高三学生与数学建模成绩一般的学生认知比较研究

高三学生与数学建模成绩一般的学生认知比较研究

1基于中等化数学建模认知规律的应用数学建模具有强大的教育功能。许多国家将数学建模视为高中数学内容的重要组成部分。在这种背景下，2003年出版的《普通高等职业规划标准》（实验）也将数学建模纳入了高中数学课程。近年来的教育实践表明，中国的数学建模课程在实施过程中取得了一些成果，但其效果并不理想。主要原因之一是缺乏对高中生数学建模的认知规律的研究，因此很难为数学建模课程的设计和实施提供必要的认知心理学指导。近年来，对学生数学建模的认知进行了一系列研究[3.7]，根据相关研究，提出了一些大学数学建模的教育原则和策略。本文在此基础上，根据上述研究经验和方法，从不同层次的高中生数学建模的认知特征中得出结论，并取得了一些初步成果。该文件使用口语报告方法和专家级比较方法，试图比较不同层次高中生数学建模的不同认知特征，阐明不同层次高中生数学建模的不同认知特征和区别，科学有效地设计和实施数学建模教育，提高数学建模的教育效果。2方法2.1选取材料:选取总体情况选取江苏和广东两省4所普通高中,其中,高水平学校和一般水平学校各两所,在每所学校高中三年级各选一个班共218名学生,实施“数学建模测试(团体)”测试,从中选取测试成绩最好的15名作为优生被试,从测试成绩排序中位于73%~27%之间的学生中随机选取15名作为一般生被试.2.2测试材料特点依据口语报告测试时间与形式的特点和要求,初拟了8个数学建模问题,经征求数学建模专家和任课教师的意见,对初拟问题进行筛选、调整与改进,形成了由6个数学建模问题构成的测试材料.前两题为练习题,后四题为测试题,其中第3题为简单题,第4题为中等题,第5、6题为复杂题.对第6题只要求被试说出思路,不要求完整求解,其结果不纳入统计范围,只作为分析被试思路特点的背景性参考材料.测试材料的指导语为:“请你大声读题,在解题过程中,自己怎么想就怎么说,不用说为什么这样做,但要将自己的思考过程大声说出来,我进行录音,以便知道你是如何做题的”.2.3数学建模口腔报告材料(1)口语报告练习.主试事先向被试说明指导语要求,并以测试材料第1题进行口语报告示范,然后请被试用第2题作口语报告测试练习.如果被试在数学建模过程中出现较长时间的停顿,主试则提示他(她):“你在想什么?”“请把你想的都说出来”,以促使其出声思考,提供及时、连续、完整的口语报告.(2)口语报告测试.在被试观摩、练习至适应数学建模口语报告测试后即进行正式测试,时间长短不限.被试完成解题(或放弃解决)后,主试记录其所用时间,并及时要求被试回顾与叙述数学建模的思路与过程,对过程中的语义不详、不清之处进行必要的提问与访谈.(3)口语资料整理.施测完毕后,主试将每位被试的口语报告录音材料整理成初步的文本,然后,将初步的文本与录音、纸笔测试及访谈记录材料等内容进行反复核对和补充,形成完整的、文本形式的数学建模口语报告材料.(4)材料比较分析.运用专家—新手比较方法,对优生被试(视为专家被试)和一般生被试(视为新手被试)的数学建模口语报告材料进行比较分析,从数学建模的问题表征、策略运用、建模思路、解题结果、求解效率等认知方面对每位被试的数学建模口语报告材料进行分析,并依优生被试与一般生被试分类统计,比较两类被试数学建模的认知特点.3结果3.1数学建模的程序性知识与方法基于被试数学建模口语报告材料,对优生与一般生数学建模问题表征方式、广度和方法方面进行分析与统计比较,结果见表1.依据对被试口语报告材料的分析认为,被试数学建模问题的表征方式包括符号表征、方法表征和机理表征.所谓数学建模的符号表征是指对数学建模问题从文字言语、图形图像、数学符号层面进行理解与解析,是关于数学建模问题的陈述性知识的提取与理解;所谓数学建模的方法表征是指对数学建模问题从策略和方法层面进行理解与解析,是关于数学建模问题的程序性知识的提取与理解;所谓数学建模的机理表征是指对数学建模问题从问题所蕴含的结构和所需原理层面进行理解与解析,是关于数学建模问题的原理和范畴的知识与结构的激活.符号表征是对数学建模问题最浅层次的解析,机理表征是对数学建模问题最深层次的解析,方法表征是介于二者之间的表征层次.