3）三等分角，即将任意给定的一个角三等分。三大几何问题的起源涉及一些古老的传说，例如关于化圆为方问题，安娜萨格拉斯是古希腊著名的学者，在当时，由于当时的宗教认为太阳是神灵，而他却认为太阳是一块炽热的石头，所以被蒙受冤狱之苦，在被囚禁的日子里，阳光每天穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内.一天，他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形光亮时，突发奇想：能不能做一个正方形，使它的面积与一个已知圆的面积恰好相等呢？于是，一道世界名题——化圆为方问题诞生了。关于倍立方体问题有两个神话故事，一个是埃拉托塞尼曾记载一位古希腊诗人讲述的故事，说神话中的米诺斯王嫌别人为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍；另一个是说在埃拉托塞尼的记述中，瘟疫袭击提洛岛，一个先知者说已经得到神的谕示，必须将立方体的祭坛的体积加倍，瘟疫方可停息。这类问题引起了古希腊许多数学家的注意，激发了整个古希腊许多数学家的研究兴趣.这三大几何问题的难处在于古希腊人限制了作图工具，古希腊人要求几何作图只能使用不带刻度的直尺和圆规（称为尺规作图法），致使这三大几何问题看似简单，而实际操作起来却很难，令数学家们百思不得其解。3.3.2三大几何问题的解决这三个几何作图问题看起来不复杂，但实际上却困扰了数学家们一千多年，一代代数学家贡献力无限时间与精力，都没有找到正确的方法.许多古希腊学者都为解决这三个问题作了大量的工作，如今看来，尽管他们最终没能解决这三大几何问题，但他们在尝试解决这三个问题过程中的探讨引出了许多重要的发现，这些发现对整个希腊数学产生了巨大的影响.有的人在解决问题的过程中很灵活，巧妙地添加了一些条件，如阿基米德在直尺上标出两个点，解决了三等分角的问题；柏拉图用两个三角形板来解决了倍立方体问题一些数学家在此基础上探索了一些新的数学问题和理论.例如，柏拉图的学生梅内克缪斯为了解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线；希腊数学家在求解三等分任意角的过程中，发展了高等几何，包括希皮亚斯的割圆曲线、尼科梅德斯的蚌线、阿基米德的螺线等。一直到1637年，法国数学家笛卡尔创立了解析几何，利用代数方法来研究几何问题，才为解决这三大几何难题的解决提供了新的转机.其中，在1637年，笛卡尔首先提出立方倍积问题不可能用尺规作图得出.解析几何诞生后，将代数方程与几何曲线紧密的结合在了一起，促使人们对尺规作图可能性问题有了更加深入的认识，从而得出结论：一个几何量能否用直尺、圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开方运算求得。三大几何作图问题的真正解决是在解析几何创立之后的19世纪.1837年，法国数学家旺泽尔进过努力，在代数方程论的基础上，证明了倍立方体和三等分角问题只用尺规作图是不可能的.1882年，德国数学家林德曼证明了数的超越性，从而也证明了尺规作图化圆为方的不可能性.至此，古希腊三大几何问题才彻底得以解决.事实上，三大几何问题的解决过程中存在着解析几何的影子，可见，解析几何在三大作图问题中的作用是不可替代的。4总结数形结合思想作为中学数学中最基本、最常见的数学