第三章 力矩和平面力偶系

第三章力矩和平面力偶系第1页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

§3.1力矩及其计算一、力矩

设刚体在图面内受力F作用（图3-1）。在同图面内取一点0，点0称为矩心，矩心到力作用线的距离称为力臂，用h表示，则力F在图示平面内对矩心O的矩（简称力矩）的定义如下：力矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂的乘积，其正负号按：力使物体逆时针转动时为正；反之为负。

力对点O之矩为：Mo(F)=±Fh

图3-1OFhA第2页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

1）力的大小为零时，力矩为零；2）力的作用线通过矩心时，力臂为零，故力矩为零；3）取不同矩心时，力臂和转动方向都可能改变，故同一力对不同的矩心的力矩一般并不相等。力矩概念是从实践中总结出来的，它表示力使物体绕某点转动的效果。如图3-2所示。力矩的单位：牛顿.米（N.m)图3-1图3-2AOFh第3页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

二、合力矩定理：设刚体受到某一平面力系的作用。此力系由力Fl、FZ、…、Fn组成，其合力为R。在平面内任选一点O作为矩心，合力R与各分力Fi(i=1、2、…、n）的力矩均可按式（3-1)计算。由于合力与整个力系等效，故合力对点O的矩，的等于各分力对点O之矩的代数和。

即作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴）之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=∑

MO(Fi)第4页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

三、力矩的计算力矩可用式（3-1）计算。若力臂h不易求出，也可用式（3-2）即合力矩定理计算。例3-1图3-3a所示的圆柱齿轮，受到法向力Fn的作用。设Fn=700N，压力角a=20°，齿轮的节圆半径r‘=80mm，试计算力Fn对轴O的矩。

解：此力矩可用两种方法计算：(1）根据力矩的定义求解由图a可见，力臂h=r′cosa，故由式（3-1）可得MO(Fn)=Fnh=Fnr′cosa=700x0.08×cos20°=52.62N·m因力Fn使齿轮逆时针转动，故力矩MO(Fn）为正值。图3-3第5页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

解：此力矩可用两种方法计算：(2）用合力矩定理求解由图a可见，力臂h=r′cosa，故由式（3-1）可得MO(Fn)=Fnh=Fnr′cosa=700x0.08×cos20°=52.62N·m因力Fn使齿轮逆时针转动，故力矩MO(F′n）为正值。先将Fn分解为圆周力Ft和径向力Fr，由图b可见Ft=FncosaFr=Fnsina由式（3-2）可得Mo(Fn)=Mo(Ft)+Mo(Fr)=Fncosa·r′十0=700×cos20°0×0.08=52.62N·m第6页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

图3-4例3-2图3-4所示为一液压驱动的起重臂。已知尺寸a、b、。和角度a，试求油缸液压推力F对轴O和铰B的矩。

解:取坐标系xOy.(1）求力F对O点的矩。将力F沿坐标轴分解，由图可得F=Fsina,Fy=Fcosa第7页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

由式（3-2）可得Mo(F)=MO(Fx)+MO(Fy)=Fxb+Fya=F(bsina+acosa)(2）求力F对点B的矩。同理可得（注意分力Fx通过B点）MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=0+(-Fyc）=-Fccosa第8页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

§3.2力偶及其性质①两个同向平行力的合力

大小：R=Q+P 方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处 确定C点，由合力距定理一、力偶力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。ABQCBR×=×\第9页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

图3-5图3-6图3-7图3-5这样的两个反向的平行力并不满足二力平衡条件，故在力偶的作用下，刚体不能保持平衡（虽然此二力的矢量和为零）。力偶不能简化为合力，即不能与一力等效。力偶只能改变刚体的转动状态。如图3-6、图3-7、图3-8和钥匙开门等.

