数学建模：麻疯树施肥效果分析

麻疯树施肥效果分析模型摘要本文以概率论与数理统计为理论基础，综合运用方差分析、判别分析和区间估计的一般原理，建立数学模型，利用统计数据，研究了对麻疯树的施肥效果，以及对未知样地植株归属的判别，具有很高的实用意义。对于问题（1）,首先根据个体构件的调查数据，考虑到萌发枝对生殖次数的影响，将麻疯树枝按起源分为两类，然后借助于SAS软件分别对萌发枝和非萌发枝的枝径、枝长和生殖次数，以施肥与否为因素，进行单因素方差分析，从而判定施肥对植株具有显著影响。最后以施肥与未施肥的枝径或枝长的长度均值之差代表其增长量，采用区间估计的方法，给出置信度为95%的置信区间分别为：非萌生枝，施肥后枝径的变化范围为［—0.421》0.2加3枝长的变化范围为［-17.532—,6.1301施肥后萌生枝枝径的变化范围为［-0.3639,0.0249］，枝长变化不显著。对于问题（2），通过对开花座果调查表进行适当的数据处理，利用Fisher判别分析法，对两类植株的方位、果实数和果实物候等指标进行判别分析，利用SPSS软件确定出判别函数，并得出正确率。之后，本文对该方法进行改进，借助于逐步判别分析将正确率提高到100%，重新对两未知植株的归属给予判定，最终确定出植株11属于施肥样地，植株22属于未施肥样地。对于问题（3），在第二问的基础上，首先利用SAS软件，对施肥与未施肥植株果实总数进行单因素方差分析，得出施肥对果实产量有明显影响的结论。然后,以未施肥与施肥株产量均值之差为增长量，应用区间估计的方法，对果实产量的变化进行了定量描述，给出置信度为95%的每株果实产量变化区间为［-31.11,12.51］，并且总体趋势为增多。关键词：方差分析逐步判别分析区间估计SAS软件SPSS软件1■问题重述麻疯树被公认为是目前最具开发潜力的生物柴油树种，在西南地区具有资源优势和发展潜力，目前，四川已成为了全国规模最大的麻疯树资源分布地区，据最新调查统计，麻疯树资源发展面积达30万亩以上，主要集中在四川省的攀西地区。但目前麻疯树生物柴油产业化发展仍存在一些技术关键问题-一稳产、高产问题。对麻疯树配方施肥试验的研究，是麻疯树果实（种子）产量高产、稳产问题中一个重要的技术问题。现以四川攀西地区的某地的硼肥喷施实验结果（见附表）为基础：问题（1）：利用个体构件调查表的数据，通过对施肥样地和未施肥样地的数据的对比分析，请你判断对样地的施肥的效果有无明显的改善。若有改善，请给出施肥对枝长或者枝径增长值的定量数据结果。问题（2）：在对开花座果情况进行调查数据时，明确知道已施肥和未施肥的各有9株，另外两株（编号为11,22）由于实验人员的疏漏，不清楚是否施肥。请对这两株未知样地判别其归属。问题（3）：在问题（2）的基础上，利用开花座果调查表的全部数据，分析施肥对麻疯树果实产量有无明显的影响？若有，试建立相应的数学模型并给出定量的数据结果。2■问题分析2.1问题（1）的分析该问题要求根据个体构件调查表的数据，对比分析施肥样地和未施肥样地的数据，判断施肥效果是否明显，以及施肥对枝长或枝径增长值的定量数据结果。首先，我们欲判断对样地的施肥效果是否明显，即需要判断分析施肥样地与未施肥样地麻疯树的枝长、枝径、生殖次数等指标是否有显著性差别，对于研究一个变量对多个因变量影响的一类问题，我们可以采用单因素方差分析的方法。观察个体构件调查表的数据，不难发现，麻疯树枝的起源，即为萌发枝与否，对植株的生殖次数有明显的影响，因此，首先需要将麻疯树枝根据起源进行分类,分为萌发枝和非萌发枝。然后，可以利用SAS软件分别对于萌发枝和非萌发枝的枝径、枝长和生殖次数进行单因素方差分析，根据P值和F值的结果来判定施肥因素对三个指标的影响是否显著，从而判定对样地施肥的效果是否明显。在此基础上，需要给出施肥对枝长或枝径增长量的定量描述，可以采用区间估计的方法,以施肥与未施肥的枝长（或枝径）长度均值之差来表示增长值，从而给出95%置信度下的区间估计。2.2问题（2）的分析在开花座果情况的调查表中，已知施肥和未施肥的麻疯树各有9株,由于第5组之后的雄花和雌花的数据未加统计，并且鉴于雄花在授粉中与雌花的关系并非对应，即各植株之间可以交叉授粉，而且在给定的数据中施肥样地和未施肥样地的雌花的数量相差很小，通过SAS软件对雄花和雌花的方差分析，我们可以排除雄花和雌花在判别植株施肥与否的作用，从而将这两个指标剔除。