广东省河源市龙窝中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

广东省河源市龙窝中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（

）

A.8万元

B.10万元

XC.12万元

D.15万参考答案：C略2.将A、B、C、D、E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有（

）种．A．192

B．144

C．288

D．240参考答案：D略3.执行如图所示的程序框图，输出的k值是（） A．4 B． 5 C． 6 D． 7参考答案：B4.已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A． B． C． D．0参考答案：A【考点】向量在几何中的应用；直线和圆的方程的应用．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得?的值．【解答】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1∴sin=sin∠AOC==所以：∠AOB=120°则?=1×1×cos120°=．故选A．5.若为等差数列的前n项和，，，则与的等比中项为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.设P=，则（

）A、PQ

B、QP

C、CRPQ

D、QCRP参考答案：C略7.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是 A．6 B．8 C．10 D．15参考答案：C8.已知集合，，则集合（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C试题分析：，，故选C.考点：集合的交集运算.9.如果A. B. C. D.

参考答案：C略10.阅读如图程序框图，如果输出k=5，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＞﹣25 B．S＜﹣26 C．S＜﹣25 D．S＜﹣24参考答案：D【考点】程序框图．【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，k=1，不满足输出的条件，k=2；第二次执行循环体后，S=0，k=2，不满足输出的条件，k=3；第三次执行循环体后，S=﹣3，k=3，不满足输出的条件，k=4；第四次执行循环体后，S=﹣10，k=4，不满足输出的条件，k=5；第五次执行循环体后，S=﹣25，k=5，满足输出的条件，比较四个答案，可得条件为S＜﹣24满足题意，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为千米/时．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1．在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3．在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，∴BC==．则船的航行速度÷=．故答案为：．【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，考查学生的计算能力，比较基础．12.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）参考答案：13.如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是

▲

参考答案：因为B(2,4)在曲线上，所以，解得，所以曲线方程为，因为，所以阴影部分的面积为，所以质点落在图中阴影区域的概率是。14.已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是．参考答案：﹣3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣1，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.从5名男生和5名女生中选取4人参加比赛，要求男女生都有，那么两女生小张和小李同时被选中的概率为

.参考答案：16.设复数z满足:z(2－i)=4+3i（其中i为虚数单位），则z的模等于

.参考答案：；17.实数满足若目标函数的最大值为4，则实数的值为

.参考答案：a=2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

超过m不超过m第一种生产方式

第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：

，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

参考答案：解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：

超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

19.（本小题满分14分）已知函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）求函数的单调区间；（3）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为{且}

…1分且∴为偶函数

…3分（Ⅱ）当时，

…4分若，则，递减；

若，

则，递增．

…6分再由是偶函数，得的递增区间是和；递减区间是和．

…8分（Ⅲ）方法一：要使方程有实数解，即要使函数的图像与直线有公共点．函数的图象如图．…

9分先求当直线与的图象相切时的值．当时，设切点为，则切线方程为，将代入，得即

（*）………………

10分显然，满足（*）而当时，，当

时，∴（*）有唯一解

…

12分此时再由对称性，时，也与的图象相切，…13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

…

14分方法二：由，得：

…

9分令当，

…10分显然时，，递减时，，递增∴时，

…

12分

又，为奇函数∴时，∴的值域为（－∞，－1]∪[1，＋∞）

…13分∴若方程有实数解，则实数的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

…

14分略20.如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．参考答案：考点：弦切角；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．解答： 解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．

…点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．21.已知函数．（Ⅰ）求函数f

(x)的定义域及最大值；（Ⅱ）求使≥0成立的x的取值集合．参考答案：【知识点】三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．（Ⅰ）定义域为{x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z}．最大值为（Ⅱ）x的取值集合为{x|≤x≤且，k∈Z}．解：（Ⅰ）cosx≠0知，k∈Z，即函数f

(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z}．………3分又∵，∴．……………8分（Ⅱ）由题意得，即，解得≤≤，k∈Z，整理得≤x≤，k∈Z．结合x≠kπ，k∈Z知满足f(x)≥0的x的取值集合为{x|≤x≤且，k∈Z}．……………12分【思路点拨】（1）根据函数f（x）的解析式可得cosx≠0，求得x的范围，从而求得函数f（x）的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，从而求得函数的最大值．（2）由题意得，即，解得x的范围，再结合函数的定义域，求得满足f（x）≥0的x的取值集合．22.（本小题满分13分）已知圆的方程