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文档简介

广东省湛江市美术中学高三数学文测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设点是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,为的内心,若,则该椭圆的离心率是

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案:A2.现有四所大学进行自主招生,同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书.若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读,则仅有两名学生被录取到同一所大学的就读方式有(A)288种.

(B)144种.

(C)108种.

(D)72种.参考答案:A略3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于(

A.

B.

C.

D.参考答案:A该几何体为多面体为一个直三棱柱截取一个角得到,如图,.4.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是坐标原点,若,则△的面积为(

)A. B. C. D.参考答案:B5.设函数,则(

)A.当k=2013时,在x=1处取得极小值B.当k=2013时,在x=1处取得极大值C.当k=2014时,在x=1处取得极小值D.当k=2014时,在x=1处取得极大值参考答案:C6.若集合,,则的真子集的个数是(

A.7

B.8

C.15

D.16参考答案:A7.设,则()

A)a<b<c

B)a<c<b

C)b<c<a

D)b<a<c参考答案:D8.在区域中,若满足的区域面积占面积的,则实数a的值为(

)A. B. C. D.参考答案:C【分析】画出区域,以及,根据的区域面积占面积的列方程,解方程求得的值.【详解】画出区域如下图所示,其中.当时,由得,由图像可知满足的区域面积占面积不小于,不合题意.当时,由得,设直线交直线于,由,得,代入得,将代入,解得,故选C.【点睛】本小题主要考查不等式组组成区域的画法,考查两条直线交点坐标有关问题求解,考查数形结合的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.9.定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1,且2f′(x)>1,当x∈[﹣,]时,不等式f(2cosx)>﹣2sin2的解集为()A.(,) B.(﹣,) C.(0,) D.(﹣,)参考答案:D【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.【分析】构造函数g(x)=f(x)﹣,可得g(x)在定义域R上是增函数,且g(1)=0,进而根据f(2cosx)>﹣2sin2可得2cosx>1,解得答案.【解答】解:令g(x)=f(x)﹣,则g′(x)=f′(x)>0,∴g(x)在定义域R上是增函数,且g(1)=f(1)=0,∴g(2cosx)=f(2cosx)﹣cosx=f(2cosx)﹣cosx,令2cosx>1,则g(2cosx)>0,即f(2cosx)>+cosx,又∵x∈[﹣,],且2cosx>1∴x∈(﹣,),故选:D10.的展开式中,x2的系数是(

)A.-5

B.5

C.-10

D.10参考答案:C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的角平分线,△ADC的外接圆交BC于点E,AB=2AC=6,EC=6,则AD的长为

.参考答案:考点:与圆有关的比例线段.专题:选作题;推理和证明.分析:连接DE,证明△DBE∽△CBA,利用AB=2AC,结合角平分线性质,即可证明BE=2AD,根据割线定理得BD?BA=BE?BC,从而可求AD的长.解答: 解:连接DE,∵ACED是圆内接四边形,∴∠BDE=∠BCA,又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA,即有,又∵AB=2AC,∴BE=2DE,∵CD是∠ACB的平分线,∴AD=DE,∴BE=2AD,设AD=t,则BE=2t,BC=2t+6,根据割线定理得BD?BA=BE?BC,即(6﹣t)×6=2t?(2t+6),即2t2+9t﹣18=0,解得t=或﹣6(舍去),则AD=.故答案为:点评:本题考查三角形相似,考查角平分线性质、割线定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.12.已知函数则的值为

.参考答案:13.已知,,则__________.参考答案:314.已知,若函数图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间,则的取值范围是

.(结果用区间表示)参考答案:15.设x,y满足约束条件,向量,且,则的最小值为

.参考答案:-616.抛物线顶点在原点,焦点在x轴正半轴,有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A,B两点,且|AB|=1,则抛物线方程为

