高等数学教案-函数、连续与极限教案

PAGEPAGE一四高等数学教学初九年级数学教案第一章函数,连续与极限授课序号零一教学基本指标教学课题第八章第一节常数项级数地概念与质课地类型复,新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点几何级数与p级数教学难点无穷级数概念与质参考同济版,大版《高等数学》;同济版《微积分》作业布置课后题大纲要求理解无穷级数收敛,发散以及与地概念,了解无穷级数基本质及收敛地必要条件,掌握几何级数与p级数地收敛教学基本内容一,基本概念:定义一设有数列,,将数列地各项用加号连接地形式称为常数项无穷级数,简称级数,记为,其是求与记号,称为下标变量,第项称为级数地一般项（通项）.定义二对数列,取它地前项地与,称为级数地部分与（前项之与）.定义三若级数地部分与数列有极限,即,则称无穷级数收敛,这时,极限就叫做无穷级数地与,并写成;若数列没有极限,则称无穷级数发散.二,定理与质:收敛级数地基本质质一若级数收敛,其与为,则对任何常数,级数收敛,且其与为,即质二若级数,分别收敛于与,即则级数也收敛,其与为,即有推论若,则级数与具有相同地收敛;若级数,一个收敛一个发散,则级数一定发散.质三(级数收敛地必要条件)如果级数收敛,则.推论如果当时,级数地一般项不趋于零,那么级数发散.质四改变级数有限项地值不会改变级数地收敛.推论级数去掉或加有限多项不改变级数地收敛.三,主要例题:例一讨论级数(等比级数) 地收敛.例二证明级数是收敛地.例三判定级数地敛散.例四判定级数地敛散.例五证明级数是发散地.例六证明调与级数 是发散地.例七求级数地与.例八讨论级数地收敛.授课序号零二教学基本指标教学课题第八章第二节常数项级数地审敛准则课地类型新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点比较法与比值法,莱布尼兹公式教学难点绝对收敛与条件收敛参考同济版,大版《高等数学》;同济版《微积分》作业布置课后题大纲要求了解正项级数地比较审敛法,掌握正项级数地比值审敛法,了解错级数地莱布尼兹定理,会估计错级数地截断误差,了解无穷级数绝对收敛与条件收敛地概念以及绝对收敛与收敛地关系教学基本内容一,基本概念:常数设,,级数或称为错级数.项级数地每一项都是常数,当各项都是大于或等于零地常数时,称为正项级数.设有级数,其为任意实数,那么该级数叫做任意项级数．若级数收敛,级数也收敛,则称级数绝对收敛;若级数收敛,级数发散,则称级数条件收敛;二,定理与质:定理一（基本定理）正项级数收敛地充分必要条件是它地部分与数列有界.定理二（比较审敛定理）:设是两个正项级数,且,则有若级数收敛,则级数也收敛;若级数发散,则级数也发散.推论（比较审敛定理地极限形式）:设是两个正项级数,,若,则与同敛散;若,则当收敛,有也收敛;若,则当发散,有也发散.定理三（比值审敛定理）设是正项级数,且,则有定理四（根值审敛定理）若为正项级数,且,则当时,收敛;当时,发散;当时,无法确定.*定理五（积分审敛定理）若（）为非负地不增函数,则与同敛散.定理六(莱布尼兹定理)如果错级数满足条件:（一）;（二）,则错级数收敛,且收敛与.定理七若正项级数收敛,则任意项级数必收敛.定理八设是任意项级数,若满足下列条件之一,则级数必绝对收敛.(一)存在收敛地正项级数,满足;(二）;（三）三,主要例题:例一证明正项级数是收敛地.例二判定级数地敛散.例三证明正项级数当时是发散地.例四判定下列级数地收敛:(一);(二).例五证明级数是发散地.例六判定级数地敛散.例七判别下列级数地收敛(一);(二).例八判别下列级数地收敛:(一);(二);(三);（四）;（五）;（六）.例九判别级数地敛散.例一零判别级数地收敛.例一一讨论下列正项级数地敛散.（一）;（二）.例一二讨论下列正项级数地敛散.（一）;（二）.例一三试证明错级数是收敛地.例一四判定错级数地敛散.例一五级数收敛.例一六判别级数地收敛.例一七判别级数地收敛.例一八判别级数地收敛.例一九判别级数是绝对收敛还是条件收敛.例二零讨论级数地收敛,若收敛,问是绝对收敛,还是条件收敛授课序号零三教学基本指标教学课题第八章第三节幂级数地收敛及函数地展开式课地类型复,新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点收敛域与与函数地求法,幂级数展开教学难点展开级数地条件参考同济版,大版《高等数学》;同济版《微积分》作业布置课后题大纲要求了解函数项级数地收敛域及与函数地概念。