数学人教A版高中必修一（2019新编）5-4 三角函数的图像和性质（教案）

5.4三角函数的图像和性质考纲要求1．能画出三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．2．了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质．知识解读知识点①用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图1．在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．2．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．知识点②正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\bc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\bc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\bc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\bc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ知识点③常用结论1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq\f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．题型讲解题型一、正弦函数、余弦函数的图像例1．画出下列函数的简图(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】(1)按五个关键点列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)．(2)按五个关键点列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)．例2．画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．【答案】见解析．【解析】按三个关键点列表：x0eq\f(π,2)πsinx010y＝|sinx|010描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)．例3．以下对于正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同B．关于x轴对称C．介于直线y＝1和y＝－1之间D．与y轴仅有一个交点【答案】B【解析】观察y＝sinx的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.例4．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【答案】C【解析】作出函数y＝cosx与函数y＝－cosx的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.例5．方程x2－cosx＝0的实数解的个数是__________．【答案】2【解析】作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．例6．在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数.【答案】见解析.【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象.描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示.由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个题型二、正弦函数、余弦函数的性质考点一、周期性例1．函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为.

【答案】【解析】作出y=|sin2x|(x∈R)的图象(如图所示).由图象可知，函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为.例2．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))等于 ()A．－eq\f(1,2)B．1C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)【答案】D【解析】因为f(x)的最小正周期为T＝π，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))，又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).考点二、奇偶性例1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数【答案】A【解析】由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．例2．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．【答案】0【解析】因为f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin0－|a|＝0，所以a＝0.考点三、单调性例1．求函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的单调增区间．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋2kπ，\f(7π,4)＋2kπ))(k∈Z)【解析】y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，令z＝x－eq\f(π,4)，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的增区间，即求y＝sinz的减区间，所以eq\f(π,2)＋2kπ≤z≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，即eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得eq\f(3π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(7π,4)＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的单调增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋2kπ，\f(7π,4)＋2kπ))(k∈Z)．例2．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的单调递增区间是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))【解析】因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，由2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得2kπ－eq\f(5π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．所以函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在R上的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))．例3．比较下列各组中函数值的大小：（1）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))与coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))；(2)sin194°与cos160°.【答案】（1）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))；（2）sin194°＞cos160°.【解析】（1）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7π,5)))＝coseq\f(7π,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(7π,4)))＝coseq\f(7π,4)，∵π＜eq\f(7π,5)＜eq\f(7π,4)＜2π，且函数y＝cosx在[π，2π]上单调递增，∴coseq\f(7π,5)＜coseq\f(7π,4)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,5)))＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4))).(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sinx在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.考点四、最大值与最小值例1．函数y＝3－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值为________，此时x＝________．【答案】5eq\f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)【解析】函数y＝3－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值为3＋2＝5，此时x＋eq\f(π,4)＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)．例2．函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(3\r(3),2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，3))【答案】B【解析】当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，故3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))，所以函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)).题型三、正切函数的图像和性质例1．(多空题)函数y＝|tanx|的单调递增区间为________________，单调递减区间为__________________.【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z【解析】作出函数y＝|tanx|的图象，如图．