之后，可以根据每株的头茬、二茬和三茬的结果数，结合方位，果实物候等变量，利用SPSS进行判别分析，确定出相应的判别函数，再将未知样地两株的相应数据带入判别函数，从而判定两植株的归属。考虑到判别分析中，多个指标之间可能会有相关性的影响，一些特异性不强的变量可能会干扰最终的判别结果，为了提高判别结果的正确率，我们将判别分析法进行改进，采用逐步判别分析法，将判别性弱的因素剔除，使得分类函数中的变量都是对判别结果的贡献最大的因素。借助于SPSS软件，通过逐步判别分析得到相应的判别函数，重新进行判定，得到两株未知样地植株的归属。2.3问题（3）的分析该问题要求在问题（2）的基础上，利用已判别的两株和已知施肥或未施肥的九株的全部数据，分析施肥对麻疯树果实产量的影响。思路与第问题（1）类似，首先将施肥与未施肥样地的三茬麻疯树果实相加，求得总结果数，再借助于SAS软件进行单因素方差分析，判定施肥对麻疯树果实产量是否有显著影响。对于施肥后果实产量的变化，可以利用问题（1）中的区间估计的方法，给出相应的定量描述。模型假设（1）假设所有试验植株的最初性状无差别；（2）假设植株生长过程相互独立；（3）忽略除施肥以外因素对两组植株生长造成的差异；（3）假设个体构件表和开花座果表是无关联的；（4）假设题目中所有数据正确可用。符号说明卩表示所有数据的总均值；卩表示施肥或未施肥组的均值；a'表示施肥或未施肥组的均值与总体均值的差；表示随机误差项，£N（0,Q2）；yj（x）表示第i个线性判别函数；iX表示未知样地植株11；x表示未知样地植株22；22其他符号在文中出现时给出具体说明模型建立与求解5.1问题（1）施肥效果的鉴定及定量描述5.1.1施肥效果的鉴定麻疯树枝的分类根据个体构件调查表的数据，可以观察发现，起源为萌生枝的麻疯树枝的生殖次数明显低于非萌生枝的，又根据生物学知识，侧枝萌生会抑制结果，即萌生枝的生殖次数减少，因此我们将麻疯树枝按照萌生与否分为两类。方差分析条件检验由于该问题研究的是，施肥的效果对样地的植株的生长情况是否有明显改善，属于一个因素对多个指标的影响问题，符合单因素方差分析的研究范围。因ii=1为方差有相应的适用条件，即以下三个基本假设：•在各个总体中因变量都服从正态分布；•在各个总体中因变量的方差都相等；•各个观测值之间是相互独立的。为验证样地各指标的总体是否符合以上条件，需要做如下检验：（1）正态性检验本文利用SPSS（其他指标同理，限于篇幅，以下只给出萌生枝径的结果）绘制Q―Q图，如下：NormalQ-QPlotof施肥样地的萌生枝径0.511110.51.01.52.02.53.0ObservedValue图5-1Q—Q检验由上图可以看出，图中的点都在直线附近，可见萌生枝径的总体符合正态分布，满足方差分析的第一个基本假设条件。（2）方差齐性检验检验假设H:o2=o2==o2，r=1,2012ri记S2X(n—1)S*2rn—riii=i其中：S*2二丄X(j-Q)2,二1XJin—rijiinijj二ij二ii己：Q=(n—r)InS2—X(n—1)InS*2rii113（r-1）构造Bartlett统计量：B=2.3026h根据个体构件调查数据，得到B的观测值b。利用SAS程序（见附录2）,得到方差齐性的检验结果为：b<X2（r-1），则接受H，认为r个正态总体的方差都相等，满足方差分1-ao析的第二个基本假设。对样地施肥效果的单因素方差分析由于萌发枝对生殖次数的影响很大，因此将麻疯树枝按起源分为萌发枝和非萌发枝，分别对两组的枝径、枝长和生殖次数进行方差分析（程序见附录2）。在单因素方差分析过程中，样本数据包含了三部分的影响因素：总体平均水平的影响；因素水平的影响；随机因素的影响。单因素方差分析模型可以写成公式：ijijiij其中，i=1,2，表示施肥或未施肥；j=1,2,,m，表示在同因素水平下不同的观测值；卩表示所有数据的总均值；卩表示施肥或未施肥组的均值；ia表示施肥或未施肥组的均值与总体均值的差；ig表示随机误差项，£□N（0,Q2）。