0610高一数学（人教A版）直线与平面垂直性质及应用-1教案

教案教学基本信息课题直线与平面垂直的性质及应用学科数学学段：高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课主要了解直线到平面的距离及两个平行平面间的距离等概念；掌握线面垂直的性质定理，能够应用性质定理证明直线与直线平行；通过研究空间直线与平面的垂直关系，发展直观想象、逻辑推理数学核心素养.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行吗？在空间中呢？在平面内是平行的.在空间中不一定，可能是相交、平行或者异面的位置关系.那么空间中，垂直于同一平面的两条直线平行吗？类比平面内垂直的性质，探究空间垂直问题，引出本课主题.新课请同学们观察下面两个图形：如图，在长方体中，棱，，，所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系呢？是否平行呢？如图，已知直线a，b和平面α.如果a⊥α，b⊥α，那么直线a与b一定平行吗？直观观察，这两个问题中的直线都是相互平行.不失一般性，我们以问题（2）为例加以证明.由于无法把两条直线a，b归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4（即平行于同一条直线的两条直线平行），在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”.证明：如图，假设b与a不平行，且b∩α于点O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O做直线，则直线与是相交于点O的两条不同直线，所以直线与可以确定一个平面β.设αβ=c，则点O在直线c上.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为，所以.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线，与c垂直，这显然不可能.所以假设不成立，因此b//a.证明完毕.上述证明过程就是反证法，它的基本证明流程是：首先假设命题不成立，然后推导出矛盾，说明假设不成立，进而得出命题成立.反证法是间接论证的方法之一，也称为“逆证”.它是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难时，用反证法会收到更好的效果.同学们，你们还有不同的证明方法吗？让我们看一看，从另一个角度如何证明：方法2如图，假设b与a不平行，且b∩α于点O，显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面β，在β内过点O做直线，则，因为b⊥α，且直线与b相交于点O，这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾.所以假设不成立，因此b//a.证明完毕.通过问题（2）的证明，同学们，你能否总结一下，垂直于同一个平面的两条直线，具有怎样的位置关系呢？直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.同学们，你能用图形语言和符号语言，表示定理的内容吗？图形表示和符号表示：直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直，判定这两条直线互相平行.它揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.巩固练习（一）：1、直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）（A）l1，l2都平行于同一个平面；（B）l1，l2与同一个平面所成的角相等；（C）l1，l2都垂直于同一个平面；（D）l1平行于l2所在的平面.2、两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）（A）两个角均为锐角（B）一个角为0°，一个角为90°（C）两个角均为0°（D）两个角均为90°3、如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，且EF=PD，G，H分别为PC，DC中点.求证：FG//平面ABCD.请同学们回忆一下，空间中直线与平面的位置关系有哪些呢？三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.思考：在的条件下，如果平面外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论呢？证明：因为直线b在平面α外，所以假设b与α相交.若b⊥α，因a⊥α，由线面垂直性质定理，则有a//b，这与已知a⊥b矛盾；若b与α不垂直，设取直线b上一点P，作PO⊥α，垂足为O．连接AO，则有PO//a，且PO⊥AO．又因为a⊥b，所以PO垂直b，显然不成立.综上，假设不成立，所以b//α.我们可以把结论这样描述：已知a⊥α，若bα，且b⊥a，则b//α.这样我们又得到一个判断直线与平面平行的方法.如果平面与平面平行，你又能得到什么结论呢？证明：在平面α内任取两条相交直线m，n.∵α//β，∴m//β，n//β.由线面平行性质，∴在平面β内存在两条相交直线，分别与m，n平行.∵a⊥α，∴a⊥m且a⊥n.∴.又是平面β内两条相交直线，∴a⊥β.我们可以把结论这样描述：已知a⊥α，若β//α，则a⊥β.这样我们又得到一个判断直线与平面垂直的方法.