第08讲 函数与方程（解析版）

第08讲函数与方程1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．一．函数零点所在区间的判定例1．（1）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.【详解】解：∵，，则，∴函数的零点所在区间是

，当，且时，，，，ACD中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B为正确答案.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点存在性定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号.（2）函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，由零点存在定理判断．【详解】设，是上的增函数，在和上都是减函数，，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，，，所以在上有零点．所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为故选：B．（3）方程的解所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间【详解】都是上的增函数，故是上的增函数，又由，，，因为，所以，，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：C.（4）（多选）下列函数中，在区间上存在唯一零点的有（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据给定条件，求出函数的零点、利用零点存在性定理判断即可作答.【详解】对于A，由，即，得或，因此函数在上有两个零点，A不正确；对于B，在定义域上单调递增，，，则存在，使得，因此函数有唯一零点，且在区间上，B正确；对于C，函数在上单调递增，，因此函数有唯一零点1，且在区间上，C正确；对于D，函数在定义域上单调递减，，存在，使得，因此函数有唯一零点，且在区间上，D正确.故选：BCD（5）用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，其中，及，求得，即可求解．【详解】由题意，设，其中，又由，则，可得方程根在区间．故选：A．【点睛】本题主要考查了二分法的应用，其中解答中熟记二分法的概念，以及合理应用零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．（6）函数的零点所在区间为，则____________．【答案】2【分析】利用导数确定函数的单调性，然后判断和正负，根据零点存在性定理即可求自然数n的取值．【详解】，当时，，所以在上单调递增．因为，，∴存在唯一的使得，又∵函数的零点所在区间为，所以．故答案为：2．【复习指导】：确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．二．函数零点个数的判定例2．（1）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数（2）函数的零点的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令可得，作出函数、的图象，观察两函数图象的交点个数，即可得解.【详解】令可得，则函数的零点个数即为函数、图象的交点个数，分别作函数、的图象，如图，由图可得交点个数为，因此，函数的零点的个数是，故选：B.（3）已知函数，则函数的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；【详解】令．①当时，，则函数在上单调递增，由于，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得．作出函数，直线的图象如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．故选：D．（4）设函数，则函数的零点的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】分别画出函数和的图像，根据图像得出结论.【详解】因为，所以，转化为如图，画出函数和的图像，当<0时，有一个交点，当>0时，，此时，是函数的一个零点，，满足，所以在(2,4)有两个交点，同理，所以在(4,6)有两个交点，，所以在(6,8)内没有交点，当>7时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个.故选：C.【点睛】本题考查分段函数的知识点，涉及到函数的零点的知识点，考查了数形结合的思想，属于基础题型.（5）已知函数则函数的零点个数为______________.【答案】4【分析】根据函数零点定义,利用换元法令,代入可得.对分段函数分类讨论,即可求得的值.画出函数图像,结合函数图像即可判断交点个数,进而判断零点个数.【详解】函数的零点,满足,即令,则当时,,解得,当时,,解得,综上可知,或,作出图象如图所示：当无解,有3个解,有1个解,综上所述,函数的零点个数为4.故答案为:4【点睛】本题考查了分段函数零点的求法,换元法求函数值,数形结合求函数图像交点个数的应用,属于中档题.【复习指导】：函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三．函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3．（1）已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据的解析式，可得的单调性、奇偶性，即可作出的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断的单调性，结合t的范围，作出的图象，数形结合，可得时，的图象与图象有2个交点，此时与分别与有2个交点，即即有四个不同的解，满足题意，即可得答案.【详解】设，则有四个不同的解，因为，所以为偶函数，且当时，为增函数，所以当时，为减函数，所以，即，当时，，则，令，解得，所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，又，作出时的图象，如图所示：所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为，作出图象，如下图所示：此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意.综上实数m的取值范围为.故选：A【点睛】解题的关键是根据解析式，利用函数的性质，作出图象，将方程求根问题，转化为图象求交点个数问题，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.（2）若关于的方程在区间上仅有一个实根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设=，可得函数递增递减区间，由函数在区间上仅有一个零点，列出方程可得的取值范围.【详解】解：设，可得，令，可得，令，可得，可得函数递增区间为，递减区间为，由函数在区间上仅有一个零点，，，若，则，显然不符合题意，故，或，可得或，故选C.【点睛】本题主要考查方程的根与函数的零点的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.（3）已知函数的零点是和，则________.【答案】【分析】根据函数的零点求出的值即可.【详解】因为函数的零点是和，所以，解得，所以，故答案为：.（4）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】由题意，去绝对值整理函数解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.【详解】由函数，当时，方程存在根，则解得，解得；当时，方程存在根，则解得，解得；综上所述，.故答案为：.（5）已知是函数的一个零点，且，，则a的取值范围是______．【答案】.【分析】先根据零点求出，从而，转化为在上有解，参变分离后即在上有解，求出，从而得到的取值范围.【详解】由题意得：，解得：，故，，，即在上有解，即在上有解，因为，所以当时，，所以，所以a的取值范围是.故答案为：.（6）若函数，方程有两解，则实数m的取值范围为______．【答案】【分析】利用图像求解函数的零点个数问题．【详解】二次函数的最高点为，有图可知与函数有两个交点，则取值范围为【点睛】分段函数的实质是将几个基本函数分段的陈列出来，定义域取不同的范围，所以综合性很强，可以将高中体系的任何一个函数及其知识点吸纳进来，要求学生储备的知识很多，不易入手．研究分段函数的性质，实质是研究分段函数的图像，故分段函数题型的方法用数形结合法．分段函数的研究方法很好的体现了研究函数性质的方法故是高考的热门考点．命题点2根据函数零点范围求参数例4．（1）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【分析】当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解.【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故选：D.（2）关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数零点的分布列不等式组求解.【详解】令，要满足在上有两个不相等的实根，则，解得故选：D（3）若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】当时，令，可得出，可得出，利用函数的单调性求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】当时，令，则，可得，设，其中，任取、，则.当时，，则，即，所以，函数在上为减函数；当时，，则，即，所以，函数在上为增函数.所以，，，，则，故函数在上的值域为，所以，，解得.故选：A.（4）若函数在上有3个零点，则实数a的取值范围为______.【答案】【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义转化为求方程根的问题，再分类讨论求解作答.【详解】函数的零点，即方程的根，当时，方程化为：，当时，方程化为：，依题意，方程有3个不等的负根，而方程两根之积为负，必有一正根一负根，于是得在上有一个负根，在上有两个相异负根，因此，即，由在上有两个相异负根得，，解得，在中，，即方程在上有且只有一个负根，所以实数a的取值范围是.故答案为：（5）设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】根据函数在区间内是减函数，且在区间内有零点，可得，解此不等式组求得实数的取值范围．【详解】解：函数在区间内是减函数，函数在区间内有零点，，即，，即故答案为：【点睛】本题考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．命题点3数形结合法求解函数零点问题例5．（1）已知（）是函数的一个零点，若，