表1表明,优生与一般生的数学建模问题表征方式存在显著差异.尽管二者均使用了符号表征方式和方法表征方式,但优生使用机理表征方式的题次数明显多于一般生.依据对被试口语报告材料的分析认为,被试数学建模问题的表征广度可以分别用多元表征和单一表征来刻划.所谓多元表征是指建模者采用阅读、数据化、图表化、符号化等多种表征形式来感知和理解数学建模问题的信息、内涵和结构;所谓单一表征是指建模者仅仅采用阅读、符号化、数据化、图表化等表征形式中的一种表征形式来感知和理解数学建模问题.表1表明,优生与一般生在数学建模问题表征广度上存在显著差异,优生更多地采用多元表征形式,而一般生则倾向于采用单一表征形式.依据对被试口语报告材料的分析认为,被试数学建模问题的表征方法包括循环表征和单向表征两种方法.所谓循环表征方法是指被试在数学建模的过程中多次、反复地进行问题表征;所谓单向表征方法是指被试在问题理解阶段进行问题表征后,不再重复进行问题表征.表1表明,优生与一般生在数学建模问题表征方法上存在显著差异,优生倾向于运用循环表征方法;一般生倾向于运用单向表征方法.3.2数学建模构建策略基于被试数学建模口语报告材料,对优生与一般生在数学建模过程诸环节所用策略类型进行分析与统计比较,结果见表2.由表2可知,优生与一般生在数学建模假设策略、数学模型构建策略、数学建模自我监控策略、数学建模检验策略及数学建模调整策略的运用方面均存在显著差异.数学建模假设策略是指在数学建模过程中,为现实问题的情境、条件和目标的明晰化与理想化而进行假设时所运用的策略.通过对被试口语报告材料的分析,可以将被试所运用的数学建模假设策略分为可行性假设策略、精确性假设策略和平衡性假设策略.所谓可行性假设策略是指建模者为了追求数学建模问题解决的可行性而对现实问题作出近似而简单化的假设的策略.采取此种策略倾向于作出过于简单的假设而可能导致所建模型与实际问题存在一定偏差;所谓精确性假设策略是指建模者为了追求数学建模问题解决的精确性而对现实问题作出尽可能精确而符合实际的假设的策略.采取此种策略可能会因作出过于繁杂的假设而致使建模过程与结果非常复杂甚至难以实现;所谓平衡性假设策略是指建模者为了兼顾数学建模问题解决的可行性和精确性而对所要解决的现实问题作出精似适度而均衡的假设的策略.采取此种假设策略既有利于数学建模的顺利进行,又有利于较好地解决现实问题.表2表明,优生倾向于采用平衡性假设策略,一般生倾向于采用精确性假设策略,但优生与一般生在可行性假设策略运用方面未呈现显著差异.数学建模构建策略是指在数学建模过程中为现实问题的模型化所运用的策略.通过对被试口语报告材料的分析,可以将被试所运用的数学模型构建策略分为模式识配策略、样例类比策略和即时生成策略.所谓模式识配策略是指建模者在构建数学模型时,从头脑已有问题图式中搜索相关问题与当前问题相比配,从而识别当前问题的类型并直接运用该问题所建模型或建模方法的构建策略;所谓样例类比策略是指建模者在构建数学模型时,类比头脑中与当前问题在问题模式、建模方法、现成模型等方面相似的样例建立数学模型的构建策略.即在数学建模过程中回想自己过去曾经成功解决过的、与当前问题较类似的问题,分析以前的问题情境与当前问题所具有的一致性和不同之处,并尝试将以前建模问题的思路、方法或结果经改造后运用到当前数学建模问题之中;所谓即时生成策略是指建模者在进行数学模型构建时,针对当前问题,自由开展思维活动探索数学模型的构建策略.表2表明,优生倾向于采用样例类比的构建策略,一般生倾向于采用即时生成的构建策略,但优生与一般生在模式识配的构建策略运用方面未呈现显著差异.数学建模自我监控策略是指在数学建模过程中建模者对自己的数学建模认知活动进行计划、检查、评价、反馈、调节和控制的策略.通过对被试口语报告材料的分析,可以将被试所运用的数学建模自我监控策略分为即时监控策略、选择监控策略和回顾监控策略.所谓即时监控策略是指建模者在数学建模过程中时刻监视、控制自己数学建模的每一步骤和结果的策略;所谓选择监控策略是指建模者在数学建模过程中有选择地监视、控制自己数学建模的某些步骤和结果的策略;所谓回顾监控策略是指建模者在初步完成数学建模后监视、控制自己数学建模的所有步骤和结果的策略.