2018-2020年江苏省数学中考试题分类（14）-图形变换

2018—2020年江苏省数学中考试题分类（14）——图形变换一．选择题（共24小题）1．（2020•镇江）如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是A． B． C． D．2．（2020•南通）以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥4．（2020•盐城）下列图形中，属于中心对称图形的是A． B． C． D．5．（2020•盐城）如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是A． B． C． D．6．（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A． B． C． D．7．（2020•淮安）下列几何体中，主视图为圆的是A． B． C． D．8．（2020•淮安）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是A． B． C． D．9．（2020•扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是A． B． C． D．10．（2020•连云港）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是A． B． C． D．11．（2020•苏州）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是A． B． C． D．12．（2020•苏州）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，且，则的度数为A． B． C． D．13．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为A． B． C． D．14．（2020•无锡）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度A． B． C． D．15．（2020•无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为A．①④ B．②④ C．①③ D．②③16．（2020•无锡）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形17．（2019•常州）若△，相似比为，则与△的周长的比为A． B． C． D．18．（2019•苏州）如图，在中，点为边上的一点，且，．过点作，交于点．若，则的面积为A． B．4 C． D．819．（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是A． B． C． D．20．（2019•扬州）如图所示物体的左视图是A． B． C． D．21．（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是A． B． C． D．22．（2018•泰州）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是A．正方体 B．四棱锥 C．圆柱 D．球23．（2018•盐城）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是A． B． C． D．24．（2018•盐城）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A． B． C． D．二．填空题（共8小题）25．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于．26．（2020•镇江）点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转后能与原来的图案互相重合．27．（2019•徐州）如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为．（参考数据：，，28．（2019•镇江）将边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则．（结果保留根号）29．（2019•淮安）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则．30．（2019•宿迁）如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是．31．（2019•扬州）如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为．32．（2019•苏州）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号）．三．解答题（共13小题）33．（2020•常州）如图1，点在线段上，，，，．（1）点到直线的距离是；（2）固定，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段与交于点，当时，求的长．34．（2020•徐州）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．（1）在图①中，若，则的长为；（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．35．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场边的中点处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点处，爸爸到达点处，此时雕塑在小红的南偏东方向，爸爸在小红的北偏东方向，若小红到雕塑的距离，求小红与爸爸的距离．（结果精确到，参考数据：，，36．（2020•淮安）初步尝试（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为；思考说理（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；拓展延伸（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．37．（2020•南京）如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．38．（2020•南京）如图，在和△中，、分别是、上一点，．（1）当时，求证△．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．39．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．（参考数据：，，40．（2019•宿迁）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度．（1）如图②，当时，连接、．求证：；（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．41．（2019•苏州）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．（1）求证：；（2）若，，求的度数．42．（2019•宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为．（1）求坐垫到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．（结果精确到，参考数据：，，43．（2019•南京）如图①，在中，，，．求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在边上．小明的作法1．如图②，在边上取一点，过点作交于点．2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．44．（2019•泰州）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为．求：（1）观众区的水平宽度；（2）顶棚的处离地面的高度．，，结果精确到45．（2019•连云港）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．（1）求观察哨所与走私船所在的位置的距离；（2）若观察哨所发现走私船从处以16海里小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，

2018—2020年江苏省数学中考试题分类（14）——图形变换一．选择题（共24小题）1．（2020•镇江）如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是A． B． C． D．【解答】解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形，故选：．2．（2020•南通）以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：如图，点按逆时针方向旋转，得点所在的象限为第二象限．故选：．3．（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是A．圆柱 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：．4．（2020•盐城）下列图形中，属于中心对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：．此图形不是中心对称图形，不符合题意；．此图形是中心对称图形，符合题意；．此图形不是中心对称图形，不符合题意；．此图形不是中心对称图形，不符合题意；故选：．5．（2020•盐城）如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是A． B． C． D．【解答】解：观察图形可知，该几何体的俯视图是．故选：．6．（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：．7．（2020•淮安）下列几何体中，主视图为圆的是A． B． C． D．【解答】解：正方体的主视图为正方形，球的主视图为圆，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，故选：．8．（2020•淮安）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是A． B． C． D．【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是：．故选：．9．（2020•扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：、是轴对称图形，故本选项不合题意；、是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项符合题意；、是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：．10．（2020•连云港）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是A． B． C． D．【解答】解：从正面看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：．11．（2020•苏州）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是A． B． C． D．