33二阶系统解析

3.3二阶系统的时域分析一、二阶系统数学模型及其标准形式RLC电路、电动机转速控制系统典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。令

则二阶系统传递函数的标准形式为

其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然振荡角频率（无阻尼自振角频率）。注意：控制工程中，二阶系统的典型应用极为普遍；为数众多的高阶系统在一定条件下可近似为二阶系统。二、二阶系统的特征根（极点）分布

求解二阶系统特征方程，可得两个特征根（极点）(1).

欠阻尼

是一对共轭复数根。

(2).临界阻尼

是两个相同的负实根。

(3).过阻尼

是两个不同的负实根。

(4).无阻尼

是一对共轭纯虚数根。三、二阶系统的单位阶跃响应

对于单位阶跃输入于是由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为下面按阻尼比分别讨论。过阻尼(ζ>1)

这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则

拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。讨论：过阻尼系统是两个惯性环节的串联。有关分析表明，当时，两极点s1和s2与虚轴的距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该惯性环节来近似原来的二阶系统。即有近似原则：用其中一个惯性环节近似原二阶系统，需要保证近似前后初值和终值相等，并且要用到待定系数法！

过阻尼系统稳态值和最终误差过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。

过阻尼系统单位阶跃响应的变化率所以，整个暂态过程中，阶跃响应都是单调增长的.2.临界阻尼(ζ＝1)

此时，系统具有二重负实极点，则

单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位阶跃响应的变化率为：

临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值解得。整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时间做为调整时间，则临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使用。

单位阶跃响应变化率最大的时刻：3.欠阻尼(0<ζ<1)

此时，系统具有一对共轭复数极点，则欠阻尼系统单位阶跃响应为或写为讨论:(1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值ζωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率ωd，(2)振荡周期为

(3)ζ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。(4)上升时间tr的计算：

或即所以(5)峰值时间tp的计算：出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即

则故到达第一个峰值时应有(6)最大超调量的计算：越小，越大（只与ζ有关）(7)调整时间ts的计算：

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线

以内，这对曲线称为响应曲线的包络线。可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。解得当Δ＝5％时，当Δ＝2％时，当时，设计二阶系统时，常取为最佳阻尼比。若允许误差带是±Δ（如±2％），可以认为调整时间就是包络线衰减到±

Δ区域所需的时间，则有

(8)．振荡次数振荡次数是指在调节时间内，振荡的次数。根据这一定义，可得振荡次数为式中，为阻尼振荡的周期时间。设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式例3-2：设一个带速度反馈的伺服系统，其结构图如图所示。要求系统的性能指标为σp=20%,tp=1s.试确定系统的K和KA值，并计算性能指标tr、ts和N.

得4.无阻尼（ζ＝0）

无阻尼情况下系统的阶跃响应是等幅正（余）弦振荡曲线，振荡角频率是

不同ζ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112

ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0几点结论:1）二阶系统的阻尼比ζ决定了其振荡特性：ζ<0时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻尼）ζ=0时，出现等幅振荡0<ζ<1时，有振荡，ζ愈小，振荡愈严重，但响应愈快ζ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长2）ζ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，

系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。如果ωn一定，ζ发生变化，情况又如何？3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。4)最佳阻尼比为0.707（这时的调整时间小，而且超调量也不大）3.3.3

二阶系统暂态特性指标根据上面的分析，系统的暂态性能可归纳为平稳性和快速性两个要点，它们与系统特征参数和密切相关。（1）平稳性主要由最大超调量和振荡次数表征。增大，减小，平稳性变好；若不变，增大，增大，增大，平稳性变差。（2）快速性主要由上升时间和调节时间表征。当一定时，越大，则越长，快速性越差；当一定时，越大，则越短，快速性越好。而对于，则与和的乘积成反比。3.3.3

二阶系统暂态特性指标（3）为了限制超调量并使调节时间较短，阻尼比一般取在0.4～0.8之间，这时，超调量为25%～1.5%之间。3.3.4二阶工程最佳参数

在控制系统的设计中，综合考虑系统平稳性和快速性，一般选择参数称为二阶工程最佳参数，此时的二阶系统称为二阶工程最佳系统。令代入二阶系统传递函数标准式，得二阶工程最佳系统的开环传递函数为此时系统的单位阶跃响应暂态性能指标为

超调量上升时间调节时间二阶工程最佳系统不仅快速性好，且具有较小的超调量。

例题例3-2

由实验测得二阶系统的单位阶跃响应如图3-19所示，试根据已知的单位阶跃响应，计算系统参数及之值。例题解：由图3-19所示单位阶跃响应，根据超调量及峰值时间的定义，得到信息根据和与特征参数、的关系有可计算得例题例3-3

有一位置随动系统，其结构如图3-20所示，其中。（1）计算该系统的暂态性能指标超调量和调节时间；（2）如果要求阻尼比为二阶工程最佳参数取值，应怎样改变系统参数值。例题解：由系统结构图得闭环传递函数为典型二