2022-2023学年高一数学 绝对值（含解析）

绝对值

(a,a>0

定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，即。=10,。=0

\-ayav0

一、绝对值函数范围或值域问题

常见的绝对值函数是：>=M=<(％,其图象是

|-x,x<0

OX

对于绝对值函数，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般

步骤：①找零点T②分区间T③定符号一④去绝对值符号.

题型一：一次函数

例I.

求函数N=卜-2|+卜+1的值域.

练L

求函数>=卜一2|-|r+1的值域.

题型二：二次函数

例2.

求函数/(x)=2r-3|x|-3的值域

练L

/(x)=W-2|x|-3

题型三：反比例函数

例二

求函数f(x)=二的值域

练1.

求函数/(x)==一的值域

1*+3|

题型四：含参类绝对值函数

例4.

求函数y二卜-2|+卜+〃|的值域.

练习1.

求函数y二卜-2|-卜+〃|的值域

-2-

例5.

若函数y=x+1+2r+a的若最小值为3,求a的值.

练习1.

若函数y=x-2+2x+a的若最小值为3,求a的值.

二、绝对值不等式

1.绝对值不等式和卜|>。的解法

不等式a>04=0a<0

\x\^a一QMx4ax=0无解

|x|va—a<x<a无解无解

\x\>a或RR

|x|>tzx<-a^x>ax±0R

2.绝对值不等式|a.r+b\<c(c>0)和|ax+Z)|>c(c>0)的解法

(1)不等式依+6|Mc(c>0)的求解：先化为不等式组-cMax+8Mc,再利用不等式的性质求出原不

等式的解集.

(2)不等式辰+的c(c>0)的求解：先化为不等式组ax+b>c和ax+方M-c,再利用不等式的性质

求出原不等式的解集.

3.\x-a\+\x-6|>c和|x-a|+|x-6区。型不等式的解法

解法一：可以利用绝对值的儿何意义.(简称儿何法)

解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各

个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号.(简称分段讨论法)

-3-

解法三：可以通过构造函数，利用函数图像得到不等式的解集.(简称图像法)

由上可以看出:解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义设法去掉绝对值符号，把它转化为

一个或儿个普通不等式或不等式组.(即不含绝对值符号的不等式).

特别提醒对于绝对值不等式|X-3-IX-6区C和Ix-“I-Ix-,也可采用上述三种方法进行求

解.

4.y(x)&g(x)=>-g(x)S/(x)Sg(x),/(x)>g(x)=>f(x)>g(x)或/(x)<,-g(x)

5.三角不等式|p+b(注意等号成立的条件)

6.al+a2+a,+...+aiat+a2+a3+...+an

题型一、简单不等式

例1、解不等式x+145练习1、解不等式X-2A5

例2、解不等式X+1V5-2X练习2、解不等式x-2>5-2x

例3、解不等式2x+1+x-2>4练习3、解不等式x+3-x-2>4

例4、解不等式x+2+l—工<无—4练习4、解不等式x+2+l-xVx+4

.4-

题型二、参数类绝对值

例1、

已知x+\+x-a>3恒成立，求a的取值范围.

练习1、

已知x+I-x-a>3-2”恒成立，求。的取值范围.

例2、

若不等式a-x>3-幽,.忆［0,口恒成立，求a的取值范围

练习1.

已知a-2r>4-乂°,AW［-1,1］恒成立，求a的取值范围

题型三、绝对值不等式综合

例1、

设函数/(X)=——---的定义域为。，其中a<1.

(1)当“=-3时，写出函数/卜)的单调区间(不要求证明)；

⑵若对于任意的户[0,2]自均有/(x)>6成立，求实数"的取值范围.

练1.

已知函数/仅)=3x-a+ax-\(a=R).

⑴若a=1,写出函数/(x)的单调区间；

⑵若函数/(x)是偶函数，求实数a的取值范围

⑶若对于任意的实数x=[0,3],不等式/(x)>34-a恒成立，求a的求取值范围.

