高中数学人教B版选择性必修第二册配套课件：431一元线性回归模型

4.3.1一元线性回归模型第四章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能通过收集现实问题中两个有关联的变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.能根据给出的回归直线方程系数公式建立回归直线方程.3.能通过相关性检验,了解回归分析的基本思想与方法.4.理解非线性回归问题,并能找出解决问题的一般思路.课前篇自主预习【情境导入】“瑞雪兆丰年”是一句流传比较广的农谚.由于冬季天气冷,雪往往不易融化,盖在土壤上的雪是比较松软的,里面藏了许多不流动的空气,空气是不传热的,这样就像给庄稼盖了一条棉被,外面天气再冷,下面的温度也不会降得很低.等到寒潮过去以后,天气渐渐回暖,雪慢慢融化,这样,不但让庄稼不受冻害,而且雪融化成的水留在土壤里,给庄稼积蓄了很多水,对春耕播种以及庄稼的生长都很有利.但是冬天下几场大雪,来年一定会获得丰收吗?【知识梳理】

一、相关关系

分类概念函数关系两个变量之间的关系可以用函数表示.如圆的面积与半径之间的关系,就可以用函数S=πr2表示相关关系如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定的随机性,那么这两个变量之间的关系,叫做相关关系不相关两个变量间没有任何关系2.散点图(1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量.(2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图.3.线性相关关系(1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称x与y线性相关.(2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这两个变量正相关.(3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上减少,则称这两个变量负相关.名师点析

两个随机变量x和y相关关系的判定方法(1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断.(2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断.(3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.微拓展(1)散点图具有直观、简洁的特点,它形象地体现了各对数据的密切程度,我们可以根据散点图判断两个变量有没有相关关系.(2)通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、高低、变动范围与趋势,还可以通过观察剔除异常数值,提高估计相关程度的准确性.(3)当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时,可在实际作图时,将横坐标与纵坐标取不同的单位长度,使画出的图像更形象、美观.微练习5个学生的数学成绩和物理成绩如下表:则数学成绩与物理成绩之间(

)A.是函数关系B.是相关关系,但相关性很弱C.具有较好的相关关系,且是正相关D.具有较好的相关关系,且是负相关答案

C解析

作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系,且是正相关.科目ABCDE数学8075706560物理7066686462二、回归直线方程1.回归直线方程2.最小二乘法确定回归直线方程

3.回归直线的性质

名师点析

求回归直线方程的步骤第一步:列表;第四步:写出回归直线方程.微练习1已知x,y的取值如下表所示:x234y645答案

A微练习2答案

B三、相关系数1.相关系数r的计算公式假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则变量间相关系数r的计算公式如下:2.相关系数r的性质(1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0.(2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.(3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.名师点析

(1)相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切程度,不能揭示二者之间的本质联系.(2)判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性相关系数来判断.(3)相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要建立两变量间的线性回归方程.微练习对两个变量x,y进行线性相关检验,得线性相关系数r1=0.7859,对两个变量u,v进行线性相关检验,得线性相关系数r2=-0.9568,则下列判断正确的是(

)A.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关性较强B.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关性较强C.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关性较强D.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关性较强答案

C解析

由线性相关系数r1=0.785

9>0知x与y正相关,由线性相关系数r2=-0.956

8<0知u与v负相关,又|r1|<|r2|,所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强,故选C.四、非线性回归常见的非线性回归模型转化为线性回归模型微拓展解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量:确定变量x,变量y.(2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型.(3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题.(4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果.(5)写出非线性回归方程.课堂篇探究学习探究一相关关系的判断例1(1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系(

)A.正方体的棱长和体积 B.圆半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高(2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断(

)A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关答案

(1)D

(2)C解析

(1)A,B,C都是函数关系.对于A,V=a3;对于B,S=πr2;对于C,g(n)=(n-2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高.故选D.(2)由图像知,变量x与y呈负相关关系;u与v呈正相关关系.反思感悟

