湖南省株洲市第十六中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

湖南省株洲市第十六中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={x|x2﹣5x﹣14＜0}，B={x|x＞1，x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集，找出交集的个数即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣7）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜7，即A={x|﹣2＜x＜7}，∵B={x|x＞1，x∈N}，∴A∩B={x|1＜x＜7，x∈N}={2，3，4，5，6}，则A∩B的元素的个数为5．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知点在经过两点的直线上，那么的最小值为

A.

B.

C.

D.不存在参考答案：B3.在等差数列=

A.24

B.22

C.20

D.－8参考答案：A4.设为虚数单位，则复数=(

)

参考答案：依题意：略5.右图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

(

)A．

B．C．

D．参考答案：A略6.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（

）

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：D7.已知函数是以2为周期的偶函数，且当的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.已知函数(其中是实数)，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A.

B.C.

D.参考答案：C9.设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D∵奇函数在上是增函数，，，∴，又，∴，从而有函数的图象如图，则有不等式的解集为解集为或，选D.10.已知下列命题中：（1）若，且，则或，（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，，满足，则（4）若与平行，则其中假命题的个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角的大小为

。参考答案：12.已知均为正数，且，则的最大值为

参考答案：13.直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为，因此最短弦长为．【解答】解：由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点（0，1））的距离为，当圆心到直线kx﹣3y+3=0的距离最大时（即等于圆心（1，3）到定点（0，1））的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2=．故答案为：2．【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题14.如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.参考答案：考点：1、二元一次不等式组表示的平面区域；2、直线的方程.15.已知夹角为60°的向量，满足，，若，，则的最小值为______.参考答案：【分析】根据提示，可建立如图表示的坐标系，表示向量模的几何意义，再根据数形结合表示向量模的最小值.【详解】根据已知可建立如图坐标系，，，，，则，，，设，，，点的轨迹是以为圆心，的圆，，，，即点的轨迹方程是，表示两点间距离，如图，的最小值是圆心到直线的距离减半径，圆心到直线的距离是，的最小值是.故答案为：【点睛】本题考查向量模最小值，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是将向量的模转化为直线与圆的位置关系.

16.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则A、B为焦点，过点C的椭圆的离心率．参考答案：略17.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，,垂足为D,与相交与点F，则的长为

。.参考答案：本题考查三角形射影定理、圆中弦的性质和相似三角形对应边成比例，难度较大。连接AB，AC，因为A，E为半圆周的三等分点，所以AB=AE=EC=2，BC为直径则为直角三角形，因为,所以解得BD=1,则AD=。过点E作EM,交BC与点M,则有，所以即，因此。所以AF=。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

对于任意的实数恒成立，记实数M的最大值是m．

（1）求m的值；

（2）解不等式参考答案：解：（I）不等式恒成立，即对于任意的实数恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值．

…………2分因为，当且仅当时等号成立，即成立，也就是的最小值是2．…………5分

（2）解法1：利用绝对值的意义得：解法2：当，所以x的取值范围是解法3：构造函数的图象，利用图象有得：

………………10分19.（13分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥PC；（2）求证：BD∥平面PEC；（3）求锐角二面角D﹣PC﹣E的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，通过计算，证明AF⊥PC．（2）取PC的中点M，连接EM．证明BD∥EM．然后证明BD∥平面PEC．（3）求出平面PCD的一个法向量．平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角D﹣PC﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：依题意，PA⊥平面ABCD，如图，以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，4，0），D（4，0，0），P（0，0，4），E（0，4，2），F（2，0，2）．∵，，∴，∴AF⊥PC．（2）证明：取PC的中点M，连接EM．∵M（2，2，2），，，∴，∴BD∥EM．∵EM?平面PEC，BD?平面PEC，∴BD∥平面PEC．（3）解：∵AF⊥PD，AF⊥PC，PD∩PC=P，∴AF⊥平面PCD，故为平面PCD的一个法向量．设平面PCE的法向量为，∵，，∴即令y=1，得x=1，z=2，故．∴，∴锐二面角D﹣PC﹣E的余弦值为．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行，直线与直线垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知命题：方程有两个不相等的负实数根；命题：关于a的不等式.如果“或”为真命题,“且”为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：或21.

其市有小型超市72个，中型超市24个，大型超市12个，现采用分层抽样方法抽取9个超市对其销售商品质量进行调查，

（I） 求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数

（II） 若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X).参考答案：解：（1）抽取大型超市个数：（个）抽取中型超市个数：（个）抽取小型超市个数：（个）

（2）;;

分布列为X0123P

所以略22.在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积．求sinC的值．参考答案：(1)(2)【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简已知等式可得的值，结合A的范围，可得A值；（2）利用三角形的面积公式可