课后作业

选择题

1.求函数卜=卜-2|+2卜-1的值域为()4[1,

+w]5.[l,+w)C.(l,+w)£>.(l,+w]

2.不等式x+2x-l<3的解集为()

「工]r4)_(4)(5]

4||_22」|S|L2,3)IC|\-2,3)10四4」|

3.已知函数/(x)=|2x-1施2m+\(m>0)的解集为(-W,-2]请[2,+w)，则实数m=(

A一B—C-D-

,2,3,2*3

4.函数/G)=|x+lL|xT|>l的解集为()

1337

Ax>~^Bx<~Cx>~2DXL3

填空题

1.不等式x2-Kax(a>0)的解集为.

2.函数y=卜-2卜"+1的值域为.

3.不等式|r-4|>x+2的解集为.

-7

解答题

1.已知函数/(x)=k+Q|+x+2(。>0).

a

(1)当。=2时，求不等式/(x)>3的解集;

(2)W：/(w)+/(-l)>4.

2.已知/(x)=卜+1+|r-2|,g(x)=|x+l-\c-a\+a(a=R).

(1)解不等式/(x)<5；

(2)若不等式f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范围.

3.已知函数f(x)=k+a|+卜一2|.

(1)当a=-3时，求不等式/(x)>3的解集；

⑵若/。)4%-4的解集包含[1,2],求。的取值范围.

-8-

绝对值

(a,a>0

定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，即。=(1(),a=0

||-a,a<0

一、绝对值函数范围或值域问题

常见的绝对值函数是：y=M=<(*'x>°，其图象是

|-x,x<0

仅

oX

对于绝对值函数，我们经常用到的一种方法是去绝时值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般

步骤：①找零点一②分区间一③定符号一④去绝对值符号.

题型一：一次函数

例1.

求函数夕=卜-2|+卜+1的值域.

【答案】［3,-Kv);

练1.

求函数尸卜-2卜卜+1的值域

【例［-3,3］

题型二：二次函数

例2.

求函数/(x)=2?-3|x|-3的值域

【答案】

练1.

/(x)=?-2|x|-3

【答案】［T4W)

题型三：反比例函数

例3.

求函数/a）=2"的值域

I*I

【答案】（0,+8）

练L

求函数/（》）=f一的值域

1*+3|

【答案】（。,+8）

题型四：含参类绝对值函数

例4.

求函数y=卜一2|+卜+a|的值域.

练习1.

求函数y=卜一2卜卜+a|的值域

但<-2,[a+2,-a-2]

【答案】〈

,>—2,[―(Z-2,a+2]

例5.

若函数y=x+l+2x+a的若最小值为3,求a的值.

【答案】Y或8

练习L

若函数y=x-2+2x+a的若最小值为3,求a的值.

【答案】2或-10

-2-

二、绝对值不等式

1.绝对值不等式卜|施a和附>a的解法

不等式a>0a=0a<0

|x|施〃-。施工施〃x=0无解

\x\<a-a<x<a无解无解

|x|>ax施一。或aRR

|x|>a或aX丰0R

2.绝对值不等式|o.r+/?|施c(c>0)和+目>c(c>0)的解法

⑴不等式上+4施«>0)的求解：先化为不等式组-c施ax+6施c,再利用不等式的性质求出原不

等式的解集.

⑵不等式辰+4>。匕>0)的求解：先化为不等式组ar+b>c和*+6施-C,再利用不等式的性质求

出原不等式的解集.

3.|x-a\+\x-b\>c和|x-a\+\x-臼施c型不等式的解法

解法一：可以利用绝对值的几何意义.(简称几何法)

解法二：利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各

个绝对值中的多项式的符号，进而去掉绝对值符号.(简称分段讨论法)

解法三：可以通过构造函数，利用函数图像得到不等式的解集.(简称图像法)

由上可以看出:解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义设法去掉绝对值符号，把它转化为

一个或几个普通不等式或不等式组.(即不含绝对值符号的不等式).

