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文档简介

1第三节向量组的最大无关组与秩一、向量组的秩二、向量组的等价三、向量组的秩与矩阵秩的关系2一、向量组的秩一个向量组所含的向量个数最多的无关部分组有什么性质?问题定义2.3.1如果一个向量组Ω的一个部分组线性无关,并且向量组中的任意一个向量都可以由线性表出,则称为这个向量组的一个最大线性无关向量组,简称最大无关组.向量组Ω的最大无关组所含向量的个数r称为向量组Ω的秩,记作只含零向量的向量组没有最大无关组,并规定它的秩为0.3例1设向量组A:

1=[1,1,1]T,

2=[2,1,0]T,

3=[3,2,1]T求A的一个最大无关组解因

1,

2线性无关,

3=

1+

2

1,

2为A的一个最大无关组

1,

3和

2,

3也都是A的最大无关组例2n维单位坐标向量组ε1,ε2,…,εn是Rn的一个最大无关组因为向量组ε1,ε2,…,εn

线性无关而n+1个n维向量必然线性相关,Rn的任一个向量都可由ε1,ε2,…,εn

线性表出所以ε1,ε2,…,εn

为Rn的一个最大无关组例P93：例2.2.7向量组的最大无关组是什么？最大无关组唯一吗？不。7一个向量组的最大无关组与原向量组有什么关系?向量组最大无关组的四个基本问题

存在、唯一、个数、求法需要进一步讨论两个向量组之间的关系向量组最大无关组的几个问题8二、向量组的等价设有两个n维向量组A与B,如果向量组A的每个向量可由向量组B线性表出,则称向量组A可由向量组B线性表出,如果向量组A和向量组B可以互相线性表出,则称向量组A与向量组B是等价的,记为向量组A≌向量组B定义2.3.2从而11向量组A,B,C之间的等价具有下列性质(1)自反性AA

(2)对称性A

B=>B

A(3)传递性A

B,B

C=>A

C向量组的等价关系满足：13推论2.3.1向量组的任意两个最大无关组等价定理2.3.1向量组与它的任一最大无关组等价14定理2.3.2如果n维向量组

1,

2,

,

s可由n维向量组

1,

2,

,

t线性表出,并且s>t,则向量组

1,

2,

,

s必线性相关

如果向量组

1,

2,

,

s

可由向量组

1,

2,

,

t线性表出,并且

1,

2,

,

s线性无关,则s≤t推论2.3.215两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同推论2.3.3一个向量组的任意两个最大无关组所含向量的个数相同推论2.3.4推论2.3.5等价向量组的秩相等推论2.3.5的逆命题不成立16例3已知向量组

1,2可由向量组

1,2线性表示,即问这两个向量组是否等价?解已知由

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