ijij总异差平方和SST可分解为两个部分，即误差平方和（组内误差）及条件平方和（组间平方和），计算公式为：SST=为为（x—X）2ij心1j二1SSA二为为（X-X）2□ji二1j二1SSE=为为（x—X）2ij□ji-1j二1SST=SSA+SSESST、SSA、SSE的自由度不同，对于SST来说，因为它只有一个约束条件，即工工（x-X）=0，在n个x中有n-1个自由取值，因此其自由度为n-1；对于SSA来说，其约束条件为Zm（X-X）=0，因而在X,X,,X这m个变量中i12m只有m-1个是可以自由取值的，SSA的自由度为有以下关系：—1=(m—1)+(n一SSA、SSE分别除以它们的自由度就可以得到组间和组内均方MSA和MSE。SSAMSA=-m—1SSEMSE=一m一1可以证明，E（MSE）=b2，而e（MSA）=g2+Z（p—p,）2。因此，当卩m—1i=1都相等（原假设成立）时MSA与MSE都是对模型中随机误差项的无偏估计。pi之间的差异越大，MSA的期望值MSE的期望值的比值就越大。则在原假设成立的条件下，MSA与MSE的比值服从自由度为m-1和n-1的F分布。因此我们可以设定一个显著性水平a，通过这个检验统计量的分析做出接受或拒绝原假设的决策。上述计算过程一般用方差分析表来表示，最终得到的各指标的方差分析表如下：MSAF=-MSE结果说明：若p值＜0.05,则为极显著；若0.05＜p值＜0.1，则为显著；若p值＞0.1，则为不显著。表5-1萌生枝径方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间0.874810.87482.970.0872组内35.29801200.2942总变异36.1728121表5-2非萌生枝径方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间7.183017.183041.60<0.0001组内48.17122790.1727总变异55.3542280

由上表可以看出，硼肥对萌生枝径的影响显著，P值为0.0872^(0.05,0.1)硼肥对非萌生枝径的影响极显著，P值<0.0001G(0,0.05)。说明施肥样地的效果在萌生枝径和非萌生枝径上都表现明显。表5-3萌生枝长方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间681.271681.270.600.4415组内137090.661201142.42总变异137771.93121表5-4非明生枝长方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间9767.6619767.6617.46<0.0001组内156081.88279559.43总变异165849.54280由上表可以看出，硼肥对萌生枝长的影响不显著，P值为0.4415^(0.1,1)，这是由于萌生枝本身具有很强的增生能力，拥有侧枝萌生优势，硼肥对其有一定影响但表现不如非萌生枝显著；硼肥对非萌生枝径的影响极显著，P值<0.0001G(0,0.05)，这是由于非萌生枝的自身增生能力不强，结果能力较强，因此硼肥对其枝长的影响十分明显。说明施肥样地的效果在非萌生枝长上表现明显。表5-5萌生枝的生殖次数方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间3.720313.720310.830.0013组内41.23871200.3437总变异44.9590121表5-6非萌生枝的生殖次数方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间2.468612.46863.290.0706组内209.092790.7494总变异211.56280由上表可以看出，硼肥对萌生枝的生殖次数的影响极显著，P值为0.0013e(0,0.05)，，这是由于萌生枝本身的增生能力很强，但结果生殖能力被侧枝优势抑制，虽然硼肥对其枝长的影响表现不显著，但对其生殖结果有明显影响;硼肥对非萌生生殖次数的影响显著，P值为0.0706e(0.05,0.1)，这是由于非萌生枝的结果能力较萌生枝强，因此硼肥对其生殖次数的影响不如萌生枝显著，但最终效果仍然很明显。说明施肥样地的效果在萌生枝和非萌生枝生殖次数上表现明显，有良好改善。综上所述，鉴于施肥对枝径、枝长、生殖次数的指标基本都有显著或较显

