安徽省淮南二中高一下学期第一次月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年安徽省淮南二中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题(共10小题，每小题4分)1．化简=（)A． B． C． D．2．已知，则在上的投影为（）A．﹣2 B．2 C． D．3．如果，是平面内所有向量的一组基底，那么（）A．该平面内存在一向量不能表示，其中m，n为实数B．若向量与共线，则存在唯一实数λ使得C．若实数m，n使得,则m=n=0D．对平面中的某一向量，存在两对以上的实数m，n使得4．在△ABC中,AB=，AC=1，B=,则△ABC的面积是(）A． B． C．或 D．或5．△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，满足a2+bc≤b2+c2,则角A的范围是(）A． B． C． D．6．若是夹角为的单位向量，且，,则=(）A．1 B．﹣4 C． D．7．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地C和D,测得红军的两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示,则红军这两支精锐部队间的距离是（）A． B． C． D．8．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（)A． B． C．1 D．39．在△ABC中，已知6•=2•=3•，则∠A=()A．30° B．45° C．120° D．135°10．定义两个平面向量的一种运算⨂=｜|•｜｜sinθ，其中θ表示两向量的夹角，则关于平面向量上述运算的以下结论中：①，②l（⨂）=（l）⨂,③若=l，则⨂=0,④若=l且l＞0，则（+）⨂=（⨂）+（⨂）．其中恒成立的个数是(）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（共4小题，每小题4分）11．已知|｜=6，｜｜=8，且|+|=|﹣|,求|﹣|．12．若平面向量，满足=1，平行于y轴，=（2，﹣1），则=．13．在△ABC中,角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状是．14．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，,若,则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是．三、解答题（12分+10分+10分+12分）15．已知向量=(1，），=（﹣2，0)．（1）求｜﹣｜；（2）求向量﹣与的夹角；（3）当t∈R时，求｜﹣t｜的取值范围．16．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别a，b，c，已知,,且∥(1）证明sinBsinC=sinA；（2）若a2+c2﹣b2=ac，求tanC．17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动,∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（1)若b﹣a=c﹣b=2．求c的值；（2）若c=，∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．（2)如图,在△ABC中，D是BC的中点,==，(i）若•=4，•=﹣1，求•的值；（ii)若P为AD上任一点，且•≥•恒成立，求证：2AC=BC．

2016—2017学年安徽省淮南二中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题4分)1．化简=（）A． B． C． D．【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】根据向量加法的混合运算及其几何意义即可求出．【解答】解：=（+）﹣(+）=﹣=,故选：D2．已知，则在上的投影为（）A．﹣2 B．2 C． D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据投影的定义在上的投影为．【解答】解:根据投影的定义可得:===2，故选：D3．如果，是平面内所有向量的一组基底，那么（）A．该平面内存在一向量不能表示，其中m，n为实数B．若向量与共线,则存在唯一实数λ使得C．若实数m,n使得，则m=n=0D．对平面中的某一向量,存在两对以上的实数m，n使得【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】A，根据平面向量的基本定理可判定；B，若向量=，，则λ不存在；C，∴不共线，时,当且仅当m=n=0．D，根据平面向量的基本定理可判定【解答】解：对于A，∵，是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量一定可以表示，其中m，n为实数，故A错；对于B,若向量=，，则λ不存在；对于C，∵,是平面内所有向量的一组基底，∴不共线，时，当且仅当m=n=0，故正确;对于D,根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量一定可以表示，其中m,n为唯一实数对，故错；故选：C4．在△ABC中，AB=，AC=1，B=，则△ABC的面积是（）A． B． C．或 D．或【考点】正弦定理．【分析】先由正弦定理求得sinC的值,进而求得C，根据三角形内角和求得A，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由正弦定理知=，∴sinC==,∴C=，A=,S=AB•ACsinA=或C=，A=，S=AB•ACsinA=．故选D5．