一种指纹抓持系统的灵巧性分析

一种指纹抓持系统的灵巧性分析

1最佳灵活性区域的确定在现有的柔性方法中，机构形式上经常意味着更多的关节手，手指的数量通常是3.5个，每个手指的关节数量通常是3个旋转关节，这基本上可以模拟大多数人的运动。从现有多指灵巧手的机构组成看,均可以看作是由单个机器人臂在基体(手掌)上配置而成。因此多指手的抓持性能和操作性能,不仅取决于各手指(机器人臂)的性能,而且还与这些手臂之间的合理配置有关。这里牵涉到两个方面的问题,其一,单个手指(机械臂)的运动性能和传力性能的确立,其二,所需要设计的手的运动性能和传力性能的要求。从目前研究看,单臂的运动性能主要由操作器的灵活性来描述。在由单个手指(单操作器)组成的多指灵巧手(多机器人系统)中,参与抓持和精细操作手指的工作空间,只占各手指(机器人)工作空间的某一部分。有些学者利用各单臂的工作空间相交的体积最大来设计多机器人系统,这种思想只能扩大多指手(机器人系统)的工作范围,而并不能保证每个手指(单个操作器)工作在最佳的工作性能状态;并且牵涉到多个复杂曲面的“立体求交”这一复杂几何问题,另外,由于在工作空间中存在一部分奇异区域,在此区域中,手可能使某一方向的关节速度非常大。因此必须选择工作性能良好的区域作为工作区域,尽可能使各手指工作在其具有较好特性的区域,并尽量避开奇异区域,从而,保证整个手处于较好的工作状态。因此综合以上考虑,本文首先从单操作器的灵巧性分析出发,提出单操作器工作空间中的最佳灵活性区域概念,并以最普通的空间3R手指作为实例,确定其最佳灵活性区域。在此基础上,根据多指系统的最佳灵活性准则,结合多指手抓持物体的情况,对其进行最佳设计,分别得到了几种不同配置的,具有最佳灵巧性的多指灵巧手设计方案。2操作器的雅分析为了简化,我们假定物体与手指之间接触模型是有摩擦的点接触,那么,手指到物体的运动传递仅考虑手指尖的移动分量来实现,而手指指端的姿态不影响物体的运动。在物体坐标系中,接触点i的速度Vi与物体的速度之间有:Vi=Vo+ωri(1)式中:Vo——物体上坐标系原点的速度;ω——物体的角速度,它们均被定义在公共坐标系中;ri——接触点在物体座标系中的位置矢量。对单个手指而言,手指尖在物体坐标系中的速度可用手指的雅可比表示为:Vi=Ri˙xi=RiJi˙q(2)Vi=Rix˙i=RiJiq˙(2)式中:J∈Rm×n——手指的雅可比矩阵;Ri——从手指尖(接触点)坐标系到物体坐标系的方向余弦。因此,它是正交矩阵,即:RΤiTi=R-1i−1i。于是,在由k个手指组成的系统中,可组合成:V为各手指尖的速度向量,V=[V1,V2,…,Vk]T,关节速度向量˙Q=[q1‚q2‚⋯‚qk]Q˙=[q1‚q2‚⋯‚qk]。因而,手指尖的运动取决于式(3)中,手的雅可比矩阵J,显然,它取决于单个手指的雅可比矩阵RiJi。由于Ri是正交矩阵,那么:(RiJi)TRiJi=JTiRTiRiJi=JTiJi(3)式(3)说明,RiJi的奇异值与Ji的奇异值相同。由于在下面讨论操作器的灵巧性时,主要的影响因素是矩阵的RiJi奇异值,显然,根据式(3),研究手的特性,也就对应研究单个操作器的特性。从运动学的角度看,衡量操作器的运动学特征优劣的一个主要指标是操作器的灵巧度,而它取决于操作器的雅可比J∈Rm×n。按照矩阵理论,J可有奇异性分解:J=UΣVT(4)这里,U∈Rm×n、V∈Rn×n为正交阵,Σ为对角阵,若J的秩为r,则:Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)σi为J的奇异值。