专题24：最大最小函数问题

专题24：最大最小函数问题1．已知函数，．（1）若直线与曲线相切，求实数的值；（2）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．【解析】（1）依题意，，则曲线在点，处的切线方程为，又，代入整理得，此直线与重合，得，消去得：①，令，则，当时单调递增，当时，单调递减，（1）．由①知，，解得；（2）①当时，，所以，无零点；②当时，（1）（1），从而（1），故为的一个零点；③当时，，则的零点即为的零点．又，所以①当时，，此时在上单调递增，（1），此时无零点；②当时，令，解得：，易知在上单调递减，在上单调递增，又（1），在上无零点，另外，由（1）可知（1）恒成立，即对恒成立，则，所以，故存在，进而存在，使得，即，此时在上存在唯一零点；综上可得：当时，有1个零点；当时，有2个零点．2．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）记，表示，中的最小值，设，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．【解析】（1）的定义域为，，令，得．①当，即时，；②当，即时，；③当，即时，，综上，当时，的单减区间为和，单增区间为；当时，的单减区间为，无增区间；当时，的单减区间为和，单增区间为．（2）的唯一一个零点是，，，由（1）可得：当时，，此时至多有两个零点，不符合题意；（ⅱ）当时，在定义域上单减递减，此时至多有两个零点，不符合题意；（ⅲ）当时，若（2），即，此时至多有两个零点，不符合题意；若（2），即，此时，即，此时恰好有三个零点，符合题意；若（2），即，此时，，记，所以，所以（a）在上单调递增，所以，此时恰好有四个零点，符合题意，综上，．3．已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，记函数，，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围．【解析】（1）令，当时，．，令，得．当，，单调递增；当，，，单调递减；当，，，单调递增．（2）当时，，令，得，．①当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；②当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；③当，即时，若（1），至多有两个零点，不合题意；若（1），得，，恰好有三个零点；若（1），得，（2），．记（a），则（a），（a），此时有四个零点．综上所述，满足条件的实数的取值集合为，．4．已知函数．（1）求证：；（2）用，表示，中的最大值，记，，讨论函数零点的个数．【解析】证明：（1）：设，定义域为，则，当时，；当时，，故在内是递减函数，在内递增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，所以（1），所以．（2）函数的定义域为，，当时，；当时，，所以在内是递减函数，在内是递增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，即（1），若，则，当时，；当时，；当时，，所以，于是只有一个零点．当时，则，当时，，此时；当时，，，此时．所以没有零点．当时，根据（1）知：，而，所以，又因为（1），所以在上有一个零点，从而一定存在，，使得（c）（c），即，即，当时，，所以，从而，于是有两个零点和1．当时，有两个零点．综上：当时，有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点．5．已知函数，．（1）当，且时，证明：；（2）定义，设函数，，试讨论零点的个数．【解析】（1）证明：当时，，要证，需证，即，即证：当时，；当时，．令，则，在上单调递增，在上单调递增，当时，（1），此时；当时，（1），此时．故，且时，．（2）当时，，，在上无零点；当时，（1）（1），则（1），是的唯一零点；当时，，在上无零点，在上的零点个数等价于在上的零点个数．，①若时，，在上单调递增，（1），此时无零点；②若即时，令，得；令，得，在上单调递增，在上单调递减，，令（a），则（a），（a）