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b,c，满足a2+bc≤b2+c2,则角A的范围是（）A． B． C． D．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可得cosA，结合A的范围，由余弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解:∵a2+bc≤b2+c2,可得：bc≤b2+c2﹣a2，∴cosA=≥=，∵A∈(0，π)，∴A∈（0，]．故选：B．6．若是夹角为的单位向量，且,,则=（）A．1 B．﹣4 C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】因为,，是夹角为的单位向量，代入后根据向量的数量积运算法则可得答案．【解答】解：∵,,是夹角为的单位向量∴=（2+）(﹣3+2）=﹣6+2+=﹣故选C．7．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地C和D，测得红军的两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）A． B． C． D．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先在△BCD中，求得BC的长,再求得AC的长,最后在△ABC中利用余弦定理，即可求得AB的长,即伊军这两支精锐部队的距离．【解答】解:在△BCD中,DC=,∠DBC=180°﹣30°﹣60°﹣45°=45°，∠BDC=30°,∴,∴BC=．在等边三角形ACD中，AC=AD=CD=，在△ABC中,AC=，BC=，∠ACB=45°∴AB==．故选A．8．如图,在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（)A． B． C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意，设=λ，将向量表示成向量、的一个线性组合,再结合题中向量的等式，建立关于m、λ的方程组,解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵，∴设=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=故选：A9．在△ABC中，已知6•=2•=3•，则∠A=（)A．30° B．45° C．120° D．135°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设△ABC的三边分别为a、b、c，由题意利用两个向量的数量积的定义可得6bc•cosA=﹣2ac•cosB=﹣3ab•cosC，再把余弦定理代入求得a2=5b2,c2=2b2，从而求得cosA=的值，进而求得A的值．【解答】解：设△ABC的三边分别为a、b、c，由已知6•=2•=3•，可得6bc•cosA=2ac•cos（π﹣B）=3ab•cos(π﹣C),即6bc•cosA=﹣2ac•cosB=﹣3ab•cosC．再利用余弦定理可得6bc•=﹣2ac•=﹣3ab•,化简可得a2=5b2，c2=2b2，∴cosA==﹣，故A=135°，故选：D．10．定义两个平面向量的一种运算⨂=｜｜•｜｜sinθ，其中θ表示两向量的夹角，则关于平面向量上述运算的以下结论中：①,②l（⨂）=（l）⨂，③若=l,则⨂=0，④若=l且l＞0，则（+）⨂=(⨂)+（⨂）．其中恒成立的个数是（)A．5 B．4 C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据由新定义，即可判断①；首先运用新定义，再当λ＜0时,即可判断②;由向量共线得到sinθ=0，即可判断③；先由向量共线，再由新定义，即可判断④．【解答】解：对于①⊗=｜|•|｜sinθ=⊗，故恒成立，对于②l(⨂)=l|｜•|｜sinθ，(l）⨂=｜l｜•｜｜•|｜sinθ，当l＜0时不成立,对于③若=l,则θ=0°或180°,则sinθ=0，故⨂=0，故成立对于④若=l且l＞0，设与的夹角为α，则与的夹角为α则+=（1+l），（+）⨂=（1+l）||•||•sinα,（⨂）+（⨂）=||•||•sinα+||•｜|•sinα=l｜|•｜｜•sinα+｜|•||•sinα=(1+l)｜｜•||•sinα，故成立,综上可知：只有①③④恒成立故选：C二、填空题（共4小题，每小题4分)11．已知｜|=6，｜|=8,且|+|=|﹣|，求｜﹣｜．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由｜+|=|﹣｜平方可得=0，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：由于｜+|=|﹣|，则（）2=（）2，即有=，即有=0，则|｜===10．12．若平面向量,满足=1，平行于y轴,=（2，﹣1）,则=(﹣2，0）或（﹣2，2)．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据共线向量的性质，以及向量模的坐标运算即可求出．【解答】解：设=(x，y)，平行于y轴，得出=（x+2，y﹣1）=(0，y﹣1）,解得x=﹣2又∵足=11，∴（y﹣1）2=1解得y=0，或y=2∴=（﹣2，2）或（﹣2，0)故答案为：(﹣2，2)(﹣2,0)13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b，c，若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA,则△ABC的形状是等腰或直角三角形．