【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．故选：．12．（2020•苏州）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，且，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，，，，，，，，故选：．13．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为A． B． C． D．【解答】解：过作于，则四边形是矩形，，，，，，，故选：．14．（2020•无锡）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度A． B． C． D．【解答】解：方法一：如图，延长交于点，过点作于点，设，，，，，，，，，由翻折可知：，，，，，，，，，，，，，，，，，由翻折可知：，，是的角平分线，，，解得，．方法二：如图，过点作，由折叠可知：，，，，，，设，由折叠性质可知，，，，，，即解得，，，，在直角三角形中，，解得，．故选：．15．（2020•无锡）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【解答】解：①利用图象法可知，或通过计算可知的最大值为，的最小值为，所以，故①错误．②设，则，，当或时，与相似，即或，解得或或，当或或时，两三角形相似，故②正确③设，则四边形的面积，的最大值为，时，四边形的面积最大，最大值，故③正确，如图，作点关于的对称点，作，使得，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小．过点作交的延长线于，交于．由题意，，，，，，，四边形的周长的最小值，故④错误，故选：．16．（2020•无锡）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形【解答】解：、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：．17．（2019•常州）若△，相似比为，则与△的周长的比为A． B． C． D．【解答】解：△，相似比为，与△的周长的比为．故选：．18．（2019•苏州）如图，在中，点为边上的一点，且，．过点作，交于点．若，则的面积为A． B．4 C． D．8【解答】解：，，，，，，，，，即，，，，，故选：．19．（2019•宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是A． B． C． D．【解答】解：由勾股定理可得：底面圆的半径，则底面周长，底面半径，由图得，母线长，侧面面积．故选：．20．（2019•扬州）如图所示物体的左视图是A． B． C． D．【解答】解：左视图为：，故选：．21．（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是A． B． C． D．【解答】解：、是轴对称图形，故本选项错误；、不是轴对称图形，故本选项正确；、是轴对称图形，故本选项错误；、是轴对称图形，故本选项错误．故选：．22．（2018•泰州）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是A．正方体 B．四棱锥 C．圆柱 D．球【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．故选：．23．（2018•盐城）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是A． B． C． D．【解答】解：从左面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：．故选：．24．（2018•盐城）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；、是轴对称图形，不是中心对称图形；、是轴对称图形，不是中心对称图形；、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：．二．填空题（共8小题）25．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于．【解答】解：，，，，，，故答案为：．26．（2020•镇江）点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点至少旋转72后能与原来的图案互相重合．【解答】解：连接，，则这个图形至少旋转才能与原图象重合，．故答案为：72．27．（2019•徐州）如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为262．（参考数据：，，【解答】解：作于，则四边形为矩形，，在中，，则，在中，，，，则该建筑的高度为，故答案为：262．28．（2019•镇江）将边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则．（结果保留根号）【解答】解：四边形为正方形，，，边长为1的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点落在对角线上，，，为等腰直角三角形，．故答案为．29．（2019•淮安）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接，则．【解答】解：如图，连接，交于，由折叠可得，垂直平分，为的中点，又为的中点，是的中位线，，，又中，，，故答案为：．30．（2019•宿迁）如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是．【解答】解：如图，过点作，垂足为，，交于点在中，，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，当是锐角三角形时，点在上移动，此时．故答案为：．31．（2019•扬州）如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：由旋转的性质得：，四边形四边形，则图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积；故答案为：．32．（2019•苏州）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号）．【解答】解：如图，，含有角的直角三角板，，，，图中阴影部分的面积为：答：图中阴影部分的面积为．故答案为：．三．解答题（共13小题）33．（2020•常州）如图1，点在线段上，，，，．（1）点到直线的距离是1；（2）固定，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段与交于点，当时，求的长．【解答】解：（1）如图1中，作于，，，，．，，，，，在和中，，，，法二：，，，，，．故答案为1；（2）线段经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点落在上的点处．．故答案为．（3）如图2中，过点作于．设．在中，，，，，，，在中，，，在中，则有，解得或（不合题意舍弃），，，．34．（2020•徐州）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．（1）在图①中，若，则的长为；（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【解答】解：（1）点为线段的黄金分割点，，．故答案为：．（2）延长，交于点，四边形为正方形，，，由折叠的性质可知，，，，，，，，，．，即，，，是的黄金分割点；（3）当时，满足题意．理由如下：四边形是正方形，，，，，又，，，，，，，当、恰好分别是、的黄金分割点时，，，，，，，．35．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场边的中点处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点处，爸爸到达点处，此时雕塑在小红的南偏东方向，爸爸在小红的北偏东方向，若小红到雕塑的距离，求小红与爸爸的距离．（结果精确到，参考数据：，，【解答】解：过点作于，如图，则四边形是矩形，，四边形是矩形，，，是等腰直角三角形，，是的中点，，在中，，，；答：小红与爸爸的距离约为．36．（2020•淮安）初步尝试（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为；思考说理（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；拓展延伸（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．【解答】解：（1）如图①中，折叠，使点与点重合，折痕为，垂直平分线段，，，，，．故答案为．（2）如图②中，，，由题意垂直平分线段，，，，，，，，，，．（3）①如图③中，由折叠的性质可知，，，，，，，，，，，．②如图③中，，，，，，，，点在线段上运动，，，，．37．（2020•南京）如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．【解答】解：如图，过点作于点，在中，，，在中，，，，，解得，在中，，．答：轮船航行的距离约为．38．（2020•南京）如图，在和△中，、分别是、上一点，．（1）当时，求证△．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．【解答】（1）证明：，，，，△，，，△．故答案为：，．（2）如图，过点，分别作，，交于，交于．，，，同理，，，，，同理，，，即，，，，△，，，，同理，，，，△．39．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．（参考数据：，，【解答】解：（1）如图1中，连接．由题意，筒车每秒旋转，在中，．，（秒．答：经过27.4秒时间，盛水筒首次到达最高点．（2）如图2中，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时，，过点作于，在中，，，答：浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面．（3）如图3中，点在上，且与相切，当点在上时，此时点是切点，连接，则，在中，，，在中，，，，需要的时间为（秒，答：盛水筒从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线上．40．（2019•宿迁）如图①，在钝角中，，，点为边中点，点为边中点，将绕点逆时针方向旋转度．（1）如图②，当时，连接、．求证：；（2）如图③，直线、交于点．在旋转过程中，的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将从图①位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．【解答】解：（1）如图②中，由图①，点为边中点，点为边中点，，，，，，．（2）的大小不发生变化，．理由：如图③中，设交于点．，，，，，．（3）如图③中．设的中点为，连接，以为边向左边等边，连接，．以为圆心，为半径作，，，，点在上运动，以为圆心，为半径作，当直线与相切时，，，，，，，是等边三角形，，，，的长，观察图象可知，点的运动路程是的长的两倍．41．（2019•苏州）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【解答】（1）证明：，．将线段绕点旋转到的位置，．在与中，，，；（2）解：，，，．，，．42．（2019•宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意