大学物理-电荷和静电场

1§10-3高斯定理§10-1电荷和库仑定律第十章电荷和静电场§10-2电场和电场强度§10-4电势及其与电场强度的关系§10-5静电场中的金属导体§10-6电容和电容器§10-7静电场中的电介质§10-8静电场的能量2§10-1电荷和库仑定律一、电荷(charge)

原子是电中性的，原子核中的中子不带电、质子带正电、核外电子带负电，并且所带电量的绝对值相等。自然界中有两种电荷：正电荷、负电荷。密立根（R.A.millikan)用液滴法测定了电子电荷，电子是自然界中存在的最小负电荷,2002年的推荐值为：e

=1.60217653×10-19C3

实验证明微小粒子带电量的变化是不连续的，它只能是元电荷e

的整数倍,即粒子的电荷是量子化的：

Q=ne;n=1,2,3,…

电荷量子化是个实验规律。

在近代物理中发现强子(如质子、中子、介子等)是由夸克(quark)构成的，夸克所带电量为e的1/3或2/3。但是到目前为止还没有发现以自由状态存在的夸克。电量的最小单元不排除会有新的结论，但是电量量子化的基本规律是不会变的。

在相对论中物质的质量会随其运动速率而变化，但是实验证明一切带电体的电量不因其运动而改变，电荷是相对论性不变量。4二、库仑定律(Coulomblaw)

真空中两个静止的点电荷之间的作用力（静电力），与它们所带电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比，作用力沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。自身线度与带电体之间距离相比很小的带电体库仑(1736-1806)法国工程师、物理学家5是国际单位制中的比例系数（为真空电容率）注意：只适用两个相对于观察者为静止点电荷之间，并满足牛顿第三定律。6

自然界存在四种力：强力、弱力、电磁力和万有引力,把10-15m的尺度上两个质子间的强力的强度规定为1,其它各力的强度是：电磁力为10-2，弱力为10-9，万有引力为10-39。在原子、分子的构成以及固体和液体的凝聚等方面，库仑力都起着主要的作用。7解

例在氢原子内,电子和质子的间距为

.求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小.（微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）8三、静电力的叠加原理

作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。数学表达式离散状态点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电荷单独存在时对该电荷作用的矢量和。9例：三个点电荷q1=q2=2.0×10-6C,Q=4.0×10-6C，求q1

和q2

对Q的作用力。解：

q1

和q2对Q的作用力的方向虽然不同，但大小相等：由对称性可以看出两个力在y方向的分力大小相等，方向相反而相互抵消，Q仅受沿x方向的作用力：q1q2Qyxor1r20.30.30.4θFxF1F2Fy10连续分布11§10-2电场和电场强度一、电场(electricfield)

在电荷周围空间存在一种特殊物质，它可以传递电荷之间的相互作用力，这种特殊物质称为电场。静止电荷周围存在的电场，称静电场，这就是所谓的近距作用。电荷电场电荷

实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，但其相互作用是怎样实现的？实物物质

场12真空中电荷周围存在着静电场用、来分别描述静电场的上述两项性质静电场对外表现有两个特性：（1）力的特性：场中任何带电体都受电场力作用（2）功的特性：带电体在电场中移动时，场对带电体做功（动量传递）（能量传递）

实验表明电场具有质量、动量、能量，体现了它的物质性。13二、电场强度(electricfieldintensity)

电场中某点处的电场强度

等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受力方向.（试探电荷为点电荷、且足够小,故对原电场几乎无影响）：场源电荷：试探电荷

单位

电场强度与试探电荷无关，反映电场本身的性质。14

电荷在电场中受力

于是电场强度反映了电场的力性质。应用利用电场加速带电粒子利用电场使带电粒子偏转++----+q++---+++++++q+++---++++---+++++15三、电场强度的计算1.点电荷的电场强度位矢

求场点O

场源F

正电荷负电荷162.多个点电荷产生的电场电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。若空间存在n个点电荷q1,q2,…,qn

求它们在空间电场中任一点P的电场强度：ri是点P相对于第i个点电荷的位置矢量。E3E2E1173.任意带电体产生的电场将带电体分成很多电荷元dq,先求出它在空间任意点

P的场强对整个带电体积分,可得总场强：以下的问题是引入电荷密度的概念并选取合适的坐标，给出具体的表达式和实施计算。P＋＋＋＋＋＋＋＋18任意带电体19连续带电体产生的电场：其电场看成由许多点电荷产生电场的叠加具体的解题步骤：①、画出示意图，选取适当的电荷元；②、建立坐标系，将电荷元的电场强度分解；③、确定积分的上下限，积分后合成。20例1.