表2表明,优生倾向于运用即时监控策略,一般生倾向于运用回顾监控策略和选择监控策略.数学建模检验策略是指在数学建模过程中建模者确认所建构的数学模型及建模结果的正确性、合理性所运用的策略.通过对被试口语报告材料的分析,可以将被试所运用的数学建模检验策略分为数据检验策略、理论推演策略和直觉判断策略.所谓数据检验策略是指建模者通过检验建模过程中所涉及的(或相关的)数据以确认所建构数学模型及建模结果的正确性与合理性的检验策略;所谓理论推演策略是指建模者通过检验数学建模已有理论推导步骤以确认所建构数学模型及建模结果的正确性与合理性的检验策略;所谓直觉判断策略是指建模者运用直观感觉判断数学建模过程与结果的正确性与合理性的检验策略.表2表明,优生被试倾向于运用直觉判断策略和理论推演策略,一般生倾向于运用数据检验策略.数学建模调整策略是指在数学建模过程中建模者在确认遇到障碍或错漏后对数学建模的某些步骤进行调整的策略.通过对被试口语报告材料的分析,可以将被试所运用的数学建模调整策略分为假设调整策略、建模方法调整策略和模型求解调整策略.所谓假设调整策略是指建模者在确认建模过程遇到障碍时对此前所做的数学建模假设实施调整的策略;所谓数学建模方法调整策略是指建模者在确认数学建模过程遇到障碍时对该问题此前所用建模方法进行调整的策略;所谓模型求解策略是指建模者在确认或察觉数学建模结果与实际问题存在一定偏差时对该问题所建模型的求解方法与过程进行调整的策略.表2表明,优生倾向于运用假设调整策略和建模方法调整策略,一般生倾向于运用模型求解调整策略.3.3优秀数学建模思路转换总体情况基于被试数学建模口语报告材料,对优生与一般生数学建模思路、结果及所耗时间进行分析与统计比较,结果如表3所示.由表3可知,优生与一般生在数学建模思路、结果和效率方面存在显著差异.优秀数学建模思路转换人次多于一般生,表明优生具有比较灵活的数学建模思路;一般生与优生在思路定势方面存在显著差异,一般生思路定势人次显著多于优生,表明一般生在数学建模过程而受思维定势的影响较大;优生与一般生在数学建模结果上也存在显著差异,优生获得数学建模正确(合理)结果的人次明显多于一般生,一般生获得错误(不合理)结果的人次明显多于优生,优生中途放弃数学建模的题次数明显少于一般生;优生与一般生在数学建模效率方面也存在显著差异,优生完成简单的和中等难度的数学建模均题次耗时显著少于一般生,表明优生的数学建模效率显著高于一般生.4讨论4.1创建基于机理表征的方法研究发现,优生与一般生的数学建模问题表征方式存在差异.优生和一般生虽然均运用符号表征和方法表征,但优生更多地运用机理表征,而且能灵活运用符号表征、方法表征和机理表征3种表征方式,先采用符号表征感知理解问题基本信息,继而采用机理表征抓住问题关键,进而采用方法表征搜索与选择数学建模解决思路与方法;而一般生往往在运用符号表征后直达方法表征,很少采用机理表征,即使采用机理表征,其机理分析也比较模糊和笼统,难以有效指导其建模思路的形成.事实上,机理表征是将数学建模问题的构成要素进行整合并纳入特定理论范畴与框架的过程,是解决数学建模问题的关键,是区分被试数学建模表征水平差异的关键指标.优生能够在具有较强概括性、抽象性和迁移性的机理表征指导下,对问题特定信息与条件实施有效的搜索和选择,正确而迅速地识别问题模式,进而找到合理的数学建模路线;而一般生由于难以以机理表征为指导,因而表征比较琐细而零乱,往往难以发现正确的数学建模思路.已有研究[10~12]发现,不同的问题表征方式对问题解决的过程与结果产生不同影响,所采用的问题表征方式是影响问题解决效率的重要因素.4.2问题图式的影响研究发现,优生与一般生在数学建模假设策略、数学模型构建策略、数学建模自我监控策略、数学建模检验策略、数学建模调整策略等方面均存在显著差异.已有研究表明,图式的丰富程度与层级水平影响着表征的质量,而表征的质量影响着策略选择的优劣,图式以表征为中介影响策略的搜索、选择、生成与执行,在问题解决中获得图式的层级越高,策略水平也越高.由于拥有丰富的认知图式,优生对数学建模问题实施多元化、多层次的表征,形成了从符号表征到机理表征直至方法表征的系统化的问题表征体系,从而为数学建模策略的激活、搜索、生成与运用提供了前提与基础.