《圆锥曲线新题型及定点问题分析》

《圆锥曲线新题型及定点问题分析》高三冲刺讲义：《圆锥曲线新题型及定点问题分析》圆锥曲线是解析几何主要内容之一，也是高考重点考查内容合热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想应用。定点问题与定值问题是这类题目标经典代表，下面我们就着重研究这些2类问题；在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取值不一样时，曲线本身性质不变，或形态发生一些改变，但其一些固有共同性质一直保持着，这就是我们所指定值定点问题。圆锥曲线中几何量，有些与参数无关，这就组成了定值定点问题，她涵盖两类问题，一是懂曲线景观定点问题；二是动曲线一些几何量斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是经过应有赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式推导、论证定值符合通常情形。所以在圆锥曲线综合性问题里，定点定值问题往往是我们学习一个难点.对于这类问题学习，通常有两种处理方法:①从特殊人手，求出定点或定值，再证实这个点(值)与变量无关.②直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点(定值).而第二个方法又是我们深入且归纳重点方法，其中又包含：1、经过定义代入化简；2、经过平面几何知识或三角知识代入；3、经过韦达定理化简；下面我们就来介绍这些题型：题型一：经过代入化简得定值例1：已知为椭圆上一点，其中为椭圆左右焦点；求证：。证实：同理得证：题型二：经过平面几何知识化简得到例2：已知椭圆方程为，右焦点为，直线与圆相切于点，且在轴右侧，设直线交椭圆于不一样两点.（1）若直线倾斜角为，求直线方程；xyFQxyFQABlO（2）求证：.提醒：用代入法转化AF，AQ=；从而化简出是一个常值。解]（1）设直线方程为，则有，得又切点在轴右侧，所以，所以直线方程为（2）因为为直角三角形，所以又得又得所以，同理可得所以题型三：经过定义化简得到：例3：某校同学设计一个如图所表示“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．（1）求抛物线方程；（2）求证：．（3）假如使“蝴蝶形图案”面积最小，求大小？第(3)问提醒：，；想想BF和DF怎样参加他们也能够写出来。之后面积问题就转化为三角求最值问题了。解析:（1）由抛物线焦点得,抛物线方程为（2）设，则点所以，，既解得；（3）同理：，，“蝴蝶形图案”面积令,则,时,即“蝴蝶形图案”面积为8题型四：经过韦达化简得到例4、已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，是上动点．（1）求最大值；（2）若平行于直线在轴上截距为，直线交椭圆于两个不一样点，求证：直线与直线倾斜角互补．[解]（1）设椭圆方程为将代入椭圆方程，得………2分解得，所以椭圆方程为…………2分设点坐标为，则．又是上动点，所以，得，代入上式得，故时，．最大值为．（2）因为直线平行于，且在轴上截距为，又，所以直线方程为．由得设、，则．又故．又，所以上式分子故．所以直线与直线倾斜角互补．题型五、经过类比结论得到例5：椭圆中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.若三个顶点都在椭圆上，设三条边中点分别为.（1）求椭圆方程；（2）设三条边所在直线斜率分别为，且.若直线斜率之和为0，求证：为定值.解：（1）设椭圆方程为，由题意知：左焦点为所以，解得，．故椭圆方程为．（方法2、待定系数法）（2）设，，由：，，两式相减，得到所以，即，同理，所以，又因为直线斜率之和为0，所以方法2、(可参考方法1给分)设直线：，代入椭圆，得到，化简得(以下略)题型六：其余综合问题例6：已知抛物线：，直线交此抛物线于不一样两个点、．（1）当直线过点时，证实为定值；（2）当初，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）假如直线过点，过点再作一条与直线垂直直线交抛物线于两个不一样点、．设线段中点为，线段中点为，记线段中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．答案：（1）；（2）．（3）存在直线，点，点到它们距离相等．例7：在平面直角坐标系中，方向向量为直线经过椭圆右焦点，:与椭圆相交于、两点（1）若点在轴上方，且，求直线方程；（2）若，且△面积为，求值；（3）当（）改变时，是否存在一点，使得直线和斜率之和为,若存在，求出值；若不存在，请说明理由.答案：（1）；（2）；（3）存在一点。