电偶极子的电场是由电介质极化，电磁波的发射、接收，中性原子间相互作用……总结出的理想模型.分子分子无外场电偶极子：相距很近的等量异号电荷描述其性状－电偶极矩：21

讨论（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度22

（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度23例2：求距离均匀带电细棒为a的p点处电场强度。

设棒长为L,带电量q，电荷线密度为l

=q/L解：选坐标并任取一小段dq如图，其中apa

b

由图可知在xy平面上p点的场强dE可分解成x方向和y方向的两个分量:dEτdEyθdxl24场强的x分量:场强的y分量:

当y<<L时为无限长均匀带电细棒a=0,b=p,p点的电场强度只有y分量方向垂直于细棒。讨论:25

解：在圆环上任选dq，引矢径r至场点，由对称性可知，p点场强只有x分量例3：均匀带电圆环轴线上一点的场强。设圆环带电量为q，半径为R。当所求场点远大于环的半径时，方向在x轴上，正负由q的正负决定。说明远离环心的场强相当于点电荷的场。dE//dE⊥26例4：均匀带电圆盘轴线上一点的场强。设圆盘带电量为，半径为。解：带电圆盘可看成许多同心的圆环组成，取一半径为r，宽度为dr的细圆环带电量：pE27在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是均匀场，场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定。讨论：1.当时讨论：2.当时28§10-3高斯定理一、电场线(electriclineoffield)

在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，这一组曲线称为电场线。

通过无限小面元dS的电力线数目dN与dS

的比值称为电力线密度。我们规定电场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度。dS注意：dS是垂直E的29总结：方向大小：：切线方向=电场线密度电场线性质：

（1）起于正电荷(或无限远)，止于负电荷(或无限远)；（2）不闭合，也不在没有电荷的地方中断；（3）两条电场线在没有电荷的地方不会相交。30点电荷的电场线正点电荷+负点电荷31一对等量异号点电荷的电场线+32一对等量正点电荷的电场线++33一对不等量异号点电荷的电场线34带电平行板电容器的电场线++++++++++++

35二、电场强度通量(electricflucx)

通过任一面积元的电场线的条数称为通过这一面积元的电场强度通量。（简称电通量）

均匀电场，垂直平面

均匀电场，与平面夹角36

非均匀电场强度电通量

为封闭曲面37

闭合曲面的电场强度通量

例1

如图所示，有一个三棱柱体放置在电场强度的匀强电场中.求通过此三棱柱体的电场强度通量.规定：法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。38解39解：例2：在均匀电场中，通过平面的电通量是多少？40求均匀电场中一半球面的电通量。课堂练习41例EEnnRqqqq圆面非封闭半球面ef2pREef2pREef2pRE匀强efqcosdsEsEdss封闭半球面封闭球面任意封闭曲面nnnnnEnnnn匀强E非匀强sefEds0ef0ef0即进、出同一封闭面的线数目相等，总通量均为零。E42例封闭球面中心有点电荷E+qqrrnqe04pr24pr2he0qefEdssEef-qqrrn同理可得qe0e0qq用负值带入+qqs12sss12ss对球面对球面对包围的任意封闭曲面q：：必有efqe0efqe0efqe043三、高斯定理（Gausstheorem）e0qefef0+qsEef通过任意封闭曲面的通量sE回顾前例内q在sq在外s+Eqs高斯定理将给出更普遍的表述44

在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以.（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）高斯定理请思考：1）高斯面上的与那些电荷有关？2）哪些电荷对闭合曲面的有贡献？45高斯(Gauss,1777-1855),德国数学家、天文学家和物理学家，有“数学王子”美称46+（1）点电荷位于球面中心高斯定理的导出高斯定理库仑定律电场强度叠加原理与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。47讨论：c、若封闭面不是球面，积分值不变。电量为q的正电荷有q/

0条电力线由它发出伸向无穷远电量为q的负电荷有q/

0条电力线终止于它+qb、若q不位于球面中心，积分值不变。48(2)

场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。+q因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线从面内出来。49(3)场源电荷为点电荷系(或电荷连续分布的带电体)，高斯面为任意包围点电荷系的闭合曲面50（4）多个点电荷q1,q2,…,qn，其中k个被任意闭合曲面S所包围，另外n

k个处于S面之外：根据上一条的证明，闭合曲面S外的n

k个电荷对S面的电通量无贡献，S面的电通量只决定于其内部的k个电荷，并应表示为

（6）任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体这时可以把带电体划分成很多很小的体元d

，体元所带的电荷dq=

d

可看作点电荷，与上面第3条的结果一致，这时S的电通量可表示为51外sEds0efsEds0qs在2ef112内efsEdsefsEefsEe0dse0dse0qs在i13ii2i1i23iqi1qi2qi3efsEEdse0sEdse0()+()E1+)总E2+Ei1+i2+3iqi1+qi2+qi31qiS通过任意封闭曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01+-++-s任意封闭曲面（简称高斯面）q1q1iq3iq2iq2在真空中通过任一封闭曲面的电通量该曲面内电荷电量的代数和除以e0注意EqiS及在面ss内、外ds的合场强一切电荷的面元处s内的电荷电量的代数和52++-+-q1q1iq3iq2iq2s任意封闭曲面通过任意封闭曲面的通量sEqisefEdssqcosdsESe01s内的电荷电量的代数和在面ss内、外ds的合场强一切电荷的面元处Q任意带电体s内的电荷电量的代数和dqQ积分（简称高斯面）53高斯定理1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度.4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献.电通量与面外电荷无关2）高斯面为封闭曲面.5）高斯定理反映了静电场的基本性质-静电场是有源场.3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.总结

=0，不一定面内无电荷，有可能面内电荷等量异号。

=0，不一定高斯面上各点的场强为0。54四高斯定理的应用

其步骤为：1）对称性分析；2）根据对称性选择合适的高斯面；3）应用高斯定理计算.（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）3.高斯面上所有各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致；或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。2.高斯面应选取规则形状。1.高斯面要经过所研究的场点。目的是将E从积分号中提出来。551.均匀带电球面的电场4.均匀带电球体的电场3.均匀带电无限大平面的电场2.

