（广西专用）2022版高中数学不等式的综合应用提能训练文新人教版

【全程复习方略】（广西专用）2022版高中数学不等式的综合应用课时提能训练文新人教版(45分钟100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.与不等式eq\f(x－3,2－x)≥0同解的不等式是()(A)(x－3)(2－x)≥0(B)lg(x－2)≤0(C)eq\f(2－x,x－3)≥0(D)(x－3)(2－x)>02.函数y＝(eq\f(1,2))的值域为()(A)[eq\f(1,2)，＋∞)(B)(－∞，eq\f(1,2)](C)(0，eq\f(1,2)](D)(0,2]3.(2022·玉林模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－a＝0，x∈R}，且A≠Ø，则实数a的取值范围是()(A)a≤1(B)a≤－1(C)a≥1(D)a≥－14.(预测题)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是()①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③5.(2022·北海模拟)如图，在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中，点A，B在直径上，点C，D在圆周上.设BC＝xcm，则ABCD面积最大时，x的值为()(A)30(B)15(C)15eq\r(2)(D)10eq\r(2)6.(易错题)在等差数列{an}中若其前n项的和为Sn＝eq\f(n,m)，前m项的和为Sm＝eq\f(m,n)，则S2m＋n的最小值为()(A)2(B)4(C)6(D)8二、填空题(每小题6分，共18分)7.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,x)，x>0，,\f(1,x)，x<0，))则f(x)>－1的解集为.8.(2022·南宁模拟)已知函数y＝(eq\f(1,2))x与y＝logax(a>0且a≠1)，两者的图象相交于点P(x0，y0)，如果x0≥2，那么a的取值范围是.9.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站公里处.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2022·桂林模拟)已知f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x＋t－2)，(a>0，a≠1，t∈R).(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值；(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围.11.(2022·防城港模拟)某单位计划建一长方体形状的仓库，底面如图，高度为定值.它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.设仓库正面的长为x米，两侧墙的长各为y米.(1)用x，y表示这个仓库的总造价t元；(2)若仓库底面面积S＝100平方米时，仓库的总造价t最少是多少元，此时正面铁栅的长应设计为多少米？【探究创新】(16分)已知f(x)在(－1,1)上有定义，f(eq\f(1,2))＝1，且满足x，y∈(－1,1)有f(x)－f(y)＝f(eq\f(x－y,1－xy))，对数列{xn}有x1＝eq\f(1,2)，xn＋1＝eq\f(2xn,1＋x\o\al(2,n))(n∈N*).(1)证明：f(x)在(－1,1)上为奇函数；(2)求f(xn)的表达式；(3)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*有eq\f(1,f(x1))＋eq\f(1,f(x2))＋…＋eq\f(1,f(xn))<eq\f(m－8,4)成立？若存在，求出m的最小值.答案解析1.【解析】选\f(x－3,2－x)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－3)(2－x)≥0,2－x≠0))⇔2<x≤3，lg(x－2)≤0⇔0＜x－2≤1⇔2<x≤3.2.【解析】选A.∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴(eq\f(1,2))≥eq\f(1,2).3.【解析】选≠Ø⇒方程x2＋2x－a＝0有实数解⇒22＋4a≥0，∴a≥－1.4.【解析】选A.由题意f(a)＝g(a)＞0，f(b)＝g(b)＞0，且f(a)＞f(b)，g(a)＞g(b)，∴f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(a)＋g(b)，而g(a)－g(－b)＝g(a)－g(b)，∴g(a)＋g(b)－[g(a)－g(b)]＝2g(b)＞0，∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)同理可证：f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a).5.【解析】选C.由BC＝x，则AB＝2eq\r(900－x2)(0<x<30).所以S＝2xeq\r(900－x2)＝2eq\r(x2(900－x2))≤x2＋(900－x2)＝900.当且仅当x2＝900－x2，即x＝15eq\r(2)时，S取最大值为900cm2.6.【解题指南】{an}为等差数列，则{eq\f(Sn,n)}为等差数列，可先求S2m＋n，再结合均值不等式求其最小值.【解析】选D.∵数列{an}为等差数列，∴{eq\f(Sn,n)}为等差数列，设数列{eq\f(Sn,n)}的公差为d，则d＝eq\f(\f(Sn,n)－\f(Sm,m),n－m)＝eq\f(\f(1,m)－\f(1,n),n－m)＝eq\f(1,mn)，∴eq\f(S2m＋n,2m＋n)＝eq\f(Sm,m)＋(m＋n)d＝eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)，∴S2m＋n＝(eq\f(1,m)＋eq\f(2,n))(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8.