第8-1节 重积分的概念及计算

第八章重积分8.1重积分的概念与性质在一元函数微积分学中我们已经知道，定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线、曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分、曲面积分的概念。本章首先介绍重积分的概念、计算法以及它们的应用。18.1.1重积分的定义回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题，假定物体的密度是连续变化的。首先考虑一根长度为l的细直杆。不妨假定它在轴上占据区间[0，l]，设其线密度为2在每个小区间上“以常代变”，作积求和得到细直杆质量的近似值为然后通过求极限便可得到细直杆的质量为如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其面密度函数为

=

(x,y)≠常数。这里

(x,y)>0且在D上连续。3均匀薄片:质量=面密度×面积

参照上述细直杆的讨论方法，yxo现在要计算该薄片的质量。我们将分割成n个彼此没有公共内点的闭子域该薄板的质量可表示为4如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区域Ω，其体密度函数为

=

(x,y,z)≠常数,则其质量可表示为综上所述，(2)、(3)的右端都是与(1)式右端同一类型的和式极限，它们为定义重积分提供了物理背景。下面我们先给出二重积分的定义。5定义8.1.1设是有界闭区域上的有界函数，将区域任意分割成n个小区域如果当各小区域直径的最大值

趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限为函数(推广为f(x,y))在闭区域D上的二重积分，记作6积分区域积分和积分变量被积表达式面积元素被积函数由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分7下面我们再给出重积分的定义。定义8.1.2设

是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(X)是在

上有定义的有界函数，将

分割为彼此没有公共内点的任意闭子域8如果当

0时，上述和式的极限存在，并且该极限与

的分割方式及Xi的取法无关，我们称该极限值为函数f(X)在

上的n(重)积分，记为其中f(X)称为被积函数，

称为积分区域，也称函数f(X)在

上可积。特别地，当n=2时函数f(X)=f(x,y)(x,y)

D，即为函数f(x,y)在D上的二重积分，d称为面积元素。9当n=3时函数f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)

，即为函数f(x,y,z)在

上的三重积分，dv称为体积元素。有了上述定义，空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来表示，即可以证明定理8.1.1

(1)（充分条件）若在上连续，则它在上可积；(2)（必要条件）若在上可积，则它在上有界。108.1.2 重积分的性质我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似。假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。(2)(关于被积函数的线性可加性）若

、

为常数，则

表示D的面积11(3)（关于积分区域的可加性）无公共内点，则(4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y)

g(x,y),则特别地，有12(5)（估值定理）设M、m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，

表示D的面积，则下面仅给出结论(5)、(6)的证明。(6)（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，

表示D的面积，则至少存在一点(,)，使13(5)由于f(x,y)在有界闭区域D上可积，M、m是f(x,y)在有界闭区域D的最大值和最小值，所以m

f(x,y)

M。上面的不等式也称为估值不等式。(6)令则14(6)由连续函数的介值定理知，f(x,y)在D上至少存在一点(,)，使f(,)=

，即上式两端同乘以

即得结论成立。1516(1)D1：x轴、y轴及x+y=1所围；(2)D2：(x

2)2+(y

1)2

2解

(1)因为在区域D1上0

x+y

1，

(x+y)3

(x+y)2根据性质4，得

(1)若f(x)在[a,b]上连续,f(x)

0,且f(x)不恒为零,则。1712从图形易知在D上除切点外，处处有x+y>1

(x+y)2<(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)2

2该圆域与直线x+y=1相切。18例3利用二重积分的性质，估计积分的值。解因为fx=2x，fy=8y，所以有驻点(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。19显然，在边界上f(x,y)的最小值为2，最大值5。于是f(x,y)在D上的最小值为1，最大值为5，积分区域的面积为

。所以有20例4.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有21第八章重积分8.2二重积分的计算法利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。228.2.1利用直角坐标计算二重积分设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。如何求该曲顶柱体的体积呢？1、曲顶柱体的体积------

二重积分的几何意义23(1)分割用一组曲线网将D分成n个小闭区域

1,

2,

…,

n

，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。24(2)近似当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体25由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。2627yxzo282、用几何观点讨论二重积分的计算法应用“定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。(1)设f(x,y)

0，f(x,y)在D上连续。［X－型］oabxyoabxy29oax0

bxyz在区间[a,b]上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[

1(x0),

2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其截面面积为：先计算截面面积。30一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：

于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式oax

bxyz31上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从

1(x)到

2(x)的定积分；再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间[a,b]上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作32［Y－型］DyoxdcyoxdcD33计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，在区间

1(y)

x

2(y)上对x积分,得到一个关于y的函数,再在区间c

y

d上对y积分,。这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。34应用公式(1)时，积分区域必须是X型区域。应用公式(2)时，积分区域必须是Y型区域。X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。35若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，此时要将积分区域D分成几部分，使得每一部分是X型区域或Y型区域，再利用积分关于区域的可加性可得整