相关关系的判断方法判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.变式训练

1某公司2015—2020年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示:年份201520162017201820192020利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11根据统计资料,则(

)A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系答案

C解析

由表知,利润中位数是

×(16+18)=17,且y随x的增大而增大,故选C.探究二求回归直线方程例2一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求y关于x的回归直线方程.分析画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程零件数x/个102030405060708090100加工时间y/分626875818995102108115122解

(1)画散点图如下:由上图可知y与x具有线性相关关系.(2)列表、计算

i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201

3602

2503

2404

4505

7007

1408

64010

35012

200反思感悟

1.求回归直线方程的一般步骤(1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,…,n)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系.探究三利用回归直线方程对总体进行估计例3下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:(1)请画出上表数据的散点图;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?x3456y2.5344.5解

(1)散点图,如图所示:(3)根据回归直线方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100+0.35=70.35(吨),故减少了90-70.35=19.65吨标准煤.反思感悟

回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图;(2)求线性回归直线方程,注意运算的正确性;(3)根据回归直线方程进行预测估计,估计值不是实际值,两者会有一定的误差.变式训练

2某种产品的广告费支出y(单位:百万元)与销售额x(单位:百万元)之间的关系如下表所示.(1)假定y与x之间存在线性相关关系,求其回归直线方程;(2)若广告费支出不少于60百万元,则实际销售额应不少于多少?(结果用整数作答)x8121416y58911探究四非线性回归分析例4下表为收集到的一组数据:(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系;(2)求y关于x的回归方程;(3)利用所得模型,预测x=40时y的值.分析画出散点图→确定是否线性相关→确定函数模型→转化为线性模型→求回归方程→进行拟合→进行预测x21232527293235y711212466115325解

(1)作出散点图如图,从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线

的周围,其中c1,c2为待定的参数.(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln

y,则变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln

c1,b=c2)的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为:(3)当x=40时,y=e0.272×40-3.849≈1

131.x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784反思感悟

非线性回归问题的处理方法1.指数函数型y=ebx+a(1)函数y=ebx+a的图像:(2)处理方法:两边取对数得ln

y=ln

ebx+a,即ln

y=bx+a.令z=ln

y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b.2.对数函数型y=bln

x+a(1)函数y=bln

x+a的图像:(2)处理方法:设x'=ln

x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.3.y=bx2+a型处理方法:设x'=x2,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.变式训练

3某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示:由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0.其中a,b均为正数,求y关于x的回归方程.x123456y11.3511.8512.4413.0713.5914.41解

对y=abxe0两边取自然对数,得ln

y=ln

ae0+xln

b,令z=ln

y,则z与x的数据如下表:x123456z2.432.472.522.572.612.67

素养形成规范答题典例

已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表:年份20062007200820092010201120122013x/kg7074807885929095y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0年份2014201520162017201820192020

x/kg92108115123130138145

y/t11.511.011.812.212.512.813.0

(1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关;(2)若线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)与平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)之间的线性回归方程,并估计平均每单位面积菜地年施氮肥150kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量.解

(1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下:i12345678xi7074807885929095yi5.16.06.87.89.010.210.012.0xiyi357444544608.4765938.49001

140i9101112131415

xi92108115123130138145

yi11.511.011.812.212.512.813.0

xiyi1

0581

1881

3571

500.61

6251

766.41

885

故相关系数≈0.863

2>0.75.这说明平均每单位面积蔬菜年产量与平均每单位面积菜地年使用氮肥量之间存在着很强的线性相关关系.则y=0.0931x+0.7102.当平均每单位面积菜地年施氮肥150kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量约为0.0931×150+0.7102=14.6752(t).方法点睛

回归分析问题的答题模板第一步:由已知数据求出相关系数r.第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关.第三步:计算

求出回归直线方程.第四步:利用回归方程进行预测.

当堂检测1.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是(

)A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3答案

A解析