著的影响，判定对样地施肥的效果有明显改善。5.1.2施肥效果的定量描述施肥对枝径，枝长增长值的定量分析：根据表中所给施肥与未施肥的枝径、枝长的数据，我们分别用两者的均值之差来表示施肥对其的定量影响。1.两个总体均值之差的区间估计由问题（1）分析可知，施肥与未施肥的枝径（或枝长）长度均服从正态分布’可记为：n（卩Q2），N（卩Q2）。1122设给定的置信度为1—a，并设X,X,…,X为第一个总体（施肥的枝径或枝（未施肥的枝径或枝长的长度）的12（未施肥的枝径或枝长的长度）的长的长度）的样本，Y,Y,..・,Y为第二个总体12n样本，X,Y分别为第一，第二个样本的均值,S样本，X,Y分别为第一，第二个样本的均值,S2,S2分别是第一，第二个样本的12方差。因为X,F分别为的无偏估计,2所以X-Y是卩-卩的无偏估计，由12可知厂O可知厂O2、Ny,r1nVn1丿G2)—2n丿2丿G2G2、G2G2、_P,—+-22nn.12丿，或(X—Y)—5厂卩2)口N(0,1)O2O2L+2-nn12因此卩—y的一个置信度为1—a的近似置信区间为:12由于n,n均大于50，可按大样本处理，则可用S,S近似代替o2,o2，即:121212y=S2L(X—X)2TOC\o"1-5"\h\z11n—1'1i-1y=S2E(X—X)222n—1i2i二1因此卩—卩的一个置信度为1—a的近似置信区间可写为:12

SS2S2+—2nn12其中，a=0.05，z=1.96根据表中所给数据,2.施肥对枝径影响的定量分析:分别筛选出施肥和未施肥的非萌生枝枝径的长度X,Y，根据表中所给数据,由以上过程计算得:X=1.3799,Y=1.7008S2=0.1101,S2=0.246512置信下限为:■S2S2置信下限为:1+广=-0.4215nn12置信上限为:S2S21+厂=0.2203置信上限为:nn12所以，施肥与未施肥的非萌生枝枝径的平均长度之差的95%的置信区间为:［-0.4215,—0.2203］。同理，可得施肥与未施肥的萌生枝枝径的平均长度之差的95%的置信区间为：［—0.3639,0.0249］由以上分析可知：施肥对枝径的增长总体上有抑制作用。在95%的置信区间下：对非萌生枝而言，施肥后枝径的变化范围为［—0.4215,-0.2203］。对萌生枝而言，施肥后枝径的变化范围为：［—0.3639,0.0249］。3.施肥对枝长影响的定量分析由问题（1）中的分析可知，施肥对萌生枝枝长的影响不显著，对非萌生枝枝长影响显著，所以，我们只考虑施肥对非萌生枝枝长的定量影响。根据表中所给数据，筛选出施肥和未施肥的非萌生枝枝长的长度，利用均值之差的区间估计可得：施肥与未施肥的非萌生枝枝长的平均长度之差的95%的置信区间为：—17.5325,—6.1301］所以，施肥对非萌生枝的枝长具有抑制作用，在95%的置信区间下，施肥后非萌生枝的枝长的变化范围为：［—17.5325,-6.1301］。

5.2问题(2)判断未知样地植株归属数据处理在开花座果情况的调查表中，已知施肥和未施肥的麻疯树各有9株，由于第5组之后的雄花和雌花的数据未加统计，我们需要对数据进行加工处理。首先，对于雄花和雌花，验证施肥对其是否影响，对施肥和未施肥样地的前四组相应数据进行方差分析，结果如下表：表5-7雄花数量的方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间1123.6011123.600.840.3655组内50896.30381339.38总变异52019.9039表5-8雌花数量的方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间3.02513.0250.350.5578组内328.750388.651总变异331.77539由上表可知，雄花和雌花数量的p值均大于0.1,即施肥对雄花和雌花数量的影响不显著。因此无法从雄花和雌花的数量直接判定某植株是否施肥，可以将雄花和雌花的数据剔除。5.2.1费歇尔(Fisher)判别分析由Fisher的思想：不同总体由Fisher的思想：不同总体A、B的投影应尽量分散，艮卩max(y一y)2；而b…，2n和，)a…，2n和，)aaia2bib构造统计量:min(y—y)2(i=1,2,2bib构造统计量:(y(y-y)2=ab乙(y-y)2+乙(y-y)2aiabibi=1i=1只要F取最大值就满足Fisher准则要求。