优生的问题图式比较丰富,有大量的问题模式可供借鉴和类比,因此,在构建数学模型时往往先采用模式识配策略,如无现成模型可用,则运用样例类比策略搜索问题图式中与当前问题相似或相关的问题模式,分析并借鉴其问题结构、所建模型与所用方法,从而获得当前问题的建模思路与方法;而一般生在构建数学模型时,尽管也先采用模式识配策略,但由于其问题图式比较贫乏,难以成功搜索到可用的现成问题模式,也很难找到与当前问题相似或有关的样例问题,在运用模式识配策略失败后常常运用即时生成策略构建模型,此时,他们往往在知识图式中盲目搜索,而又很少有问题模式与方法可供参照,因此很难找到数学建模的正确思路与方法.优生在数学建模遇阻后通常首先考虑所作假设是否存在问题,并尝试改变假设或增加新假设,也可能维持原假设而分析和调整建模方法;而一般生在数学建模遇阻后往往尝试检验和调整模型求解方法而忽视对所作假设和建模方法的检视与调整.其实,运用假设调整策略和建模方法调整策略能有效提高数学建模的成功概率.4.3基于知识单元的互通性研究发现,优生与一般生在数学建模的思路、结果及效率方面存在显著差异.这些差异可能是由于被试在数理认知结构、表征水平、信息加工方式、数学建模策略运用水平等因素共同作用的结果.专家和新手认知图式的差异是造成专家和新手问题解决能力差异的根本原因.优生的数理认知结构中蕴含着丰富的认知图式,而且认知图式中包含大量与特定领域有关的程序性知识,在数学建模思维活动中,相关的认知图式一旦被激活,就能引导他们以特定的方式搜索数学建模的问题空间,寻找数学建模问题的有关特征,从而较易形成数学建模问题解决的程序和方法;而一般生的数理认知结构中所蕴含认知图式较少,而且其认知图式中的知识很少被组织,知识单元联结松散,所含相关领域的陈述性知识和程序性知识也较少,因而往往只能形成基于数学建模问题表面相似性的简单的问题表征,从而难以发现有效的数学建模问题解决程序和方法.被试对数学建模问题的表征水平决定了其数学建模策略的选择与运用,而策略的选择与运用是否得当将直接影响建模者形成的数学建模思路的合理性、有效性和正确性,最终影响数学建模求解的过程与结果.优生认知图式中的知识被良好组织、知识单元间高度联结,包含有关领域的陈述性知识,他们能够在问题解决中形成基于问题结构相似性的、复杂的问题表征,从而为策略的正确选择与运用提供了重要基础.优生与一般生在信息加工方式方面存在差异,优生在处理有关信息时,能较快地从长时记忆系统中提取已贮存信息进行加工和求解.已有研究表明,专家和新手对问题的注意与编码方式不同,新手是根据表面结构来知觉问题,而专家则是根据问题解决时使用的规则或原理来解决问题.由对数学建模口语报告材料的分析可知,优生的口语报告比较简略,几个步骤几乎是一气呵成,这可能是由于许多中间步骤未在短时记忆中出现而报告不出来所致,表明他们在处理新信息时,能很快的从长时记忆系统中提取相关信息进行加工,迅速作出应答.优生解题所用时间显著少于一般生被试,这可能与其在数学建模求解过程中某些环节的“自动化”有关,使求解过程中许多中间步骤未在短时记忆中出现.而一般生在数学建模求解过程中随时有意识地注意每个条件及其与操作之间的关系,特别是对中间环节的注意更加明显,从而增加了建模步骤,延长了建模解题时间,降低了建模解题的效率.而优生之所以在解决复杂数学建模问题上所用时间则多于一般生,是因为一些一般被试中途放弃了对建模问题的探索.学生在数学建模策略的选择与运用水平直接决定了其所用数学建模策略的有效性,进而影响其数学建模思路的合理性与有效性,最终影响其数学建模的思路、结果和效率.4.4测试结果的分析为增强对数学建模口语报告材料分析的客观性,先后两次(间隔3个月时间)分别从数学建模的问题表征、策略运用、建模思路、解题结果与求解效率等方面对被试数学建模口语报告材料进行鉴别、归类与统计分析,结果表明,两次分析的一致性系数为0.902,表明研究所用测试材料具有较高信度.为确保运用口语报告分析方法和专家—新手比较方法能有效探析优生与一般生数学建模的认知特点以及可能存在的差异,在编制数学建模测试材料时进行了多次预测和访谈,曾多次调