第一次月考难点特训（二）与二次函数的实际应用有关的压轴题（含解析）

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第一次月考难点特训（二）与二次函数的实际应用有关的压轴题

1．某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．

(1)当时，y与x的函数关系式为．

(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？

(3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？

2．温州某店经销一种工艺品，已知这种工艺品单个成本50元．据调查，月销售量y（个）随销售单价x（元/个）的变化而变化，具体变化规律如下表所示：

销售单价x（元）……7075808590…

销售量y（个）……10090807060…

设该店销售这种工艺品的月销售利润为w（元）．

(1)若y是关于x的一次函数，求y与x之间的函数关系式，

(2)求当销售单价x为多少时，销售利润w的值最大？最大值是多少？

3．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90

售价(元/件)x＋4090

每天销量(件)200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

4．如图，在中，，cm，cm．点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，用S表示的面积，t表示移动的时间．

(1)求秒时，的面积；

(2)求S关于t的函数关系式，并求面积的最大值；

(3)当t为何值时，PQ的距离最短，并求这个最短距离．

5．某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量为y1（吨）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图1所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y2（吨）与时间t，t为整数，单位：天）的关系如图2所示．

（1）求y1与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围，并写出y2与t的函数关系式及自变量t的取值范围；

（2）设国内、国外市场的日销售总量为y吨，直接写出y与时间t的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨？

（3）判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．

6．星光公司出资150万元引进一台新设备，若不计维修保养费用，投入生产后每月可创收33万元，投入生产后从第一个月到第x月的维修保养费用累计为y（万元），且，若将创收扣除出资和维修保养费用，成为该新设备的纯收益w（万元），w也是关于x的二次函数．

(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y与x的解析式；

(2)求纯收益w关于x的解析式；

(3)问新设备投入生产第几个月后，纯收益达到最大几个月后，能收回出资

7．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下出资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）

8．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

9．“杭州丝绸”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的丝巾，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)如果规定每天丝巾的销售量不低于230件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2800元，试确定丝巾销售单价的范围．

10．东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：

卖出价格x（元/件）50515253…

销售量p（件）500490480470…

(1)以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；

(2)如果这种运动服的买入价为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式（销售利润销售收入买入支出）；

(3)在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？

11．某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．

12．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，（x为整数）月销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．

(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？

(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？

(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？

13．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．

(1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；

(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；

(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

14．为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为的篱笆围成如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．

(1)求的值；

(2)设的长为，矩形区域的面积为，求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

(3)在（2）的条件下，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

15．我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．

（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？

（2）试确定月销售量（台）与售价（元/台）之间的函数关系式，并求出售价的范围．

（3）当售价（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？

参考答案：

1．(1)

(2)18000元

(3)x为190或200时，w最大，最大值是3800元

【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据图象利用待定系数法求解析式即可；

（2）根据（1）求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可；

（3）分类讨论①当时和②当时，结合利润=销售量×（售价成本）列出w与x的函数关系即可得出答案．

【详解】（1）当时，设y与x的函数关系式为，根据题意得出：

，

解得：，

∴y与x的函数关系式为：，

故答案为：；

（2）当时，，

∴（元），

答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；

（3）分两种情况：

①当时，

，

∵批发件数x为10的正整数倍，

∴当或200时，w有最大值是：；

②当时，，

当时，w有最大值是：，

∴一次性批发A品牌服装x（）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．

【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利润=销售量×（售价成本）列出w与x的函数关系式是解答本题的关键．

2．(1)

(2)当销售单价x为85时，销售利润w的值最大，最大值是2450

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；

（2）根据：“总利润等于每件工艺品乘以销售量”列出函数关系式，配方可得其最值情况．

【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，

将代入得：

，解得：，

∴y与x之间的函数关系式为；

（2）解：根据题意得，

，

当时，w有最大值，最大值为2450；

答：当销售单价x为85时，销售利润w的值最大，最大值是2450．

【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用能力及待定系数求一次函数解析式，根据题意准确抓住相等关系列出函数关系式是解题的关键．

3．(1)y＝；(2)该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．

【分析】（1）分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利润=每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；

（2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大值即可．

【详解】（1）当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；

当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000．

∴y＝

（2）当1≤x＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x＝45，

∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；

当50≤x≤90时，一次函数y随x的增大而减小，

∴当x＝50时，y最大＝6000．

∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．

【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据函数的增减性确定最值是解题的关键.