，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】分析：在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得结论．详解：令f（x）=lnx﹣=0，从而有lnx=，此方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得f（a）＜0，f（b）＞0，故选D．（2）已知是函数的一个零点，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当时，在下方，即；当时，在上方，即，故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想（3）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.（4）若方程在内有解，则的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程在内有解，转化为函数的图象和直线在上有交点，结合选项中的图象逐一判断即可.【详解】根据方程在内有解，转化为函数的图象和直线在上有交点．：与直线的交点是，不符合题意，故不正确；：与直线无交点，不符合题意，故不正确；：与直线在区间上有交点，不符合题意，故不正确；：与直线在上有交点，故正确．故选D．【点睛】函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.（5）已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．【答案】(0,1)∪(1,4)【详解】y＝函数y＝kx－2的图象恒过定点M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.当k＝1时，直线y＝kx－2在x＞1或x≤－1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)时，两函数图象恰有两个交点．【复习指导】：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．（6）已知函数，且关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围为______．【答案】【分析】先根据函数的解析式作出函数的图象，然后利用换元法将关于的方程恰有3个不同的实数根，转化为有两个不同的实数根，且，，，然后再利用二次方程根的分布列出不等式组，求解即可得到答案．【详解】解：因为函数，作出函数图象如图所示，因为关于的方程恰有3个不同的实数根，所以令，根据图象可得，有两个不同的实数根，且，，，记，则有，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：．【复习指导】：(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值．(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题．构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些．命题点4求零点的和例6．（1）已知，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】作函数的图象,设,结合函数的图象性质,易得,,进而可求出答案.【详解】作函数的图象,如下图，当时,的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为,最小值为；当时,为直线的一部分.设,,由图象可知,,令,解得,则,且,则,即.故选：A【点睛】关键点点睛：作出分段函数的图象，利用二次函数对称性，转化为求的取值范围，利用一次函数的图象及性质求出，是解题的关键.（2）设函数，若函数恰有三个零点，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出在的对称轴和，根据图像判断出，关于对称，，关于对称，即可求得.【详解】函数令，可得：，.∵∴令，可得一条对称轴方程.∴令，可得一条对称轴方程.函数恰有三个零点，可知，关于其中一条对称是对称的，即，关于其中一条对称是对称的.即那么.故选：B.【复习指导】：求几个零点的和：（1）画图分析，如需画两个函数图像，常先画复杂或具有周期性的图像，再画简单的图像，注意作图要细致；（2）通常利用对称轴即可求解.（3）（多选）已知函数f（x）＝，若，且，给出下列结论，其中所有正确命题的编号是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.【详解】函数的图象如下图所示，设，则，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，对于选项A：函数的图象关于直线对称，则，故选项A不正确；对于选项B：由图象可知，且，∴，即，所以，，故选项B正确；当时，，由图象可知，，则，可得，∴，C正确；由图象可知，∴，D正确.故选：BCD（4）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.【详解】分别为直线与和的交点的横坐标，因为函数与函数互为反函数，所们这两个函数的图象关于直线，而直线、的交点是坐标原点，故，，，，，，故故选：BCD.【点睛】关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键.1．函数的零点所在的区间为（