.参考答案:17.已知锐角满足则_________.参考答案:1略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(18分)记无穷数列{an}的前n项a1,a2,…,an的最大项为An,第n项之后的各项an+1,an+2,…的最小项为Bn,令bn=An﹣Bn.(1)若数列{an}的通项公式为an=2n2﹣n+1,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)若数列{an}递增,且{an+1﹣an}是等差数列,求证:{bn}为等差数列;(3)若数列{bn}的通项公式为bn=1﹣2n,判断{an+1﹣an}是否为等差数列,若是,求出公差;若不是,说明理由.参考答案:考点:数列递推式;等差关系的确定;等比关系的确定.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)数列{an}的通项公式为an=2n2﹣n+1,可得:a1=2,an,n≥1时为单调递增数列.可得A1=a1=2,B1=a2=7,b1=﹣5.同理可得b2=A2﹣B2=a2﹣a3.可得数列{bn}的通项公式bn=An﹣Bn=an﹣an+1.(2)由数列{an}递增,可得An=an,Bn=an+1,可得bn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣(an+1﹣an),即可证明.(3)设d是非负整数,先证明:bn=﹣d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列,即可得出.解答: (1)解:数列{an}的通项公式为an=2n2﹣n+1,a1=2,+,n≥1时为单调递增数列.∴A1=2,B1=a2=2×22﹣2+1=7b1=2﹣7=﹣5.同理可得b2=A2﹣B2=a2﹣a3=﹣9.∴数列{bn}的通项公式bn=An﹣Bn=an﹣an+1=2n2﹣n+1﹣=﹣4n﹣1;(2)证明:∵数列{an}递增,∴An=an,Bn=an+1,∴bn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣(an+1﹣an),∵{an+1﹣an}是等差数列,∴{bn}为等差数列.(3)解:设d是非负整数,先证明:bn=﹣d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;充分性:设d是非负整数,若{an}是公差为d的等差数列,则an=a1+(n﹣1)d,∴An=an=a1+(n﹣1)d,Bn=an+1=a1+nd,∴dn=An﹣Bn=﹣d,(n=1,2,3,4…).必要性:若bn=An﹣Bn=﹣d,(n=1,2,3,4…).假设ak是第一个使ak﹣ak﹣1<0的项,则dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak>0,这与dn=﹣d≤0相矛盾,故{an}是一个不减的数列.∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d,即an+1﹣an=d,故{an}是公差为d的等差数列.而数列{bn}的通项公式为bn=1﹣2n,bn+1﹣bn=﹣2,∴{an+1﹣an}是公差为2等差数列.点评:本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列的单调性、充要条件,考查了变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题.19.已知数列{an}是等差数列,a5=5,若(6﹣a1)=a2+a3,且A、B、C三点共线(O为该直线外一点);点列(n,bn)在函数x的反函数的图象上.(1)求an和bn;(2)记数列Cn=anbn+bn(n∈N*),若{Cn}的前n项和为Tn,求使不等式成立的最小自然数n的值.参考答案:解:(1)设数列{an}的公差为d,则∵(6﹣a1)=a2+a3,且A、B、C三点共线,∴由三点共线的条件,可得6﹣a1=a2+a3,∴a1+d=2,∵a5=5,∴a1+4d=5,∴d=1,a1=1,∴an=n;∵点列(n,bn)在函数x的反函数的图象上∴;(2)Cn=anbn+bn=,∴Tn=,∴Tn=两式相减,可得Tn==∴Tn=∴3﹣Tn=∴等价于∴n>6∴使不等式成立的最小自然数n的值为7.略20.(本小题满分13分)已知各项均为正数的数列中,,为数列的前项和.(Ⅰ)若数列,都是等差数列,求数列的通项公式;(Ⅱ)若,试比较与的大小.参考答案:命题意图:本题综合考察等差数列的通项公式、裂项求和,中等题.(Ⅰ)数列,都是等差数列,设数列的公差为,则

得,

…………………5分(Ⅱ)由于①当时,②由①-②得:又

,………10分又∴∴

……………13分21.

某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似地满足.已知第x月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的近似关系是

(I)写出2013年第x月的旅游人数(单位:人)与x的函数关系式;

(II)试问2013年第几月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元?

参考答案:解:(Ⅰ)当时,,

……2分当,且时,…4分验证符合

……6分(Ⅱ)第月旅游消费总额为即

……8分当,且时,,令,解得,(舍去).

当时,,当时,,当时,(万元).

……10分当,且时,是减函数,当时,(万元),

综上,2013年第5月份的旅游消费总额最大,最大消费总额为3125万元.

…12分略22.(本小题满分14分)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东

(其中,)且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由参考答案:解:(I)如图,AB=40,AC=10,

………2分由于,所以cos=

………4分由余弦定理得BC=……6分所以船的行驶速度为(海里/小时)

………7分(II)解法一

如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是B(x1,y2),C(x1,y2),BC与x轴的交点为D.由题设有,x1=y1=AB=40,

………8分x2=ACcos,y2=ACsin

………10分所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

………11分又点E(0,

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