九年级数学上册专题24 定点定长构造辅助圆（解析版）

/专题24定点定长构造辅助圆1．如图，已知，，，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图，，点、、在以点为圆心，以的长为半径的圆上；，，，，而，，故选：．2．如图，在四边形中，，则的大小是A． B． C． D．【解答】解：由，，则可添加辅助圆，有，故选：．3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为A．2 B． C．3 D．【解答】解：连接，点和关于对称，，在以圆心，3为半径的圆上，当，，三点共线时，最短，，，，故选：．4．如图，正方形中，为中点，，，交于，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图，连接、．，，，，，是等边三角形，，点是的外接圆的圆心，，四边形是正方形，，，，，，，．解法二：连接．易知，故选：．5．如图，已知等边的边长为8，以为直径的圆交于点．以为圆心，长为半径作图，是上一动点，为的中点，当最大时，的长为A． B． C． D．12【解答】解：点在上运动时，点在以为圆心的圆上运动，要使最大，则过，连接，是等边三角形，是直径，，是的中点，为的中点，为的中位线，，，，，故，故选：．二．填空题（共6小题）6．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为．【解答】解：为坐标平面内一点，，点的运动轨迹是在半径为2的上，如图，取，连接，点为线段的中点，是的中位线，，最大值时，取最大值，此时、、三点共线，此时在中，，，的最大值是．故答案为：．7．如图，四边形中，，且，若，则，．【解答】解：，点，，在以为圆心的圆上，，，，，，．故答案为：，．8．如图所示，，，则．【解答】解：，、、三点在以点为圆心，以为半径的圆上．，．故答案为：．9．如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则，．【解答】解：连接，、分别是、的中垂线，，、、在以为圆心，为半径的圆上，，，，，，，又，．故答案为：，．10．如图，，如果是的倍，那么是的倍．【解答】解：，点、、在以为圆心的圆上，，，，，故答案为：11．如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是，点到线段的最短距离是．【解答】解：连接，作于，，点在以为圆心，为半径的圆上运动，在中，由勾股定理得，，的最小值为，，四边形是矩形，，点到线段的最短距离是2，故答案为：，2．三．解答题（共9小题）12．如图，在中，，过点作，，连接交于点．是的中点，连接交于．（1）若，求的度数；（2）若，且，求四边形的面积．【解答】解：（1）如图1中，，，，，是等边三角形，，，、、三点在上，．（2）如图2中，连接．，，，，垂直平分，，设，则，，，，，，，在中，，，，．13．如图，，，，求的度数．【解答】解：，，，在以为圆心，为半径的圆上，，，，，．14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则．如图，中，，，．（2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小．（3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．【解答】（1）以为圆心，为半径作辅助圆，如图，，，，故答案为．（2）连接，，如图，，中，，，．，，．为斜边中点，，线段平移到之后，，，四边形为菱形，，，，且，四边形为直角梯形，，（3）如图所示，当边沿方向平移2个单位至时，满足且此时四边形的面积最大，此时直角梯形的最大面积为，．15．在中，，，、分别平分和，求证：．【解答】解：连接，取中点，连接，，，，、分别平分和，，，在和中，，分别是斜边的中线，，，，、、、四点在以为圆心，为半径的圆上，，是等腰直角三角形，．16．如图，在中，，垂直平分，且，连接（1）求证：；（2）设交于点，若是等腰三角形，求的度数．【解答】解：（1）证明：作的外接圆，延长交圆于点，连接、，如图所示，则有．垂直平分，，，，是等边三角形，．，，点为所作圆的圆心，．（2）①若，则．，．，，．，，解得：②若，同理可得：．③，此时与重合，则与重合，不符合题意，故舍去．综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或．17．【阅读】辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．性质：如图①，若，则点在经过，，三点的圆上．【问题解决】运用上述材料中的信息解决以下问题：（1）如图②，已知．求证：．（2）如图③，点，位于直线两侧．用尺规在直线上作出点，使得．（要求：要有画图痕迹，不用写画法）（3）如图④，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，．求证：是外接圆的切线．【解答】解：（1）如图②，由，可知点，，在以为圆心，为半径的圆上．所以，．（2）如图③，点，就是所要求作的点．（3）如图④，取的中点为圆心，为直径作圆，则是的外接圆；由，可得点在的外接圆上．．，．，．．即．是外接圆的切线．18．在中，，，，分别是边，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，设旋转角为，记直线与的交点为．（1）如图1，当时，线段的长等于，线段的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当时，求证：，且；（3）求点到所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【解答】（1）解：，，，分别是边，的中点，，等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，设旋转角为，当时，，，，；故答案为：，；（2）证明：当时，如图2，△是由绕点逆时针旋转得到，，，在△和△中，△△，，且，记直线与交于点，，，；（3）解：如图3，作，交所在直线于点，，在以为圆心，为半径的圆上，当所在直线与相切时，直线与的交点到直线的距离最大，此时四边形是正方形，，则，故，则，故点到所在直线的距离的最大值为：．19．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，求点到边距离的最小值．【解答】解：如图，延长交于，，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当时，点到的距离最小，，，，，，，，，，，，，，点到边距离的最小值为1.2．20．如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点．（1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：，、、三点在以为圆心以为半径的圆上．．（2）若，求的长．（3）线段最大值为；若取的中点，则线段的最小值为．【解答】解：（1），、、三点在以为圆心以为半径的圆上，，故答案为：，45；（2）由折叠可知，垂直平分