观察图象可知，函数y＝|tanx|的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z；单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.例2．函数y＝|tanx|在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上的单调减区间为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))和eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))【解析】如图，观察图象可知，y＝|tanx|在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上的单调减区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))和eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).例3．关于函数y＝tan(2x－eq\f(π,3))，下列说法正确的是()A．是奇函数B．在区间(0，eq\f(π,3))上单调递减C．(eq\f(π,6)，0)为其图象的一个对称中心D．最小正周期为π【答案】C【解析】函数y＝tan(2x－eq\f(π,3))是非奇非偶函数，A错误；在区间(0，eq\f(π,3))上单调递增，B错误；最小正周期为eq\f(π,2)，D错误．∵当x＝eq\f(π,6)时，tan(2×eq\f(π,6)－eq\f(π,3))＝0，∴(eq\f(π,6)，0)为其图象的一个对称中心，故选C.题型四、三角函数的综合性质例1．函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值()A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为eq\f(9,8) D．偶函数，最大值为eq\f(9,8)【答案】D【解析】由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,4)))2＋eq\f(9,8)，所以当cosx＝eq\f(1,4)时，f(x)取最大值eq\f(9,8).例2．(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以eq\f(π,2)为周期且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|【答案】A【解析】A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为eq\f(π,2)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为eq\f(π,2)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,－sinx，x<0，))由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．例3．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a))，若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，则实数a的取值范围是______________.【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))【解析】由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a))，知x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，a＋\f(π,6))).∵x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))时，f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，∴由函数的图象知eq\f(π,2)≤a＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，∴eq\f(π,3)≤a≤π.例4．若函数g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a，\f(7π,6)))上均单调递增，则实数a的取值范围是__________.【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,24)))【解析】由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴g(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．又∵函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a，\f(7π,6)))上均单调递增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)≤\f(π,6)，,4a≥\f(2π,3)，,4a<\f(7π,6)，))解得eq\f(π,6)≤a<eq\f(7π,24).达标训练1．下列函数图象相同的是()A．f(x)＝sinx与g(x)＝sin(π＋x)B．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))与g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))C．f(x)＝sinx与g(x)＝sin(－x)D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sinx【答案】D【解析】A、B、C中f(x)＝－g(x)，D中f(x)＝g(x)．2．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于()A．x轴对称 B．原点对称C．y轴对称 D．直线x＝eq\f(π,2)对称【答案】B【解析】y＝4sin(2x－π)＝－4sin2x是奇函数，其图象关于原点对称．3．函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) B．(π，1)C．(0，1) D．(2π，1)【答案】B【解析】用五点作图法作出函数y＝－cosx(x>0)的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．4．函数f(x)＝2sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))上的最大值为()A．0 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．2【答案】D【解析】因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))，所以当x＝eq\f(π,2)时，函数f(x)有最大值2.5．下列函数中，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上恒正且是增函数的是()A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝－sinx D．y＝－cosx【答案】D【解析】作出四个函数的图象，知y＝sinx，y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，不符合；而y＝－sinx的图象虽满足在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递增，但其值为负，故不符合．所以只有D符合，故选D．6．当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，函数y＝tan|x|的图象()A．关于原点对称 B．关于y轴对称C．关于x轴对称 D．无法确定【答案】B【解析】函数y＝tan|x|，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))是偶函数．其图象关于y轴对称．故选B.7．函数y＝eq\r(tanx＋1)的定义域为()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，＋∞))(k∈Z)【答案】B【解析】由题可得tanx＋1≥0，即tanx≥－1，解得x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．8．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))在一个周期内的图象是下图中的()【答案】A【解析】由函数周期T＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π，排除选项B、D．将x＝eq\f(2π,3)代入函数式中，得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2π,3)－\f(π,3)))＝tan0＝0.故函数图象与x轴的一个交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0)).故选A.9．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③ B．③C．② D．①③【答案】A【解析】对于①，∵y＝cos|2x|＝cos2x，T＝eq\f(2π,2)＝π，∴y＝cos|2x|的最小正周期为π；对于②，∵y＝cosx的最小正周期为2π，∴y＝|cosx|的最小正周期为π；对于③，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π；综上，①②③的最小正周期为π，故选A.10．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1，1] B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,4)))【答案】C【解析】y＝sin2x＋sinx－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(5,4)，当sinx＝－eq\f(1,2)时，ymin＝－eq\f(5,4)；当sinx＝1时，ymax＝1.即y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)).11．下列结论正确的是()A．sin400°>sin50° B．sin220°<sin310°C．cos130°>cos200° D．cos(－40°)<cos310°【答案】C【解析】由cos130°＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°，因为当x∈(0°，90°)时，函数y＝cosx是减函数，所以cos50°<cos20°，所以－cos50°>－cos20°，即cos130°>cos200°.12．