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA(sinB﹣sinA)=0，从而可得A=或B=A或B=π﹣A（舍去），即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中,∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA,C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA,∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A(舍去）,可得△ABC的形状是等腰或直角三角形．故答案为：等腰或直角三角形．14．△ABC的三个内角A,B，C的对边分别是a,b,c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形;④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C,,以上叙述正确的序号是①③④⑤．【考点】三角形中的几何计算．【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解:①若cosBcosC＞sinBsinC，则cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0，即﹣cosA＞0，cosA＜0,则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确．②若acosA=bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°,则△ABC为等腰三角形或直角三角形，错误；③,,则=tanA+tanB+tanC=(1﹣tanAtanB）tan(A+B)+tanC＞0tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan(A+B)⇒0＞tanAtanBtan(A+B）∴必有A+B＞，且A，B都为锐角∴C也必为锐角，∴△ABC为锐角三角形,正确，④O为△ABC的外心，•=•（﹣）=•﹣•，=|｜•|｜cos＜,＞﹣|｜•｜｜•cos＜，＞=||2﹣|｜2=（b2﹣c2），正确，⑤若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形，∴（﹣）•(﹣)=0，∴﹣•（+）+=0，∴=﹣2，∵﹣=+，∴2=2+2+2，∴52=2+2，即结论成立．故答案为①③④⑤．三、解答题(12分+10分+10分+12分）15．已知向量=（1，）,=（﹣2,0)．（1)求｜﹣｜;（2)求向量﹣与的夹角；(3）当t∈R时，求|﹣t｜的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由向量的加减运算和向量的模的公式，计算即可得到所求值;（2）求得（﹣）•=2﹣•=6，由向量的数量积的夹角公式，计算即可得到所求值;（3)运用向量的平方即为模的平方，化简可得关于t的二次函数，配方即可得到最小值，即可得到所求范围．【解答】解：（1)由向量=（1，），=(﹣2，0）,所以﹣=（1，)﹣（﹣2，0）=（3,）,｜﹣|==2;（2）由（﹣）•=2﹣•=4﹣（﹣2）=6，可得cos＜（﹣），＞===，由0≤＜（﹣)，＞≤π，所以向量﹣与的夹角为；（3）因为|﹣t｜2=2﹣2t•+t22=4t2+4t+4=4（t+）2+3，当t=﹣时，上式取得最小值3．所以当t∈R时，|﹣t|的取值范围是．16．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别a,b，c，已知，，且∥（1）证明sinBsinC=sinA；（2)若a2+c2﹣b2=ac，求tanC．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1)运用向量共线的坐标表示，结合正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理即可得证；(2）运用余弦定理和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1)证明:由,，且∥，可得=+，由正弦定理可得=+=1，即有sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，即为sin（B+C）=sinBsinC,则sinBsinC=sinA;（2）由（1)+=1,可得tanB+tanC=tanBtanC，由a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可得,cosB==•=,sinB==，可得tanB==,则tanC===．17．已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（1）若b﹣a=c﹣b=2．求c的值；（2）若c=，∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1)根据b﹣a=c﹣b=2．用c表示a，b,利用余弦定理即可求c的值；（2）根据正弦定理求出AC，BC的长度，即可求出周长的最大值．【解答】解：（1)∵b﹣a=c﹣b=2,∴b=c﹣2，a=b﹣2=c﹣4＞0，∴c＞4．∵∠MCN=π，∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosπ,即c2=（c﹣4）2+（c﹣2)2﹣2(c﹣4)(c﹣2）×（﹣），整理得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（2）在△ABC中，由正弦定理可得，即，则AC=2sinθ,BC=2sin（）．∴△ABC的周长f（θ）=｜AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin（）+=2sin()+．又∵θ∈(0，），∴＜＜π，∴当=，即θ=时,f（θ）取得最大值2+．18．（2)如图，在△ABC