因力偶不能简化为一力，故力偶也不能被一力所平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。第10页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

二、力偶矩由上节已知，力使物体绕某点转动的效果用力矩来度量。同理，力偶使物体转动的作用效果，可由组成力偶的两力对某一点的矩的代数和来度量。设刚体上作用有力偶（F,F‘)，如图3-9所示。在图面内任取一点O为矩心，由图可见MO(F)=F(d+x)MO(F‘)＝-F′x式中d为力偶臂。因F二F‘，可得MO(F‘)＝-F,x=一Fx图3-9ABOFF′xd图3-9图3-8第11页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

故力偶（F,F‘）对矩心O的矩为Mo(F)+Mo(F'）=F(d+x）一Fx=Fd上式右边为正值，说明两力矩的代数和使刚体逆时针转动，与该力偶驱使刚体转动的转向一致。上式说明：力偶对其作用面内任意一点的矩为一恒定代数量，该量称为力偶矩，它表示力偶对物体转动的作用效果。由上述可知:力偶矩是代数量，其绝对值等于力偶中的一力的大小与力偶臂的乘积，其正负号确定如下：力偶使物体逆时针转动为正，反之为负。力偶对其作用平面内任意一点的矩恒等于力偶矩。用M表示力偶矩，可得M=士Fd(3-3)力偶矩的单位与力矩的单位相同。第12页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

三、力偶的性质作用在刚体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等则两力偶等效。即只有M1=M2，两力偶等效。(a)(b)图3-10第13页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

三、力偶的性质作用在刚体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等则两力偶等效。即只有M1=M2，两力偶等效。由上述力偶等效的条件可以看出：(1）力偶可以在其作用面内任意转移，而不改变它对刚体的作用。因为这种转移不改变其力偶矩；(2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。

例如图3-11所示的方向盘，司机对它所施加的力偶由（F,F'）变为（2F,2F'）时，只要将力偶臂同时减半，使方向盘转动的效果就不会变化。若将（F,F'）改为（F1,F1′）并保持Fl=F，作用效果也不变。第14页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

图3-11图3-12由此可见，力偶中力的三要素和力偶臂长度都不是力偶的特征量，决定平面内力偶对刚体作用效果的唯一特征量是力偶矩M。作用在刚体上的力偶，可按图3-12中的任一种方法来表示。第15页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

§3.3平面力偶系的合成与平衡作用在刚体上同一平面内的几个力偶称为平面力偶系。可以证明，平面力偶系能与一个力偶等效，这个力偶称为该平面力偶系的合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。用M表示合力偶矩，用Ml、MZ、…、Mn表示力偶系中的各力偶矩，则有M＝∑M(3一4)由上述结果可知，平面力偶系平衡的必要和充分的条件是各力偶矩的代数和为零，即∑Mi=0(3一5)用式（3-5）可以解决平面力偶系的平衡问题，其解题步骤与§2一4中所述步骤类似。第16页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

例3-3用端面铣刀加工连杆的端面，如图3-3所示。连杆在图面内受到矩为M1=l00N·m的切削力偶的作用。连杆大头的孔套在固定心轴O上，小头靠在固定挡销A上以防止连杆在图面内转动。若不加夹紧并忽略摩擦，且已知l=200mm。试求心轴与挡销所受的横向力。图3一13第17页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

解:以连杆为研究对象。它在图面内受给定的切削力偶矩M1作用。挡销为光滑面，其约束力为NA；心轴可视为固定支座。由于力偶只能被力偶所平衡，故心轴的约束力NO必与NA构成一力偶，从而可知No的方向向下，且No=NA。连杆的受力图如图所示。连杆在图面内受平面力偶系作用。由式（3-5）可得

∑M＝O，一MI+NAl=0N0=NA=M/l=100/0.2=500N由力的作用和反作用定律，可知心轴与挡销均受到50ON的横向力，其指向分别与图中No和NA相反。这些力将使心轴和挡销发生变形甚至损坏，故加工时连杆必须夹紧。NANO第18页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室

习题3-1如图所示，构件上作用有力F。设F、l和θθ均已知。试求：(1）若θ1已知，求F对点O的矩；(2)多大时此力矩最大，最大值等于多少？(3)θ1多大时，此力矩为零？

题3一1图第19页，课件共23页，创作于2023年2月

机械基础CAI课件汽车学院汽车教研室