当且仅当n＝2m时等号成立，故答案选D.7.【解题指南】分别当x＞0和x＜0时解不等式f(x)>－1，再取并集.【解析】当x＞0时，f(x)>－1⇒lneq\f(1,x)>－1⇒eq\f(1,x)>eq\f(1,e)⇒0<x<e.当x＜0时，f(x)>－1⇒eq\f(1,x)>－1⇒x<－1.答案：{x|0<x<e或x<－1}8.【解题指南】先根据题意判断a的取值范围，再根据单调性构造不等式求解.【解析】因为函数y＝(eq\f(1,2))x与y＝logax(a>0且a≠1)，两者的图象相交于点P(x0，y0)，且x0≥2，所以a>1，又当x0＝2时，y＝(eq\f(1,2))＝eq\f(1,4)，所以loga2≤eq\f(1,4)，解得a≥16.答案：a≥169.【解析】由已知y1＝eq\f(20,x)；y2＝(x为仓库与车站的距离)；费用之和y＝y2＋y1＝＋eq\f(20,x)≥2eq\r·\f(20,x))＝8，当且仅当＝eq\f(20,x)即x＝5时“＝”成立.答案：5【方法技巧】不等式应用题的解题策略对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识解答其中的问题.10.【解析】(1)∵t＝4，F(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋2)－logax＝logaeq\f(4(x＋1)2,x)＝loga[4(x＋eq\f(1,x)＋2)]，令y＝x＋eq\f(1,x)，则y＝x＋eq\f(1,x)在x∈[1,2]单调递增，∴当a>1时，F(x)在x∈[1,2]也单调递增，∴F(x)min＝loga16＝2，解得a＝4，当0<a<1时，F(x)在x∈[1,2]上单调递减，∴F(x)min＝loga18＝2，解得a＝eq\r(18)＝3eq\r(2)(舍去)所以a＝4.(2)f(x)≥g(x)，即logax≥2loga(2x＋t－2)，∴logax≥loga(2x＋t－2)2，∵0<a<1，x∈[1,2]，∴x≤(2x＋t－2)2，∴eq\r(x)≤2x＋t－2，∴eq\r(x)－2x＋2≤t，依题意有(eq\r(x)－2x＋2)max≤t，而函数y＝eq\r(x)－2x＋2＝－2(eq\r(x)－eq\f(1,4))2＋eq\f(17,8)，因为x∈[1,2]，eq\r(x)∈[1，eq\r(2)]，ymax＝1，所以t≥1.11.【解析】(1)由题意得，仓库的总造价t＝40x＋45×2y＋20xy＝40x＋90y＋20xy.(2)仓库底面面积S＝xy＝100时，t＝40x＋45×2y＋20xy＝40x＋45×2y＋2000≥2eq\r(40x×90y)＋2000＝1200＋2000＝3200，当且仅当40x＝90y时，等号成立，又∵xy＝100，∴x＝15，y＝eq\f(20,3)时等号成立.仓库地面面积S＝100平方米时，仓库的总造价t最少是3200元，此时正面铁栅的长应设计为15米.【变式备选】已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润万元.为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴万元.据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工的1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－eq\f(81,100x))万元；当待岗员工人数x超过原有员工的1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利润5万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？【解析】设重组后，该企业年利润为y万元.∵2000×1%＝20，∴当0<x≤20且x∈N时，y＝(2000－x)＋1－eq\f(81,100x))－＝－5(x＋eq\f(324,x))＋9.∵x≤2000×5%，∴x≤100，∴当20<x≤100且x∈N时，y＝(2000－x)＋5)－＝－5x＋8919.∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5(x＋\f(324,x))＋9，(0<x≤20且x∈N),－5x＋8919，(20<x≤100且x∈N))).当0<x≤20时，有y＝－5(x＋eq\f(324,x))＋9≤－5×2eq\r(324)＋9＝8，当且仅当x＝eq\f(324,x)，即x＝18时取等号，此时y取得最大值8.当20<x≤100时，函数y＝－5x＋8919为减函数，所以y<－5×20＋8919＝8.综上所述，当x＝18时，y有最大值8万元.即要使企业年利润最大，应安排18名员工待岗.【探究创新】【解析】(1)当x＝y＝0时，f(0)＝0；令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)即f(y)＋f(－y)＝0，∴对任意的x∈(－1,1)，f(x)＋f(－x)＝0，故f(x)在(－1,1)上为奇函数.(2)∵{xn}满足x1＝eq\f(1,2)，xn＋1＝eq\f(2xn,1＋x\o\al(2,n))，∴0<xn<1.∵f(xn)－f(－xn)＝f[eq\f(xn－(－xn),1－xn(－xn))]＝f(eq\f(2xn,1＋x\o\al(2,n)))，f(x)在(－1,1)上为奇函数，∴f(xn＋1)＝2f(xn)；由f(eq\f(1,2))＝1，x1＝eq\f(1,2)，∴f(x1)＝1，从而f(xn)＝2n－1.(3)eq\f(1,f(x1))＋eq\f(1,f(x2))＋…＋eq\f(1,f(xn))＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1－