上述两个问题，不仅呈现出线面垂直的性质，而且还体现了，“平行”与“垂直”之间可以进行相互转化，同学们要认真思考，可以尝试着提出更多的问题，发现更多的结论.借助简单图形直观观察，初步获得“垂直于同一平面的两条直线平行”的结论.证明直线与平面垂直性质定理，同时引入“反证法”.不同角度证明性质定理，发展学生直观想象和推理论证能力.三种语言呈现性质定理内容，加深对定理的理解.通过练习掌握性质定理，并应用定理解决数学问题.复习直线与平面位置关系，为下面“思考”做铺垫.探究在线面垂直条件下，可得到哪些结论.例题例题：如图，直线l平行于平面α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.分析：要证明直线l上各点到平面的距离都相等，只需证明直线l上任意两个点，到平面的距离相等，具体证明如下：证明：过直线l上任意两点A，B分别作平面的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.，，于是直线AA1，BB1确定一个平面.设直线AA1，BB1确定的平面为，所以四边形AA1B1B是矩形.由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.当一条直线与一个平面平行时，直线上所有点到平面的距离都相等，此时，我们把这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.当两个平面平行时，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.随堂检测：如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1.直线A1B1到平面ABCD的距离为多少？直线A1A到平面BCC1B1的距离为多少？直线CC1到平面BDD1B1的距离为多少？若E为A1B1中点，判断直线A1C与平面BEC1是否平行，若平行，求出直线A1C到平面BEC1的距离；若不平行，请说明理由.通过这几个题目，我们不难看出，在研究直线到平面的距离时，一般都转化成求点到平面的距离.同学们在解题时要有这种转化意识.同学们请想一想，前面我们学习过棱柱、棱台，在它们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离.例题推导棱台的体积公式:其中，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高.棱台可看作由某个棱锥截得，所以我们先计算“截得棱台的棱锥的体积”，再减“去掉的棱锥的体积”，进而得到棱台的体积.具体过程如下：如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点则PO垂直于棱台的上底面，从而同学们想一想，此处的PO与棱台的上底面为什么是垂直的呢？由直线与平面垂直的性质可知，PO垂直棱台下底面，下底面又与上底面平行，所以PO垂直棱台上底面.设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为，高为，那么，由棱锥的体积公式可得，.所以棱台体积为，整理化简后得，记作①式.由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且上、下底面的面积比，等于两个棱锥高的平方的比，由此可以整理得到将这一结果代入①式，并整理化简，可得棱台的体积公式：.公式推导完毕.应用公式算一算：已知某棱台的体积为14，上底面面积为1，下底面面积为4，则棱台两个底面间的距离为多少？巩固练习（二）：已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是什么？2、已知A，B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求证：直线AB//α.应用线面垂直的性质定理或判定定理解题时，要注意前提条件是否完整；直线与直线垂直，直线与平面垂直要有意识地灵活转化；要善于挖掘平行与垂直之间的内在联系.3、如图，已知直线l与平面α，β，l⊥α且l⊥β，l与α、β分别交于点O、，求证：α//β.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN//AD1.证明直线与直线平行，常用的几种方法：平行公理；线面平行性质定理；线面垂直性质定理；面面平行性质定理；5、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线aβ，a⊥AB.求证：a//l.应用线面垂直性质定理解决数学问题，引出直线到平面的距离，平行平面之间的距离.巩固对“直线到平面的距离”的理解，并能够计算某个直线到某个平面的距离.以棱台为实例，认识平面间的距离，借助体积公式的推导过程，发展推理论证能力.加强线面垂直性质的理解与应用.在具体问题中，求解两个平面间的距离.应用线面垂直的性质定理解决数学问题.体现线面垂直性质定理的作用，揭示“垂直”与“平行”之间存在联系.总结小结：1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、直线到平面的距离及平行平面间的距离两个概念.希望同学们认真体会“平行”与“垂直”之间的内在联系，灵活应用性质定理解决数学问题.梳理知识，点明主题作业作业1如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点，求证：DF//平面ABC.作业2我们已经研究了空间直线与直线、直线与平面的垂直