）A．（-1，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，2）【答案】C【分析】由解析式判断各选项区间端点值的函数值符号，结合零点存在性定理确定零点的区间.【详解】由题设，，，，，∴零点所在的区间为（，1）.故选：C2．已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题不正确的是（

）A．函数的两个零点可以分别在区间和内B．函数的两个零点可以分别在区间和内C．函数的两个零点可以分别在区间和内D．函数的两个零点不可能同时在区间内【答案】C【分析】对于A，令，，，即可判断；对于B，令，，，即可判断；对于C，假设函数的两个零点分别在区间和内，得到与矛盾的结论，即可判断；对于D，假设函数的两个零点都在区间内，则会得与矛盾的结论，即可判断.【详解】对于A，由，，令，，，则可得函数的两个零点可以分别在区间和内，故正确；对于B，由，，令，，，则可得函数的两个零点可以分别在区间和内，故正确；对于C，由，且函数的两个零点分别在区间和内，则必有，，与矛盾，故错误；对于D，如果函数的两个零点都在区间内，又因为，则必有，，进而有，与矛盾，所以函数的两个零点不可能同时在区间内，故正确.故选：C.3．已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题知在定义域上是单调减函数，进而分都为负值和讨论可判断出结果.【详解】解：由在上单调递减，y＝log2x在上单调递增，所以，在定义域上是单调减函数，当时，，又因为，，所以，当都为负值，则都大于，当，则都小于，大于.综合可得，不可能成立．故选：C4．已知函数的部分函数值如下表所示：x10.50.750.6250.56250.6321－0.10650.27760.0897－0.007那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（

）A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【答案】B【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.【详解】函数在R上单调递增，由数表知：，由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，所以函数的一个零点的近似值为.故选：B5．已知是函数的零点，则的值（

）A．为正数 B．为负数 C．等于0 D．无法确定正负【答案】B【分析】先确定函数的单调性，再确定函数零点所在的区间，即得解.【详解】解：由题可知单调递增（增函数+增函数=增函数），且，，则，所以所以.故选：B6．表示不超过x的最大整数，例如，，，．若是函数的零点，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用零点存在性定理判断的范围，从而求得.【详解】在上递增，，所以，所以.故选：B7．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据零点存在定理判断．【详解】，，，所以零点在上．故选：D．8．函数的零点所在的区间可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设,,则.分析可得在区间上函数单调递增，利用零点存在定理可以判定零点所在区间，在(0,2]上，函数的单调性不确定，分别考察和的取值范围，可知和，从而可知恒成立，即得在区间(0,2]上没有零点.【详解】设,,则.在区间上，单调递增，单调递减，则单调递增，由于,,∴有唯一零点且零点在区间内；在区间(0,2]上，,,故在区间函数与的图象没有交点，从而函数没有零点，综上可知，A正确，BCD错误，故选：A.【点睛】此题关键点在于分区间研究函数的单调性，在区间(0,2]上函数单调性不易确定或者不单调时，分解为零个具有单调性的函数的差，利用其取值范围判定没有零点.9．函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】函数的零点，即方程的根，也就是两个函数与的交点的横坐标，画出两函数的图象，数形结合得答案．【详解】由，得，作出函数与的图形如图，由图可知，函数的零点个数是2．故选：C．【点睛】本题考查函数零点与方程的根，与两个函数图象交点横坐标之间的转化关系，关键是准确作出函数的图象，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用.10．函数图象上关于坐标原点对称的点有对，则的值为（