根据开花座果调查表，首先将施肥和未施肥两类每株按照方位，头茬、二茬、三茬，皱数、圆数、黄数、干数的顺序依次横向排列，利用SPSS软件的Analyze中的DiscriminantAnalysis过程，进行判别分析，得到相应的判别函数系数如下表5-9：则相应的判别函数为:表5-9判别函数的变量系数CanonicalDiscriminantFunctionCoefficients1头茬.5132二茬-.1003三茬.2674皱数则相应的判别函数为:表5-9判别函数的变量系数CanonicalDiscriminantFunctionCoefficients1头茬.5132二茬-.1003三茬.2674皱数-.3605圆数-.4246黄数.1918头茬-2.1069二茬-.03711皱数2.16212圆数1.90013黄数1.53815头茬-.22220黄数1.35727黄数-.591(Constant)1836-Function1Unstandardizedcoefficientsy=0.513x一0.100x+0.267x一0.360x一0.424x+0.191x123456一2.106x一0.037x+2.162x+1.900x+1.538891112x一0.22213x15+1.357x一0.591x2027判别规则如下：设y(x)为第i个线性判别函数,id(x,G)11kd(x,G)22k则d(x,G)11td(x,G)22t(1,未施肥样地其中，k=\[2,施肥样地=乙(y(x)-y(x))2i11i;ki二1二乙(y(x)-y(x))2k=1,2i22iki二1二mind(x,G)xGG11k11t1<j<k二mind(x,G)xGG221<j<kk22tx表示未知样地植株11；11x表示未知样地植株22；22x,x数据结果如附表-1所示。12表5-10正确率验证表ClassificationResultsa组别PredicteMembdGroupership100200OriginalCount1.002.00811899%1.002.0088.911111.1889100.01000a.88.9%oforiginalgroupedcasescorrectlyclassified.由上表可知，判别分析结果的正确率为88.9%。则将未知样地的植株相应数据代入判别函数得到y值：d(x,G)=Z(y(x)—y(X))2=2.1128TOC\o"1-5"\h\z111i11i1i二1d(x,G)=Z(y(x)—y(X))2=2.0332112i11i2i二1d(x,G)=Z(y(x)—y(x))2=8.7471221i22i1i二1d(x,G)=Z(y(x)—y(I))2=0.0061222i22i2i二1贝I」d(x,G)=mind(x,G)=2.0332xeG1121.j“11k112d(x,G)=mind(x,G)=0.0061xeG22,22k2221<j<k经判别分析判定未知样地的植株11,22都属于施肥样地的植株。5.2.2对判别分析的改进逐步判别分析在判别分析中，如果使用过多的变量，在建立判别方程时会增加计算量，但主要影响还在于，由于变量的增加而在变量间产生相关性，正如麻疯树各指标之间可能具有相关性，因此可能导致计算时的精度下降，甚至病态、退化，引起判别方程不稳定，判别效果差，判别分析所得的准确率为88.9%，并不是很高。为此，有必要在麻疯树的未知样地的判别分析中引进逐步判别的思想，这样可以提高判别分析的质量。另一方面，解释变量的特异性越强，则判别能力也越强，在麻疯树枝指标中，有些指标的判别能力强，有些指标的判别能力弱，这些指标被引入分类函数，削弱了判别效果。因此，我们希望能够通过某种方法，既不遗漏有显著判别能力的变量，又能够排除判别能力弱的变量。而逐步判别分析可以达到以上目标，可以挑选对判别有重要贡献的变量，从而建立分类函数。对于检验分类函数中的变量是否重要，可以使用F值来筛选。利用SPSS软件DiscriminantAnalysis中的利用SPSS软件Discriminant步判别分析，其中UseFvalue下的Removal设直为1。