特别提醒对于绝对值不等式Ix-0-|x-4施c和|x-a|-|x-6|>c,也可采用上述三种方法进行求

解.

4./(x)施g(x)不~g(x)施/仅)施g(x),f(x)>g(x)不f(x)>g(x)或/(x)施-g(x)

5.三角不等式M-M施。土6施4+6(注意等号成立的条件)

6.a+a+a+.,.+a施+a+a

123”123n

题型一、简单不等式

例1、解不等式％+1施5练习1、解不等式卜-2|>5

【答案】[-6,4]；(-W-3)(7,+w)

-3-

例2、解不等式x+1共5-2x练习2、解不等式卜-2|>5-2x

.i.(工](7)

【口案】「皿3」「GT

例3、解不等式2r+l+x-2>4练习3、解不等式卜+3卜]一2|>4

(3)

【答案】(l,+w);

例4、解不等式卜+2|+|1-JC|<X-4练习4、解不等式卜+斗+|1-.<x+4

【答案】»(-1,3)

题型二、参数类绝对值

例1、

已知x+1+x-a>3恒成立，求。的取值范围.

【答案】(-W,-4][2,+w)

练习1、

已知x+1-x-a>3-2a恒成立，求a的取值范围.

【答案】[4,+w)

例2、

若不等式a-x>3-2x,x=[0"恒成立，求a的取值范围

【答案】(-W,-3)(3,+w)

练习1.

已知a-2x>4-x?，户[-1,1]恒成立，求。的取值范围

【答案】(-w,-5][5,+w)

.4-

题型三、绝对值不等式综合

例1、

设函数/(X)=——--r的定义域为。，其中a<1.

⑴当“=_3时，写出函数/(x)的单调区间(不要求证明)；

⑵若对于任意的x=[0,2]G均有/(x)>叱成立，求实数k的取值范围.

【答案】⑴单调增区间(-W/)；单调减区间(1,+w)

、(|-x(X-1+6T),0<XH1

⑵/，三x-1-a)=('.

|k(x-1-a),l<x

分a三T；-l<a<0；0三a<l得到不同的单调性，综上可得

当时，*三彳当;三八时心三次

练1.

已知函数/(.r)=3x-a+ax-1(a=R).

⑴若。=1,写出函数/(x)的单调区间；

⑵若函数/(寸是偶函数，求实数a的取值范围

⑶若对于任意的实数x=[0,3],不等式/(x)>3小-a胆成立，求a的求取值范围.

【答案】

⑴单调减(-W,T)；单调增(1,+M

⑵a=0(代值即可求得，但要注意检验)

⑶有题得Vx=[0,3].(3-3x)|t-a|+0恒成立1.当0三x三1

时，上式恒成立2.当l<x三3时，ax-\>(3x-3)x-a

,令g(x)=(3x-3)(x-a),h(x)=ax-\当a>1时，由ax-\>(3x-3)(a-x)即

-(2a+3)x-1+3a>0

：=3+3)2一12(3a-l)=0,a=厢

6+Jii

"a>2

当〃二1时，不满足力(3)>g(3)

当0<a<l时，只要"(3)>g(3),求得心?(舍)

-5-

当。施0时，同上舍

综上a>"回

作业

选择题

1.求函数y=卜-2|+2卜-1的值域.

41l,+w]S.[l,+w)C.(l,+w)Z).(l,+w]

【答案】A[I,-HA/]

2.解不等式x+2r-l<3

「心]「工)」工)(5]

4|L2,2」|S\C2'3)1']\-2,3)||

【答案】C.42,1)

\31

3.已知函数/(x)=|2r-l|施2加+1(机>0)的解集为(-w,-2]请[2,+w)则,实数〃7二

A—