若关节速度一定,即它满足:˙qΤ˙q=1(5)这是一个单位球。那么,由式(2)导出:˙q=J+˙x‚J+是雅可比矩阵的广义逆:J+=VΣ-1UT(6)代入公式(5)中,就得到以下方程:˙xΤUΣ-2UΤ˙x=1(7)方程(7)定义了一个广义椭球,它表明,在关节速度矢量的范数为1时,即为单位球时,末端器的广义速度位于一个广义椭球上。从式(7)可知:椭球的主轴方向由正交矩阵U的列向量来确定,椭球的各主轴长度为σi,并且σ1≥σ2≥…≥σr,σr为椭球最短轴的长度,σ1为广义椭球最长轴的长度。那么,对操作器而言,其输入速度(关节速度)与输出速度(末端器速度)之间的关系由该广义椭球来反映。尽管RiJi与Ji的奇异值的大小相同,但是,根据奇异值的分解有:RJ=RUΣVT=U1ΣVT(8)这样,单个操作器与在多指手中,单个手指的速度椭球的主轴大小完全相同,所不同的是,由于U与U1相差一个方向余弦矩阵,因此,两者的主轴方向不同。用雅可比矩阵的条件数,即运动灵巧度(Dexterity)定义为:k=σ1σr(9)即最大奇异值与最小奇异值的比,从广义椭球的形状看,该比值反映了广义椭球的扁平程度,当k=1,则说明广义误差在各个方向上的传播机会也是均等的。椭球退化为一广义球,表明操作器在该位形处,可以取得较好的伺服精度,即具有相同的施力特性。这时各个方向的速度比均相同,根据力和速度的对偶关系,并且在所有方向上可施加同样大小的力,在对应操作器位形的这些点处,对于给定的操作器来说称为最佳工作点,于是对应于在最优工作点的附近区域,我们称为最佳工作区域(最佳灵巧度区域)。定义1:最佳灵巧区域,对于给定的操作器的位形,当其对应的雅可比的最小与最大奇异值之比k等于1的位形,称为最佳工作点;围绕在最佳工作点附近,保证k值接近于1的对应工作空间区域,称为最佳灵巧区域。即:k≤1-δ(δ≤1),(δ可根据需要给定)。3操作器嘴唇的最佳工作点从2节的分析我们可以看到,最佳工作区域的确定通过最佳灵巧点和最佳可操作点来完成,而影响二者的主要因素是手指(操作器)的雅可比。本节的研究仅限于静态,不考虑惯性的影响。通过雅可比矩阵的奇异值分解,而确定最佳工作点的发生位置,从而得到最佳的手指参数。一般情况下,操作器的条件数为一般的空间超曲面,难于找出其最佳位置,由于目前采用的大多数手指,其结构形式采用3R型式,如图1a所示,故从分析这种操作器(手指)的最佳工作点来说明我们的思路。为了分析方便并不影响其工作特性,我们把3R操作器分解为两部分来研究,如图1b、c所示。3.1最佳灵敏度计算图1中,为了便于分析,我们把雅可比矩阵表示在其末端杆坐标系中,于是,2R操作器的雅可比矩阵为:J=[l1s20l2+l1c2l2](11)式中:l1、l2——连秆的长度;s2=sinθ2;c2=cosθ2;θ1,θ2——关节角位移。由奇异值的定义,J的奇异值是JTJ矩阵的特征值的平方根,则:λ12=l21+2l22+2l1l2c2±√(l21+2l22+2l1l2c2)2-4l21l22s22(12)对应σ12=√λ12,由灵巧度指标k1=σ1/σ2,并令μ=l1/l2,其最佳工作点对应于k=1,即σ1、σ2两奇异值相同,有:(μ2+2+2μc2)2=4μ2s22(13)进一步推导:μ2+2+2√2μcos(π4±θ2)=0(14)只有cos(π4±θ2)=-1时,上式可能有恒等。这时:π4±θ2=π,或θ2=±34π。对应:μ2+2-2√2μ=0即μ=√2。因此,对2R平面操作器来说,θ2=±3/4时为最佳工作点,对应的杆长比μ=√2,即l1=√2l2(末端杆要稍短一些),这正好与我们人类手指的末关节比中间关节短一些是非常一致的,从理论上证明了人类手是最灵巧的操作器。