掌握比较简单地幂级数收敛区间地求法(区间端点地收敛可不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内地一些基本质。了解函数展开为泰勒级数地充分必要条件。会利用EMBEDEquation.二与EMBEDEquation.二地麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单地函数间接展开成幂级数。了解幂级数在近似计算上地简单应用。教学基本内容一,基本概念:一,函数项级数地概念:设定义在区间上地函数列:,,……,,……,各项用加号连接地形式:,称为函数项无穷级数,简称函数项级数.对于上地每一个值,函数项级数就是常数项级数.若收敛,则称是函数项级数地收敛点,收敛点地全体组成地数集称为地收敛域,记为;若发散,则称是函数项级数地发散点,发散点地全体组成地数集称为地发散域.对于收敛域地每一个数,成为一收敛地常数项级数,因此有一确定地与,这样在整个收敛域上,函数项级数地与是地函数,记作,称为函数项级数地与函数.与函数地定义域就是函数项级数地收敛域.对于收敛域内地点,有.二,幂级数:称为关于地幂级数.令,并将仍记为,则有,因此不失一般,我们仅讨论这个形式地幂级数.一般地,对于幂级数,当给以确定地值,例如,则幂级数称为一个常数项级数.若这个常数项级数收敛,则称为函数项级数地收敛点;若这个常数项级数发散,则称为函数项级数地发散点;幂级数地收敛点地全体称为收敛域.二,定理与质:定理一（Abel收敛定理）已知幂级数满足,则有以下结论成立（一）若,则对任一,幂级数都绝对收敛;(二)若,当时,幂级数绝对收敛,当时,幂级数发散;（三）若,则幂级数在时都发散.令,称为幂级数地收敛半径.称为幂级数地收敛区间,而幂级数地收敛域必为下列区间之一:.当时,幂级数处处都收敛,规定收敛半径;当时,幂级数仅在原点收敛,规定收敛半径.定理二已知幂级数,若,则幂级数地收敛半径定理三（代数运算）设幂级数,地收敛区间分别为及,其与函数分别为与,即设,则在上,两个幂级数可以作加法,减法及乘法运算:定理四（与函数地连续）设幂级数地收敛域为区间,则它地与函数在收敛域上是连续地.定理五（与函数地可导）设幂级数地收敛半径为,则其与函数在收敛区间内可导,且有逐项求导公式.逐项求导后所得到地幂级数地收敛半径仍为.定理六（与函数地可积）设幂级数地收敛半径为,则其与函数在收敛区间内可积,且有逐项求积公式.定理七（初等函数地展开定理）设是一个初等函数,且在地邻域内有任意阶导数,则在点处可展开幂级数,且有展开式在端点处,如果级数收敛且也有定义,则展开式在该端点处也成立.三,主要例题:例一求级数地收敛域.例二求下列幂级数地收敛域（五）;（六）.例三求下列幂级数地收敛域:（一）;（二）.例四求下列幂级数地收敛域与函数:（一）;（二）;（三）;（四）;（五）.*例五求幂级数地收敛域与函数.例六求函数地麦克劳林展开式.例七把展开成地幂级数.例八将函数展开成地幂级数.（一）;（二）;（三）;（四）.例九将下列函数展开成地幂级数（即在点处地泰勒级数）:（一）,;（二）,.授课序号零四教学基本指标教学课题第八章第四节傅里叶级数课地类型新知识课教学方法讲授,课堂提问,讨论,启发,自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数展开傅里叶级数教学难点展开正弦或余弦级数参考同济版,大版《高等数学》;同济版《微积分》作业布置课后题大纲要求了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数地狄利克雷(Dirichlet)条件,会将定义在EMBEDEquation.二与EMBEDEquation.二上地函数展开为傅里叶级数,并会将定义在EMBEDEquation.二上地函数展开为正弦或余弦级数教学基本内容基本概念:一.三角函数系我们称函数系为三角函数系.该三角函数系地任何不同地两个函数地乘积地在上地积分等于零.二.函数展开成傅里叶级数定义若,,,存在,则由它们确定地系数,,,就叫做函数地傅里叶系数,而三角级数就叫做函数地傅里叶级数.三.正弦级数与余弦级数若是奇函数,则,,,,傅里叶级数称为正弦级数,即只含有正弦项地傅里叶级数;若是偶函数,则,,,,傅里叶级数称为余弦级数,即只含有常数项及余弦项地傅里叶级数.二,定理与质:定理一（收敛定理,狄利克雷（Dirichlet）充分条件）设是周期为地周期函数,如果它满足:（一）在一个周期内连续,或只有有限个第一类间断点,（二）在一个周期内至多只有有限个极值点,则地傅里叶级数收敛,并且当是地连续点时,级数收敛于,当为间断点时,级数收敛于.