欧拉与七桥问题

第七课欧拉“七桥问题”

与拓扑学的诞生一、用连笔画图，下面的图案各要几笔才能完成？二、七桥问题1、哥尼斯堡的七桥

东欧有一条普雷格尔河，在离它入海口不远的地方，有一座古老的城市——哥尼斯堡。普雷格尔河的两条支流——旧河和新河在这里汇成一股，然后再奔向蓝色的波罗的海。河心的克奈发夫小岛上，矗立着壮丽的哥尼斯堡大教堂。这里交通还是挺方便的，因为在河上横跨着7座建筑风格各异的桥连接河岸。克奈发夫岛哥尼斯堡新河旧河普雷格尔河

桥桥桥桥桥桥桥

一年又一年，这7座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，一个有趣的问题在居民中传开，一个旅游者在这里逍遥漫步时，突发奇想：能否经过所有这7座桥而每座桥都只经过一次？这个饶有兴趣的题目，吸引了许多人。少有活泼好动的孩子、长有脚力不济的老人，其中也有哥尼斯堡的老师和大学生们，他们在茶余饭后、在课余空闲，都兴趣盎然地探讨各种可能方案。（1×2×3×4×5×6×7＝5040）可是，把全城人的智慧都加在一起，也没有找出一条合适的路线。哥尼斯堡的“七桥问题”竟成了一道著名的数学难题。

在这难题前一筹莫展的哥尼斯堡的大学生们终于想到了一个人，他们决定写信去向他请教。就这样，这个难题摆到了彼得堡科学院的29岁的欧拉教授面前。2欧拉（1707.4.5——1783.9.18）

1707年，欧拉出生在瑞士一个风景秀丽的城市——巴塞尔城。他的父亲老欧拉是一位乡村牧师，也曾是一位数学爱好者。老欧拉希望小欧拉长大后也当牧师，就把他送进了巴塞尔神学校。可小欧拉对神学老师讲的几乎每一个问题都要穷根究底地问一个为什么，被学校认为是一个不够虔诚的学生。不久，他就被神学校开除了。

欧拉小学时就表现出了他的数学天赋。一天，老欧拉决定扩展家里的羊圈，多养点羊。可眼下缺少篱笆，老欧拉发愁了。小欧拉却不慌不忙劝慰起爸爸来：“篱笆是够的。你看，旧羊圈长70码，宽30码，面积2100平方码。如果改成50码见方的新羊圈，不用添篱笆，羊圈就扩大了400平方码。”这个发现并不稀奇，可小孩子能敏捷地发现这一点，并不容易。欧拉13岁被巴塞尔大学录取，受到著名数学家约翰·伯努利的赏识，对他进行了重点培养。17岁获得数学硕士学位，这在巴塞尔大学的历史上还是头一个！约翰老师将这个“自己最得意的门生”留在了大学里，担任自己的助教1727年，欧拉在丹利尔·伯努利的推荐下，被俄国女皇叶卡特琳娜一世聘请为圣彼得堡科学院的院士。

1741年，俄国的伊丽莎白女皇登基，她藐视科学。欧拉感到在这种环境下无法继续正常的研究工作，于是，他接受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，到柏林科学院物理数学所当所长，在柏林，他一耽就是25年，培养造就了许多数学英才。

1766年，年近花甲的欧拉在俄国女皇叶卡特琳娜二世的再三邀请下，重返阔别了25年的圣彼得堡。前前后后，他任彼得堡科学院的院士达31年之久，以至俄国人视他为本国的数学大师，并以他为自豪。

3推理证明作为一个数学家，欧拉首先是这样思考的：既然问题是要找一条不重复地经过7座桥的路线，而4块陆地无非是桥梁的连接点，那么，不妨把4块陆地看作是4个点，把7座桥画成7条线。七桥问题就简化为能否一笔画出这7条线段和4个交点组成的几何图形的问题了。欧拉的推理①只画一条线的时候，一定只有一起点和一个终点。②如果终点回到起点，就是一个封闭图形，这时起点和终点都是同一点（交点）。这一点可以理解成偶数条线（最少2条）的交点，即：一进一出形成交点。③如果终点不回到起点，就是一个开放图形，这时起点和终点的线就是两个奇数条（起点一条、终点一条）④在画的过程中，还可能出现其他交点，根据②显然可知：所有交点处的曲线（一笔只有画曲线才会相交）一定是一进一出的偶数条。⑤结论★能一笔画出的封闭图形（终点回到起点），交点处的线进出必须是偶数条。★能一笔画出的开放图形（终点不回到起点），只能有两个奇数条线的起点和终点。★故：如果图中有4个、6个、8个……奇数点，则需要画2笔、3笔、4笔……。4延伸：如果图中有7个奇数点，需要画几笔？赛纳河流经巴黎