另外,最佳灵巧度指标k与杆l1的位置θ1无关,仅取决于杆2的位置θ2。反之,如果给定杆长尺寸,由式(16)可确定最佳工作点(最佳灵巧点),于是由式(16)有:当我们取定两杆长度,对应于k∈[0.5,1],则θ2∈[100°,150°]。从以上的分析看,具有最佳灵巧性的2R杆的杆长参数应符合l1=√2l2的关系。3.2广义椭圆操作器等效空间2R操作器如图2所示,图中各杆长为l0、l12,关节转角为θ0、θ12,固定坐标系设在关节1的轴线上,于是其未端点的雅可比矩阵为:J=[-(l0+l12c12)s0-l0c0s12(l0+l12c12)c0-l12s0s120l1c12](16)式中:c12=cosθ12;s12=sinθ12;c0=cosθ0;s0=sinθ0。那么,对应于J的奇异值分别为:σ1=l0+l12c12,σ2=l12(17)根据广义椭球的含义,该操作器中,当关节速度˙θ0,˙θ12位于单位圆上时,经J映射后广义椭球(椭圆),其椭圆所在平面如图2所示,长短轴方向分别在与杆1垂直的平面内,因而沿杆长方向不产生速度,因此该2R操作器只产生杆l12末端点的两个方向运动(m,n)。而对应于3R操作器,即根关节和第二关节,只负责手指的收缩和伸展及手指末端的缠绕动作。那么在对应的运动方向上灵活度为:k2=σ1/σ2,然后,令:μ2=l0/l12。则:k2=μ2+c12(18)对应k2=1,μ2和θ12不唯一。从式(18)有:k2=μ2+cosθ12=1(19)那么对应式(19)满足μ2>0的θ12有无穷多个,只要θ12≠0的任意值都可以。这里为了方便取:μ2=1‚θ12=π2,由此得到:l0=l12。最佳灵巧点发生在θ12=π2处,并且与θ0的位置无关。即不管θ0处于什么位置,只有θ12和μ2可确定该2R的灵巧度。特别注意的是,由最佳灵巧度分析,我们看到,在二杆长度相等时,存在最佳工作点,此时对应于我们人类的手指。若把末指节和中指节看成一个指节,则可以惊奇地发现,这个指节与根关节的长度基本相等,那么这进一步说明人手的灵巧性是最佳的。其最佳灵巧工作区域,可由计算k2值与θ1关系而定,由此确定最佳灵巧区域为(80°,120°)。4最佳工作点的分析从3.1的分析我们得到了平面2R杆的最佳灵巧点和可操作点,这仅与θ2有关,由3.2的研究,空间2R杆的最佳灵巧点确立θ12的范围,那么,结合两个2R杆的最佳工作点,我们可得到图3所示的空间3R手指的最佳工作点P的位置。由于P点的位置与根关节无关,因此在整个工作空间中,最佳工作点所形成的轨迹为绕z轴的一个圆。该圆的半径是l0,其平面垂直于z轴,离原点O的距离为l12。从最佳工作点的分析,我们可以得到对应手指各杆的尺寸关系:l1+l2≥l12l1-l2≤l12}(20)由前面分析的结果:l1=√2l2‚l12=l0(21)那么,根关节的长度应满足:上式给出了3R手指的各关节长度大小之间的关系,由此我们可以确定各关节的合理尺寸。若l2=36mm那么,l1=50.4mm,然后就有:l0=l12=7.452mm～43.454mm。根据所要限制的灵巧度数值范围,通过上节找出对应的θ2和θ12的区间,这个区域在图4所示的阴影部分中。中指节和末指节的最佳范围,为一扇形区域,考虑到θ0的任意性,我们将其最佳范围(扇形区域)绕关节1的轴线转2π后,得到一近似圆柱体,其半径是l12,离基点O的距离是l12,如图4所示。至此,完成了3R手指的最佳灵巧区域的确定。5确定0个不同中心的相对位置我们假定手指机构的结构型式关节类型已经确定,并且各手指的结构尺寸我们按照手指(单个操作器)的最佳灵巧性来设计。