均匀带电圆柱面的电场5.均匀带电球体空腔部分的电场电荷分布具有较高的空间对称性的带电体56例：求半径为R的均匀带电球体在球内外各点的场强分布。设球体电荷密度为r

，总电量为Q。解：因为电荷分布具有球对称性。固选取同心的球面为高斯面。QRr57++++++++++++例均匀带电球壳的电场强度

一半径为,均匀带电的薄球壳.求球壳内外任意点的电场强度.解（1）（2）58+++++例无限长均匀带电直线的电场强度选取闭合的柱形高斯面

无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为，求距直线为处的电场强度.对称性分析：轴对称解+59++++++60++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++例无限大均匀带电平面的电场强度

无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为，求距平面为处的电场强度.选取闭合的柱形高斯面对称性分析：

垂直平面解底面积++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++6162讨论无限大带电平面的电场叠加问题63一、静电场属于保守场

(conservativefield)点电荷

从

P经任意路径到

Q点，电场所作的功为：θrQPQcrP

在点电荷q的场中移动试探电荷q0，求电场力作的功：电场力所做的功只与始点和末点的位置有关§10-4电势及其与电场强度的关系64任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成，

由场强叠加原理可得到电场强度

E=E1+E2+…+En，

试探电荷q0从P移动到Q，电场力作的功为：

任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只与起始和终了的位置有关，而与路径无关。这一特性说明：

静电场是保守场

。推广结论65静电场的环路定理abcd即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零。q0沿闭合路径acbda一周电场力所作的功在静电场中，电场强度的环流恒为零。

——静电场的环路定理静电场的两个基本性质：有源且处处无旋66二、电势能、电势差和电势

静电场是保守场，可引入仅与位置有关的电势能概念。用WP和WQ分别表示

试探电荷q0在电场中P点和Q点的电势能。电场力对试探电荷q0所作的功可以表示为

实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须选择一个电势能为零的参考点。一般零电势选在无穷远

试验电荷在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值.67电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的.

电场中P、Q两点间的电势差就是单位正电荷在这两点的电势能之差，等于单位正电荷从点P移到点Q电场力所作的功。电势差也称电压。由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)称为电场中P、Q两点的电势差，并用VP

VQ来表示，

于是有68我们把VP

和VQ

称为点P和点Q的电势，显然它们分别等于单位正电荷在点P和点Q的电势能。

为了确定某点的电势，应选择一个电势为零的参考点。当电荷分布在有限空间时，可选择无限远处的电势为零。在实际问题中，常选择大地的电势为零。电势能零点的选择与电势零点的选择是一致的

电场中某点P的电势，等于把单位正电荷从P点经任意路径移动到无限远处时，静电场力所作的功。电势(electricpotential

)是标量，单位为伏特（V

）

也称为焦耳/库仑，即1V=1J/C69三、电势的计算

(electricpotential)1.点电荷产生的电场中的电势分布

可用场强分布和电势的定义直接积分。

负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低。702.在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势：

空间有n个点电荷q1,q2,…,qn

，求任意一点P的电势。由于点P的电场强度E等于各个点电荷单独在点P产生的电场强度的矢量之和。所以点P的电势可以用电势的叠加原理表示。在多个点电荷产生的电场中,任一点的电势等于各个点电荷单在该点所产生的电势的代数和。71体密度为r的带电体面密度为s的带电体线密度为l的带电体

可以把带电体看为很多很小电荷元的集合体。它在空间某点产生的电势，等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和。

P＋＋＋＋＋＋＋＋3.在任意带电体产生的电场中任意一点的电势72

根据已知的场强分布，按定义计算（对于电荷分布具有一定对称性的问题，往往先利用高斯定理求出电场的分布，然后通过电势定义计算）

由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算电势的两种常用计算方法电势叠加法电势定义法73

带电体连续分布（利用了点电荷电势，这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.）

带电体离散分布2023/9/274例1

、求电偶极子电场中任一点P的电势由叠加原理其中2023/9/275例2、求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：R、q解:方法一微元法方法二定义法由电场强度的分布2023/9/276由高斯定理求出场强分布由定义例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q77四、

等势面

(equipotentialsurface

)

将电场中电势相等的点连接起来所形成的一系列曲面叫做等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线。等势面处外与电场线正交。因为将单位正电荷从等势面上M点移到N点，电场力作功为零，而路径不为零等势面的性质：电荷沿等势面移动，电场力不作功。正电荷等势面