不等式cosx<0，x∈[0，2π]的解集为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))【答案】A【解析】由y＝cosx的图象知，在[0，2π]内使cosx<0的x的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).13．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0，2π]的大致图象为()【答案】D【解析】由题意得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2cosx，0≤x≤\f(π,2)或\f(3,2)π≤x≤2π，,0，\f(π,2)<x<\f(3,2)π.))故选D.14．在同一平面直角坐标系中，函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(3π,2)))(x∈[0，2π])的图象和直线y＝eq\f(1,2)的交点个数是()A．0 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(3π,2)))＝sineq\f(x,2).∵x∈[0，2π]，∴eq\f(x,2)∈[0，π]，取关键点列表如下：x0π2πeq\f(x,2)0eq\f(π,2)πsineq\f(x,2)010∴y＝sineq\f(x,2)，x∈[0，2π]的图象如图．由图可知y＝sineq\f(x,2)，x∈[0，2π]的图象与直线y＝eq\f(1,2)有两个交点．15．函数f(x)＝eq\f(sinx,1＋cosx)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】A【解析】因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝eq\f(sin（－x）,1＋cos（－x）)＝－eq\f(sinx,1＋cosx)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.16．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．2 B．－2C．－98 D．98【答案】B【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数的周期是4.∵f(x)在R上是奇函数，且当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，∴f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.17．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为()A．[－1，1] B．[－2，2]C．[－2，0] D．[0，2]【答案】D【解析】∵y＝|sinx|＋sinx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2sinx，sinx≥0，,0，sinx＜0.))又∵－1≤sinx≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]．18．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，则b－a的最大值和最小值之和等于()A．eq\f(4π,3) B．eq\f(8π,3)C．2π D．4π【答案】C【解析】如图，当x∈[a1，b]时，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，且b－a最大．当x∈[a2，b]时，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，且b－a最小．∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×eq\f(π,6)＋eq\f(π,2)＋eq\f(7π,6)＝2π.19．函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))【解析】由0≤x≤eq\f(π,2)，得－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，所以－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤1，即－eq\f(3,2)≤3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤3，所以f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)).20．函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))的最小正周期是________．【答案】2π【解析】∵y＝sineq\f(x,2)的最小正周期为T＝4π，而y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))的图象是把y＝sineq\f(x,2)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))的最小正周期为T＝2π.21．有下列命题：①y＝sin|x|的图象与y＝sinx的图象关于y轴对称；②y＝cos(－x)的图象与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sinx|的图象与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cosx的图象与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是________．【答案】②④【解析】对于②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对于④，y＝cos(－x)＝cosx，故这两个函数图象关于y轴对称，作图(图略)可知①③均不正确．22．已知函数y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．【答案】见解析【解析】(1)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z），,0，x∈[2kπ－π，2kπ]（k∈Z），))图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.23．求函数y＝3－4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))的最大值、最小值及相应的x值．【答案】见解析【解析】因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，所以2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，从而－eq\f(1,2)≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1.所以当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1，即2x＋eq\f(π,3)＝0，即x＝－eq\f(π,6)时，ymin＝3－4＝－1.当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)，即2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)，即x＝eq\f(π,6)时，ymax＝3－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝5.24．求函数y＝的单调递增区间．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)【解析】由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))>0，,2kπ＋\f(π,2)≤2x＋\f(π,4)≤2kπ＋\f(3π,2)（k∈Z），))解得2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)＜2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋eq\f(π,8)≤x＜kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)，故所求函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．课后提升1．在(0，2π)内使sinx>|cosx|成立的x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))【答案】A【解析】∵sinx>|cosx|，∴sinx>0，∴x∈(0，π)．在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈(0，π)与y＝|cosx|，x∈(0，π)的图象，如图．观察图象易得使sinx>|cosx|成立的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，故选A.2．已知函数f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ的值可以是()A．0 B．－eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π【答案】B【解析】法一：f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)＋φ))为奇函数，则只需eq\f(π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－eq\f(π,4)满足题意．法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝0，所以φ＋eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－eq\f(π,4)，令k＝0，则φ＝－eq\f(π,4).3．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．2 D．3【答案】B【解析】因为f(x)＝sinωx(ω>0)过原点，所以当0≤ωx≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,2ω)时，y＝sinωx是增函数；当eq\f(π,2)≤ωx≤eq\f(3π,2)，即eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)时，y＝sinωx是减函数．由f(x)＝sinωx(ω>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减知，eq\f(π,2ω)＝eq\f(π,3)，所以ω＝eq\f(3,2).4．函