初中数学利用三角形全等测距离+教案2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

课题：利用三角形全等测距离知识点回顾：一：全等三角形的判定方法（1）“SSS”：三边分别相等的两个三角形全等.（2）“ASA”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（3）“AAS”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（4）“SAS”：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.二：两个全等的三角形的性质全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等.知识点一：利用三角形全等测量距离在现实生活中会遇到一些难以直接测量的距离问题，可以利用三角形全等将这些距离进行转化，从而达到测量目的，将实际问题转化为数学模型，构造出全等三角形进行解决．题型一：全等三角形的判定方法例题1：如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离.我们可以证明出△ABC≌△DEC，进而得出AB＝DE，那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS变式练习：1.如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离到达C点.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离.在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（）A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS2.如图，把两根钢条AB，CD的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC之间的距离，就可知工件的内径BD．其数学原理是利用△AOC≌△BOD，判断△AOC≌△BOD的依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS3.如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS题型二：利用全等三角形测量长度问题例题2：如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED＝30米，因此AB的长是（）A．10米 B．20米 C．30米 D．40米变式练习：1.如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则．2.如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．(1)求证：；(2)若m，m，求的长．知识点二：全等三角形常见模型（1）一线三等角常见图形如下：（含特殊的一线三垂直）（2）手拉手模型常见图形如下：（等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）题型三：一线三等角模型例题3：已知：如图，，，，则不正确的结论是A．与互为余角 B． C． D．变式练习：1.如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC．2.如图，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．（1）求证：DE=BD+CE．（2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明．题型四：手拉手模型例题4：如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是，①；②；③；④若，且，则．A．1 B．2 C．3 D．4变式练习：1.如图，△ABC≌△A'B'C，∠ACB90°，∠A'CB20°，则∠BCB'的度数是（

）A．60° B．70° C．80° D．90°2.如图，在中，，是边上的一点，以为边在右侧作，使，连接，．（1）试说明；（2）若，求的度数．题型五：全等三角形的动态问题例题5：如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为．变式练习：1.如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（

）s．

A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或42.如图，的两条高与交于点O，，．(1)求的长；(2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值．3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用t的代数式表示PC的长度；（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？课后巩固：1.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，AC的中点，DM，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，其判定依据是（）A．ASA B．AAS C．SSS D．HL2.如图，某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量（）（1）在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C；（2）连接BC并延长到E，使得△；（3）连接AC并延长到D，使得▽；（4）连接〇并测量出它的长度，即为AB的长；（5）上述方案的依据是

．A．△代表CE＝BC B．▽代表CD＝CA C．〇代表DE D．

代表SSS3.如图为了测量点B到河对面的目标点A之间的距离，在点B同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，然后在点M处立了标杆，使∠MBC＝65°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS4.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝6m，AD＝4m，则BF等于（）A．18m B．16m C．12m D．10m5.如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段AC与BD相交于点O，AO＝DO，只要测得C、D之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是．6.．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，D两地．C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？7.为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下的两种方案：方案①如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，BC，并分别延长AC至点D，使DC＝AC，EC＝BC；