35导数在经济中的应用

第三章导数的应用

第五节导数在经济中的应用3.5.1边际函数设函数在点处可导，则导函数称为函数的边际函数。也称为函数在处的边际函数值。边际函数反映了函数在点处的变化率。设成本函数可导（其中表示总成本，表示产量），则其边际函数称为边际成本函数，简称边际成本。称为当产量为时的边际成本。其经济意义为：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则成本相应增减个单位。1.边际成本设收益函数可导（其中表示收益，表示商品销售量），则其边际函数称为边际收益函数，简称边际收益。称为当商品销售量为时的边际收益。

经济意义：销售量达到时，如果销售量增减一个单位产品，则收益相应增减个单位。2.边际收入设利润函数可导，则其边际函数称为边际利润。称为当产量为时的边际利润。

经济意义：当产量达到时，如果增减一个单位产品，则利润相应增减个单位。3.边际利润若供给函数在点处可导（其中为供给量，为价格），则其边际函数称为边际供给函数。简称边际供给。4.边际供给设总成本函数（元），求：⑴边际成本函数；⑵生产50个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。⑴边际成本函数为⑵时的平均单位成本为例1:设总成本函数（元），求：⑴边际成本函数；⑵生产50个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。⑵时的边际成本为经济意义：当生产达到50个单位产品时，如果再多生产1个产品所最加的成本为17.5元。例1

某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C（元）是日产量x（吨）的函数：，求当日产量为100吨时的边际成本，并解释经济意义。答案：边际成本：经济意义是：当产量是100吨时，每增加1吨产量，成本增加9.5元。课堂练习设函数在点处可导，称极限为函数的弹性函数，记为，即

3.5.2弹性定义:

在点处，弹性函数值称为函数在点处的弹性值，简称弹性。它表示在点处，当变动1%时，的值近似地变动。设函数，求其弹性函数以及在处的弹性。因为所以弹性函数于是，例2

设需求函数在处可导，则称为该商品在处的需求弹性，记作或，即定义:

设供给函数在处可导，则称为该商品在处的供给弹性，记作或，即

设销售量是价格的函数，收益是商品价格与销售量的乘积，即所以，收益弹性为收益弹性及其与需求弹性的关系根据收益弹性及其与需求弹性的关系可知：（1）若，则收益弹性大于０；需求变动的幅度小于价格变动的幅度；价格上涨（或下跌）１％，收益增加或减少。（2）若，则收益弹性小于０；需求变动的幅度大于价格变动的幅度；价格上涨（或下跌）１％，收益减少或增加。（3）若，则收益弹性等于０；需求变动的幅度等于价格变动的幅度；价格变动１％，收益不变。3.４.３导数在经济分析中的应用设某商品的需求函数为，求⑴需求弹性函数；⑵时的需求弹性，并说明其经济意义；⑶时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？⑷当取多少时，总收益最大？例:⑴需求弹性函数：因为需求函数为，总收益函数为，所以⑵当时的需求弹性解:这说明，在时，价格每上涨1%，则需求减少0.54%；而价格若下降1%,则需求增加0.54%。⑶当时的收益弹性；所以，当时，价格上涨1%，总收益增加0.46%。

⑷要使总收益最大，应有需求弹性，即得，（舍去），故当时，总收益取得最大值。

1.设某商品的供给函数为，求供给弹性函数以及时的供给弹性．

2.某产品的销售量