所以,剩下的问题是把一个多指灵巧手的设计问题,转化为确定数个手指在手掌中的相对位置的问题。为了简化,暂不考虑物体和实现任务的影响,并忽略手指本身的几何尺寸的影响。从4节的分析中看出,若各手指的最佳工作区域,均为一近似圆柱或环形体,并且最佳区域的相对位置,均相对于其工作空间是固定的。于是,设计具有最佳灵巧性的灵巧手,即意味着确定数个最佳区域(圆柱或环形体)的相对位置。于是我们提出设计具有最佳灵巧性灵巧手的设计准则:具有最佳性能的灵巧手存在的必要条件,是各手指的最佳工作区域相重迭或相交的公共区域应具有最大体积。5.1两常州市两目标函数当两个手指组成两指灵巧手时,其对应各手指的最佳工作区域的相互位置,有以下情况:按照准则,显然当两圆柱重迭成反向重迭时,其相交体积最大,并且等于其中一圆柱的体积。那么此时,对应于两3R手指其相对位置,如图5所示,两手指相距2l12;但当两圆柱在同侧时,两手指处于同一位置,显然与单手指是完全一致的,从运动学意义上是同一个手指(或单操作器)。当两圆柱的轴线平行时,由于两圆柱的截面为圆形,其半径为2l12,最理想的情况是两圆在一平面,并且轴线相距越小、两圆相交的公共区域越大。当然,极限情况,两轴线重合,此时又退化成单手指的情况。这里,为了防止两手指根关节的运动干涉,我们限制两轴线的距离d≥l0。临界情况,d=l0。这时,由于l12=l0,所以有d=l12。对应的两手指的相对放置,如图6所示。5.2壳体的相位当我们用三个手指组成一多指灵巧手时,设计的主要任务是确定这三个手指在手掌中的相对位置,那么根据最佳工作区域来确定,牵涉到对应的三个区域相交的问题。一般情况下,三圆柱相交是较复杂的问题,因为描述三圆柱的相对位置和方位的参数需要12个,简单利用“物体求交”的方法,求其三指的最大区域时,对应的三圆柱的相对位置显得很复杂,并且计算量很大。因此我们考虑几种特殊情况。(1)下降后的内压框架若其中两个圆柱轴线重合,退化为两手指情况,同图5的情况;或者三圆柱轴线重合,这时退化成单个手指的情况。若第三个圆柱的中心与前两个圆柱的中心重合,它倾斜某一角度均将会使重迭区域减少。第三圆柱与前两圆柱的轴线夹角α愈小,重合愈多,那么显然α=0°重合最多,若不让α=0,可利用附加条件来限制α,可唯一确定第三个手指的位置。(2)以o12为球心、半径为r为了使第三个圆柱与前两个重叠圆柱相交的较多;让第三个圆柱的中心与前两圆柱的中心O重合,那么,对应的第三个手指的基点O3应在以O12为球心、半径为R=l12的球面上,如图7所示,按这种方式设计可得到无穷多种方案,这种相交的重叠体积不等,其中,该圆柱与其中的一个圆柱重合时,相交的体积最大并且等于一个圆柱的体积。如果附加一些条件,如结构限制条件或者考虑运动干涉等条件,就可能唯一地确定其方案,例如,若第三根手指在水平面上,即为图7情形。(3)核实际的等边三角形这种情况类似于人手食指和中指的相对位置,那么调整第三个圆柱,实际上是调整拇指的位置,如图8所示。首先要确定其中两圆柱的相对距离,显然,在这种情况下圆柱1和2的轴线共面,两者的相交类似于两个圆相交,很明显,两轴线相距越近,相交的体积越大,若重合,又退化为一个手指的情况。那么,我们考虑一些辅助条件,3R手指的第一指节(杆)运动平面垂直于轴线,若两轴相距很近,两个手指的第一指节的运动可能发生干涉,因此,圆柱1和2轴线之间的距离,至少应等于或大于l12,由于圆柱的半径为l12,我们取该距离长度为l0=l12。这样,圆柱1和2的相交为半圆柱H,这时,让第三个圆柱的中心与H的中心重合,即为O点,那么,第三个手指的轴线平行于前两手指的