工学结构力学第九讲

第九章虚功原理和结构的位移计算9.1结构位移计算概述

一、结构的位移(DisplacementofStructures)A位移转角位移线位移A点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角P9.1结构位移计算概述

一、结构的位移(DisplacementofStructures)AP引起结构位移的原因制造误差等荷载温度改变支座移动铁路工程技术规范规定:

二、计算位移的目的(1)刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求（3）理想联结(IdealConstraint)。三、本章位移计算的假定叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),四、计算方法单位荷载法

(Dummy-UnitLoadMethod)9.2变形体虚功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)功：力对物体作用的累计效果的度量功=力×力作用点沿力方向上的位移实功：力在自身所产生的位移上所作的功虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功6.2变形体虚功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)力状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（3）位移状态与力状态完全无关；二、广义力、广义位移一个力系作的总虚功

W=P×

P---广义力;

---广义位移例:1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力PPP

刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。三、刚体体系的虚功原理PΔ2Δ3Δ/2虚功原理的应用：1）虚设位移求未知力（虚位移原理）2）虚设力系求位移（虚力原理）原理的表述：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。四、变形体系的虚功原理说明：（1）虚功原理里存在两个状态：

力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。（2）原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。

（3）原理应用：虚设位移求未知力（虚位移原理）虚设力系求位移（虚力原理）ds微段的变形可分为:d

dsdd1Pq2N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMds微段内力在变形位移上所作虚功：对于杆系结构，内力所作虚功：外力所作虚功：由变形体虚功原理：虚功原理应用举例例.求A

端支座发生竖向位移c

时引起C点的竖向位移

.解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。由得：解得：

这是单位荷载法

。虚功方程为：ABaCbc1ABC9.3单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式

虚设力状态。在求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.欲计算位移状态某位移。由变形体虚功原理：

该式是结构位移计算的一般公式。

1)适用于静定结构和超静定结构。

2)适用于产生位移的各种原因、不同的变形类型、不同的材料。

3)该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。P=1虚拟力状态11RP1P2t1t2位移状态2c1KΔKHK9.4荷载作用下的位移计算适用于线弹性体系1.梁与刚架2.桁架3.组合结构4.拱例如:

A求△AH实际状态虚拟状态A1

A求

A1虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态B

求△AB11B

求

AB11在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚相应的广义单位荷载。

例1

求图示刚架A点的竖向位移△Ay。E、A、I为常数。ABCqLLA`实际状态虚拟状态ABC1解：1.设置虚拟状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：x,BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx3.代入公式得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx例2求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载MP（x1）=Px/20≤x≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x≤l0≤x≤lEIdsMMlPB0=òj2）MP须分段写m=1Pl/2l/2EIABx1x2解：例3求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.梁与刚架荷载作用下的位移计算公式：9.5图乘法如何利用弯矩图，使其计算得以简化？一、图乘法的公式(EI为常数)(直杆)图乘法求位移公式为:1.图乘法的应用条件：（1）杆轴为直线；（2）EI为常数；（3）两个弯矩图中应有一个是直线图形。2.图乘法的注意事项（1）必须符合上述三个前提条件；（2）竖标yC只能取自直线图形；（3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。例.试求图示梁B端转角.解:

求

取

yc的图形必须是直线,不能是曲线或折线.能用

M图面积乘MP图竖标吗?例.试求图示结构B点竖向位移.解:二、几种常见图形的面积和形心的位置(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4顶点顶点

例

求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。ABCDLhq解：1.作实际状态的MP图。MP图2.设置虚拟状态并作。11hhyC=h3.按公式计算（→←）∆CD=∑EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2

形心（

）图图例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:BAq三、图形分解求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角根据弯矩区段叠加的做法，复杂图形均可化为简支梁相应荷载作用的叠加。qBA9.6温度作用时的位移计算

上、下边缘的温差:设线膨胀系数为温度沿杆件截面高度线性变化。α静定结构温度变化有形变无内力一、微段的温度变形分析若轴线温度二、温度变化时位移计算温度引起的位移计算公式:对等截面直杆:若和使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正，反之为负。轴力拉为正，t0

升温为正。例：刚架施工时温度为20

，试求冬季外侧温度为

-10

，内侧温度为

0时A点的竖向位移。已知

l=4m,,各杆均为矩形截面杆，高度

h=0.4m解：设单位力。MllAANA9.7

支座移动时的位移计算

计算公式为:静定结构支座移动有位移无内力K1K例1:求解：设单位力；求支反力。CBAll静定结构位移计算小结1.产生位移的原因荷载作用；温度改变；支座移动；制造误差等。2.计算方法基本原理:变形体虚功原理;基本方法:单位荷载法;计算思路:(1)虚设单位力;

(2)分析结构位移、变形位移；

（3）得出实用位移计算公式；

（4）具体位移计算。9.8线弹性结构的互等定理1.功的互等定理:

在线性变形体系中，①状态的外力在②状态位移上所做虚功，恒等于②状态外力在①状态位移上所做虚功。应用条件:1)σ<σP;2)小变形。即:线性变形体系。N1

M1

Q1N2

M2

Q2F1F2②P1P2①2.位移互等定理

由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12

。PPD=D212121若：P1=1，P2=1注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。

2）δ12与δ21不仅数值相等，量纲也相同。②P2P1①Δ21Δ123、反力互等定理