例8：动圆过定点且与直线相切，其中.设圆心轨迹方程为.求；曲线上一定点方向向量直线（不过点）与曲线交于、两点，设直线、斜率分别为、，计算；（3）曲线上两个定点、分别过点、做倾斜角互补两条直线、分别与曲线交于、两点，求证直线斜率为定值.答案：（1）；（2）====0.例:9：已知椭圆方程为，其焦点在轴上，点为椭圆上一点．（1）求该椭圆标准方程；（2）设动点满足，其中、是椭圆上点，直线与斜率之积为，求证：为定值；（3）在（2）条件下探究：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证实；若不存在，请说明理由．答案：（1）（定值）存在点A()、B（），使得=（定值）例10：设抛物线焦点为，经过点动直线交抛物线于点，且．（1）求抛物线方程；（2）若（为坐标原点），且点在抛物线上，求直线倾斜角；（3）若点是抛物线准线上一点，直线斜率分别为．求证：当为定值时，也为定值．答案：（1）．（2）直线倾斜角为或．（3），可得，由（2）知又，∴，又为定值，所以也为定值．例11：已知双曲线中心在原点，是它一个顶点，是它一条渐近线一个方向向量.求双曲线方程；若过点()任意作一条直线与双曲线交于两点(都不一样于点)，求证：为定值；对于双曲线:，为它右顶点，为双曲线上两点(都不一样于点)，且，那么直线是否过定点？若是，请求出此定点坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证实过程）.情形一：双曲线及它左顶点；情形二：抛物线及它顶点；情形三：椭圆及它顶点.答案：（1）；（2）=0为定值；（3）过定点(,0).情形一：在双曲线：中，若为它左顶点，为双曲线上两点(都不一样于点)，且，则直线过定点(,0).情形二：在抛物线中，若为抛物线上两点(都不一样于原点)，且，则直线过定点.情形三：（1）在椭圆中，若为它右顶点，为椭圆上两点(都不一样于点),且，则直线过定点(,0)；（2）在椭圆中，若为它左顶点，为椭圆上两点(都不一样于点)，且，则直线过定点(,0)；（3）在椭圆中，若为它上顶点，为椭圆上两点(都不一样于点),且，则直线过定点(0,)；（4）在椭圆中，若为它下顶点，为椭圆上两点(都不一样于点),且，则直线过定点(0,).【课后作业】1.A、B是抛物线（p＞0）上两点，且OA⊥OB，求证：（1）A、B两点横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线AB经过一个定点。证实：（1）设A（）、B（），则，。∵=，∴为定值，也为定值。（2）∵，∵，∴∴直线AB方程为：，∴直线AB过定点（2p，0）。2.已知抛物线方程为，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB倾斜角互补。（1）试证实直线AB斜率为定值；解析：（1）证实：把P(2，4)代入，得h=6。所以抛物线方程为：y－4=k(x－2)，由，消去y，得。所以，因为PA和PB倾角互补，所以，用－k代k，得，所以=。3、设抛物线（p＞0）焦点为F，经过点F直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线准线上，且BC∥x轴，证实：直线AC经过原点。方法1：设直线方程为，A，B，C，∴，，∴，，，又∵，∴，即k也是直线OA斜率，所以AC经过原点O。当k不存在时，AB⊥x轴，同理可证。xyFBACDO图3NE方法2：如图2过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥xyFBACDO图3NE4、已知点，、、是平面直角坐标系上三点，且、、成等差数列，公差为，．（1）若坐标为，，点在直线上时，求点坐标；（2）已知圆方程是，过点直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数取值范围；（3）若、、都在抛物线上，点横坐标为，求证：线段垂直平分线与轴交点为一定点，并求该定点坐标．答案：（1）坐标为或当初，或；当初，或直线与轴交点为定点5、已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上点到焦点距离最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且认为直径圆过椭圆右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．答案：（1）（2）：直线过定点，定点坐标为6、已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆上点到焦点距离最小值为，且﹒（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个