）A．无穷多 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】找到关于原点对称的图象的函数解析式,然后考察函数和函数的图象的交点个数即为所求.【详解】解：与的图象关于原点对称，在同一坐标系内作出函数和函数的图象，知两个图象有4个交点.所以函数的图象关于原点对称的点有4对，故选：D.【点睛】本题关键是将问题转化为函数和函数的图象的交点个数问题，其中找到关于原点对称的图象的函数解析式是关键，注意时的函数值为1，且为单调增函数，在时的函数值为1，小于在时的函数值，两函数在之后已经不可能在有公共点了.11．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（

）A．14 B．13 C．12 D．11【答案】C【分析】由，知函数是周期为2的函数，进而根据与函数的图象得到交点个数．【详解】解：因为，所以函数是周期为2函数，因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数的图象，容易得出到交点为12个．故选：C．【点睛】结论点睛：本题考查函数方程思想，数形结合思想，注意周期函数的一些常见结论：若，则周期为；若，则周期为；若，则周期为；另外要注意作图要细致，属于中档题．12．函数则函数的零点个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过对式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数的零点即方程和的根，函数的图象如图所示：由图可得方程和共有个根，即函数有个零点,故选A.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．13．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.【详解】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选：D.14．已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．(0，1)【答案】C【分析】由递增，先求出的范围，再根据恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小范围.【详解】在定义域上单调增，∴，∴，∵在处切线为，即，又故与没有公共点∴与有且仅有一个公共点且为∴在处的切线的斜率必须大于等于1，，，∴，∴，综上：故选：C.【点睛】本题需要通过求导，数形结合，利用切线斜率的不等关系解决问题.15．已知函数在区间上存在零点，则（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先判断函数在上单调，利用零点存在性定理即可求解.【详解】∵在区间上单调且存在零点，∴，∴或．故选：C【点睛】本题考查了利用零点存在性定理求参数的取值范围，需掌握定理的内容，属于基础题.16．已知是函数的一个零点，若则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先求出在区间上单调递增，根据函数的零点的位置，确定，从而得出答案.【详解】函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增则函数在区间上单调递增由于，，则即故选：B【点睛】本题主要考查了根据零点判断函数值的符号，属于中档题.17．已知函数f(x)＝x－tanx，若实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0<t<x0，则f(t)的值()．A．大于1 B．大于0 C．小于0 D．不大于0【答案】B【分析】由函数在f（x）=-tanx（）上单调递减且f（x0）=0可求f（t）的范围【详解】y1=是单调递减，y2=-tanx在（）上也是减函数，可知f（x）=-tanx（）上单调递减∵0＜t＜x0，f（t）＞f（x0）=0故选B【点睛】函数f（x）的零点，是方程f（x）=0的根，也是y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标，结合函数在区间上的单调性，可从数形结合角度理解.18．若函数在区间[a,b]上为单调函数，且图象是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（）A．函数在区间[a,b]上不可能有零点B．函数在区间[a,b]上一定有零点C．若函数在区间[a,b]上有零点，则必有D．若函数在区间[a,b]上没有零点，则必有【答案】D【详解】试题分析：若满足，则函数有唯一零点，若满足，则函数在区间上没有零点，若函数在区间上有零点，必有，若函数在区间上没有零点，必有，故选D．考点：函数的零点19．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用导数判断出函数在区间上为增函数，再解不等式，，即得解.【详解】由题得在区间上恒成立，所以函数在区间上为增函数，所以，，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】探讨函数的单调性，再借助零点存在定理列出不等式求解即得.【详解】函数f(x)定义域是，因函数，在上都是单调递增的，而，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，于是得当时，函数在上连续且单调，因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C21．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．22．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．【点睛】本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．23．用二分法求f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得，f(2)＝－5，，则下列结论正确的是()A．x0∈ B．x0＝C．x0∈ D．x0＝1【答案】C【分析】根据二分法求区间根的方法只须找到满足，结合，f(2)＝－5，可得结论．【详解】根据二分法求区间根的方法只须找到满足由于，所以.故选C.【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法，属基础题．24．方程