4．(1)5cm2

(2)，最大值cm2

(3)当时，PQ的最小值为cm

【分析】（1）根据三角形面积公式代入数据即可得出结论；

（2）根据三角形面积公式代入数据，再利用二次函数的性质即可得出结论；

（3）根据勾股定理及二次函数的性质即可得到结论．

【详解】（1）解：，

，，

，

．

（2）解：，

，

最大值．

（3）解：，

当时，PQ的最小值为cm．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，根据已知求出，是解题的关键．

5．（1）y1=-t2+6t，（0≤t≤30），t为整数；y2=；t为整数

（2）15天；

（3）上市第20天国内、国外市场的日销售总量y最大为80吨．

【详解】试题分析：（1）根据图象给出的数据，利用待定系数法求出函数解析式；

（2）根据题意得到y与时间t的函数关系式，把y=75代入关系式，解关于t的一元二次方程得到答案；

（3）根据二次函数的性质分别求出函数的最大值，比较得到答案．

试题解析：（1）设函数关系式y1=at2+bt，

由题意得，，

解得，

∴y1=-t2+6t，（0≤t≤30），t为整数

设y2=kt+b，

当0≤t＜20时，y2=2t，

当20≤t≤30时，，

解得，

∴y2=；t为整数

（2）由y=y1+y2可知，

y=，

由图象可知，销售20天，y=80，

∴y=75时，t＜20，

∴-t2+8t=75，

解得，t1=15，t2=25（舍去）

∴销售第15天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨；

（3）当0≤t＜20时，y=-t2+8t=-（t-20）2+80，

∵t为整数，

∴当t=19时，y最大值为79．8吨，

当20≤t≤30时，y=-t2+2t+120=-（t-5）2+125，

∵y随x增大而减小，

∴当t=20时，y最大值为80吨．

上市第20天国内、国外市场的日销售总量y最大为80吨．

考点：二次函数的应用．

6．(1)

(2)

(3)投入生产第6个月后，纯收益达到最大w最大值；投入生产第6个月后，能收回出资．

【分析】（1）将x，y的两组对应值代入即可求a、b的值，继而即可求y的函数关系式；

（2）根据纯收益w＝投入后每月可创收33万元×月数x﹣出资150万元﹣从第1个月到第x个月的维修保养费用累计y，列出函数关系式；

（3）求函数最大值，及w＞0时，x的值，可确定回收出资的月份．

【详解】（1）由题意，得：当时，；

当时，，

将上述两组数据代入，得：

，

解得：，

∴y与x的解析式为：；

（2）由题意得：

∴纯收益w关于x的解析式为：；

（3）∵，

∴当时，w最大值，

即投入生产第6个月后，纯收益达到最大，

又∵当，w随x的增大而增大，

当时，；当时，，

∴投入生产第6个月后，能收回出资．

【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

7．（1）35元

（2）销售单价应定为30元或40元

（3）3600元

【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价）销售量，从而列出关系式；

（2）令，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；

（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．

【详解】解：（1）由题意，得：，

，

，

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．

（2）由题意，得：，

解这个方程得：，，

答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．

（3），

抛物线开口向下，

当时，，

，

当时，，

设成本为（元，由题意，得：，

，

随的增大而减小，

当时，，

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，解题的关键是还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．