得到的相应变量的判别函数系数如下表5-11表5-11判别函数的变量系数CanonicalDiscriminantFunctionCoefficientsFunction12二茬-.6318头茬-2.99911皱数2.22012圆数4.06414干数26.52015头茬2.75720黄数-15.20621干数-1.68226圆数-.80130二茬1.3946.7801Unstandardizedcoefficients同判别分析相比，逐步判别分析剔除了一些对判别分析贡献较小的变量，同时又引入一些对判别分析贡献较大的变量，使得分类函数中的变量特异性增强，由下表可以看出，逐步判别分析的准确率达到了100%，从而提高了判别的质量。表5-12逐步判别分析的准确率验证ClassificationResultsa组别PredictedGroupMembership100200OriginalCount1.009092.00099%1.00100.0.0100.02.00010001000a.100.0%oforiginalgroupedcasescorrectlyclassified.由表5-11得到判别函数为:y=一0.631x一2999x+2220x+4.064x+26.520x28111214+2.757x一15.206x一1.682x一0.801x+1.394x1520212630重新对未知样地的两植株进行判别，得到：d(x,G)=515.6734111d(x,G)=6.2200112d(x,G)=162.1382221d(x,G)=1088.1222贝Ud(xG)minx(G,=)515.&7(3G1121.j<k11k112d(x,G)=mind(x,G)=163.1382xeG2211.心22k221由逐步判别分析最终判定未知样地的植株11属于施肥样地，植株22属于未施肥样地，与判别分析的结果不同，由于逐步判别分析的正确率高，因此，我们取该结果作为最终判定结果。5.3问题(3)施肥对果实产量的影响及定量描述5.3.1施肥对果实产量的影响判定该问题要求分析施肥对麻疯树果实产量是否有明显影响，在问题(1)分析的基础上，应用方差分析的方法，判定施肥与未施肥对果实产量的影响有无显著差异。利用SAS软件进行单因素方差分析’得到方差分析表如下表5-13:表5-13果实产量的方差分析表变异来源离差平方和SS自由度DF均方MSF值P值组间265.691265.6903.490.0647组内7456.909876.091总变异7722.5999由上表可以看出，P值为0.0647e(0.05,0.1)，说明施肥对麻疯树的果实产量的影响显著。5.3.2施肥对果实产量的影响的定量描述在第一问区间估计的基础上，我们将该模型运用到施肥对果实产量的影响上，首先计算每株果实的总产量，如下表-14：表5-14各株果实产量株号12345678910不施肥样地59534978394811666996施肥样地441246985502244847861由上表得到施肥与未施肥样地的果实总产量的均值为:X=56.8,X=66.112S2=532.4,S2=820.712置信下限为S2S21+T=-31・11nn12S2SS2S21+t=12.51nn12+Z2a2置信上限为所以，在95%的置信区间下，施肥前与施肥后每株果实产量均值之差的变化范围为：［-31.11,12.51］。虽然施肥后的果实产量可能减少，但总体趋势更偏向于增多。模型的评价及改进方向6.1模型优点（1）模型能够在概率论与数理统计的理论基础上，综合运用方差分析、判别分析和区间估计等原理，研究了对麻疯树的施肥效果，以及对未知样地植株归属的判别，具有很咼的实用意义。（2）在对未知样地植株的判别过程中，应用判别分析的方法，并将其进行改进,借助于逐步判别分析将判别正确率提高到了100%，使判定结果更加精确。（3）应用区间估计的方法，对施肥后的枝径、枝长和果实产量进行了定量地描述，并给出置信区间，结果比较理想，符合实际情况。6.2模型缺点及改进方向在开花座果调查表的数据处理过程中，忽略了雄花和雌花的影响，没有考虑各指标之间的相关关系，若补充各变量之间的相关性分析，结果也许会更加理想。参考文献［1］刘志芳•施肥效果分析•农业科学苑（第29期），2007；［2］段新国•应用多组逐步判别分析优选油气层•大庆石油地质与开发（第26卷），2007；［3］何亚平.麻疯树果实发育阶段划分与性状变化动态.四川林业科技（第31卷），2010；附录1表1各指标均值未施肥样地头茬二茬三茬皱数圆数黄数干数228221o-7228221o-7aaa466745564aaLaa66165153〜72962851aL1o