的解所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数，根据，可得函数的零点所在的区间为，由此可得方程的解所在区间．【详解】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数.∵，∴∴故函数的零点所在的区间为∴方程的解所在区间是故选C.【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.25．函数在区间（0,1）内的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【详解】试题分析：,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．考点：导函数，函数的零点．26．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：121.51.6251.751.8751.8125-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.【详解】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.27．设函数，若互不相等的实数、、，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围.【详解】设，作出函数的图象如下图所示：设，当时，，由图象可知，，则，可得，由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以，，因此，.故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；（2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.28．已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的图象，应用数形结合法判断不同取值情况a、b、c的大小关系，即可得结果.【详解】由的图象如下：由图知：当时，，D可能；当时，，B可能；当时，，A可能.故选：C29．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D的正误；利用在之间的函数零点的个数即可判断A,B的正误.【详解】设，则，故为奇函数，故C,D错误；而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误，故选：A30．函数对于任意实数，都与成立，并且当时，.则方程的根的个数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程的根的个数.【详解】对任意实数x都有f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），由于f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x）∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为．方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，当时，，当时，函数图象与直线无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个故选A【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．31．设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.当x∈时，g(x)＝xcos(πx)；当x∈时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g＝g＝0，作出函数f(x)，g(x)的大致图象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点，故选B.32．（多选）已知为函数的两个零点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由题意得可得，作图可判断A的正误；构造函数，根据其单调性及零点存在性定理，可判断B的正误；作直线与交于点(，)，代入计算，作图分析即可判断C的正误；代入特殊值，可求得的范围，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】令，则，所以，作出函数和的图象，易知，故A正确；构造函数，则函数单调递增，又，故，故B正确；作直线与交于点(，)，则有，故，故C错误；由于时，，故，又因为，故，所以，故D正确，综上，正确答案为ABD.故选：ABD【点睛】解题的关键是熟练掌握常见函数图象的画法、零点存在的定理等知识，并灵活应用，难点在于需合理构造函数，并代入特殊值检验，考查数形结合，分析求解的能力，属中档题.33．（多选）已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（

）.A． B．C． D．【答案】BD【分析】在同一直角坐标系中画出的图象，可判断AB，然后结合不等式的性质可判断CD.【详解】函数在同一坐标系中的图象如下：所以，所以所以所以，故选：BD34．（多选）已知函数fx=2x−1,x≤1,x−22,x>1,函数有四个不同的零点，，，，且，则（

A．的取值范围是 B．的取值范围是C． D．【答案】AC【分析】结合的图象，由图可知，，，由二次函数的对称性，可得，可得答案.【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．的图象如图所示，由图可知，，，所以，即的取值范围是，由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．故选：AC.35．（多选）已知函数是定义在R上的减函数，实数a，b，满足，若是函数的一个零点，则下列结论中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】首先根据函数的单调性可得出，然后由可得到中有一个函数值为负或三个函数值都为负，从而可判断选项.【详解】因为函数是定义在R上的减函数，且，所以，又，所以中有一个函数值为负或三个函数值都为负，若中有一个函数值为负时，则，此时，故选项C正确；若中三个函数值都为负，则，此时，选项A正确.若，则，此时不满足,故选项B错误；若，则只能得到，不满足，故选项D不正确.故选：AC.36．（多选）已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，，则下列命题正确的是（

）A．函数的两个零点可以分别在区间和内B．函数的两个零点可以分别在区间和内C．函数的两个零点可以分别在区间和内D．函数的两个零点不可能同时在区间内【答案】ABD【解析】由在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，再结合函数图象是连续的，可得到，，进而讨论的正负性，并结合零点存在性定理，可得出答案.【详解】因为函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，又，，所以，，若，可得，，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故B正确；若，则，，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故A正确.综上两种情况，可知选项C错误，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查零点存在性定理的运用，解题的关键是根据零点都可以用二分法求得，可知零点两侧函数值异号，进而讨论的正负性，结合零点存在性定理，可求出答案.考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.37．（多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（）A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有四个解C．方程有且仅有八个解 D．方程有且仅有一个解【答案】AD【解析】通过利用和，结合函数和的图象，逐项分析，即可求解.【详解】对于A中，设，则由，即，当时，则有三个不同的值，由于是减函数，所以有三个解，所以A正确；对于B中，设，则由，即，解得，因为，所以只有3个解，所以B不正确；对于C中，设，若，即，当或或，则或或，因为，所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C错误；对于D中，设，若，即，所以，因为是减函数，所以方程只有1解，所以D正确.故选：AD【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数和图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.38．已知函数，则方程的不同根的个数为____________．【答案】11【分析】设，先解出，再分别求解即可.【详解】设，由得或，解得或或或，（1）当，由得或，解得或；（2）当，由得或，无解；（3）当，由得或，解得或或；（4）当，由得或，解得或或.故不同根的个数为11.故答案为：1139．若函数是定义在上的偶函数,,且,则函数的零点个数为___________.【答案】6【解析】根据为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数的图像.由零点定义可知,令,可得.画出的图像,通过判断与图像交点个数即可判断的零点个数.【详解】因为,即是周期为4的周期函数为偶函数,且,画出函数图像如下图所示:令可得.画出的图像如上图所示:由图像可知,与图像共有6个交点所以共有6个零点故答案为:【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的