8．（1）y=﹣20x+1600；

（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）超市每天至少销售粽子440盒．

【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．

【详解】解：（1）由题意得，==；

（2）P===，

∵x≥45，a=﹣20＜0，

∴当x=60时，P最大值=8000元，

即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得=6000，

解得，，

∵抛物线P=的开口向下，

∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，

又∵x≤58，

∴50≤x≤58，

∵在中，＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．

【点睛】考点：二次函数的应用．

9．(1)v

(2)当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元

(3)当时，捐款后每天剩余利润不低于元

【分析】（1）可用待定系数法来确定与之间的函数关系式；

（2）根据利润销售量单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

（3）首先得出与的函数关系式，进而利用所获利润等于元时，对应的值，根据增减性，求出的取值范围．

【详解】（1）由题意得：．

故与之间的函数关系式为：，

（2）由题意，得

，

解得，

∴，

设利润为，

，

∵，

∴时，w随x的增大而增大，

∴时，，

答：当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是元；

（3）捐款后每天剩余利润，

依题意得：

，

，

解得：，，

如图所示，由图象得：

∴当时，捐款后每天剩余利润不低于元．

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．

10．(1)；

(2)；

(3)当卖出价为70时，能获得最大利润

【分析】（1）根据描点易知是一次函数关系，由其中两点利用待定系数法可求关系式；

（2）根据利润的计算方法求关系式；

（3）运用函数的性质求最值．

【详解】（1）解：描点如下：

由图象可知p与x成一次函数关系．

设函数关系式为，则：，

解得：，

∴；

（2）解：依题意得：，

∴；

（3）解：由可知，

当时，y有最大值，最大值为9000元．

答：当卖出价为70时，能获得最大利润．

【点睛】此题考查了一次函数及二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及依据销售问题中利润的相等关系是列函数解析式解题的关键．

11．（1）5（2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．

【详解】试题分析：（1）由题意可设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，根据题中的不等量关系可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；

（2）按常规可设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式，整理成顶点式形式，然后根据二次函数的性质求出最大值即可．

试题解析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，

由题意得，，

解不等式①得，x≥11，

解不等式②得，x≤15，

所以，不等式组的解集是11≤x≤15，

∵x为正整数，

∴x可取的值为11、12、13、14、15，

所以，该商家共有5种进货方案；

（2）设总利润为W元，

y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，

=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），

=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，

=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

当x＞9时，W随x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），

答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．

考点：1、一元一次不等式组的应用；2、二次函数的应用

12．(1)，x的取值范围为（x为整数）

(2)32元

(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元

(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元

【分析】（1）每件玩具的销售单价上涨x元时，单件利润为元，销量为件，根据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；

（2）令，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；

（3）结合（2）中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；

（4）将化为顶点式，结合x的取值范围即可求出y的最大值．

【详解】（1）解：依题意得：

，

每件首饰售价不能高于40元，

，

（x为整数）．

因此y与x的函数关系式为，x的取值范围为，且x为整数；

（2）解：当时，，

整理得，

解得，，

，

，

当时，．

即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；

（3）解：如图，

由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元，

对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，

每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．

（4）解：，

．

，，且x取正整数，

当或7时，y取最大值，，

每件玩具的售价定为：（元）或（元）．

即每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元．

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据“总利润单件利润销量”列出y与x的函数关系式．

13．（1）；（2）；（3）最多获利4480元

【分析】（1）销售量y为200件加增加的件数（80﹣x）×20；

（2）利润w等于单件利润×销售量y件，即W=（x﹣60）（﹣20x+1800），整理即可；

（3）先利用二次函数的性质得到w=﹣20x2+3000x﹣108000的对称轴为x=75，而﹣20x+1800≥240，x≤78，得76≤x≤78，根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．

【详解】（1）根据题意得，y=200+（80﹣x）×20=﹣20x+1800，

所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=﹣20x+1800（60≤x≤80）；

（2）W=（x﹣60）y=（x﹣60）（﹣20x+1800）=﹣20x2+3000x﹣108000，

所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：

W=﹣20x2+3000x﹣108000；

（3）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，

w=﹣20x2+3000x﹣108000，对称轴为x