2023届山东省青岛市高三下学期第二次适应性检测数学试题

2023届山东省青岛市高三下学期第二次适应性检测数学试题1.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：交集答案：A解析：，，

所以故选A.2.已知为坐标原点，复数，，分别表示向量，，，若，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：复平面内的点、复数及平面向量向量坐标与向量的数量积用向量的坐标表示两个向量垂直的条件答案：C解析：由题意可得，，所以，

又，所以，所以，

则

故选C.3.已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：函数奇、偶性的图象特征函数图象的识别答案：D解析：，的定义域均为，且,，所以为奇函数，为偶函数

由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB，当时，，排除C，

故选D．4.某教育局为振兴乡村教育，将名教师安排到所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排名教师，则不同的安排情况有（

）A.

种

B.

种

C.

种

D.

种知识点：排列组合中的分组分配答案：D解析：由于每所学校至少安排名教师，则不同的安排情况有种故选D.5.在边长为的小正方形组成的网格中，如图所示，则（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：余弦定理及其应用同角三角函数基本关系的综合应用答案：A解析：依题意，，，

由余弦定理，即，

解得，显然为锐角，所以，

所以

故选A.6.已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，，则的面积是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：直线与抛物线的综合应用抛物线的定义答案：B解析：过点作垂直于准线，垂足，过点作垂直于准线，垂足为，

设准线与轴相交于点，

如图，

则，，

在中，，所以，所以，

在中，，

所以，所以

又轴，，所以

又抛物线，则,

所以，所以抛物线，点

因为，所以直线的斜率，

则直线，

与抛物线方程联立,消并化简得,

设点，则，

则

又直线可化为，

则点到直线的距离,

所以

故选:B.7.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：立体几何中的探索问题二面角棱柱、棱锥、棱台的体积答案：C解析：由题意得：

，，

，

，

，

，

当时，的最大值为，

故选C.

8.设表示不超过的最大整数（例如：，），则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：错位相减法求和对数的运算性质答案：B解析：当时，，即，共有个

因为，故

，

设，①

则，②

①②，得

，

所以

所以

故选B.9.底面为菱形的直棱柱各棱长均为，，点是线段上的动点，点分别是棱的中点，则（

）A.

直线与为异面直线

B.

直线平面C.

存在点，使

D.

直线与所成的角为知识点：空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直用空间向量判断两直线为异面直线用空间向量研究两条直线所成的角用空间向量研究空间中直线、平面的平行答案：A；B；C解析：设交于，交于，

因为为直棱柱，且底面为菱形，所以两两垂直，

以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，

因为各棱长均为，，

所以，，，，，，，

又因为点是线段上的动点，所以设，，

选项A：因为，，令，无解，所以直线与为异面直线，正确；

选项B：，，，

设平面的法向量，则，

令得平面的一个法向量为，

因为，所以直线平面，正确；

选项C：，，令解得，

所以存在点，使，正确；

选项D：，，因为，

所以直线与所成的角不为，错误；

故选：ABC10.天宫课堂是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌为了解学生对天宫课堂的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（

）

喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂男生女生参考公式及数据：①，

②当时，.A.

从这名学生中任选人，已知选到是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为B.

用样本的频率估计概率，从全校学生中任选人，恰有人不喜欢天宫课堂的概率为C.

根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联D.

对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为，女生的平均成绩为，则参加测试的学生成绩的均值为知识点：古典概型的应用独立性检验及其应用答案：B；C解析：对于A：从这名学生中任选人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误；

对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选人，

恰有人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确；

对于C：因为，

所以根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；

对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为、，

又男生平均成绩为，女生的平均成绩为，所以参加测试的学生成绩的均值为，故D错误；

故选BC.11.年法国数学家傅里叶指出任何音乐声都是形如的纯音合成的复合音若一个复合音的数学模型是函数，则（

）A.

的最小正周期为B.

的图象关于直线对称C.

在区间上单调递增D.

当时，最小值为，则知识点：三角函数的性质综合答案：B；D解析：由题意，函数，

对于选项A，因为，

所以不是函数的最小正周期，故选项A错误；

对于选项B，因，

，

所以直线是函数的一条对称轴，故选项B正确；

对于选项C，因为，

当，单调递增，且，

因为当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

由复合函数的单调性可知：函数在区间先增后减，故选项C错误；

对于选项D，由选项C可知，当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

当时，函数，当时，函数，当时，函数，

因为时，时，，

由复合函数的单调性可知：当时，最小值为，则，

故选项D正确，

故选：BD.12.已知函数有四个零点，则（

）A.

B.

C.

D.

若，则知识点：利用导数求参数的取值范围利用导数解决函数零点问题答案：B；C；D解析：由题意知有四个不同的根，显然，即，

令，即，即．

另外，，

令得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时，，如图所示：

根据题意知存在两根，，不妨设，

则满足，．

即有，，

则由图象可知，所以，故A不正确；

由于方程的两根，满足，所以，解得，故B正确；

由，，得，

两边取自然对数得，故C正确；

由，两边取自然底数得

若，则，所以

，

令，所以恒成立，所以在上单调递减，又，且，所以，故正确

故选：．13.某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，已知，若写出一个符合条件的的值为

​.知识点：正态曲线的性质答案：（或

（中的任意一个数均可））解析：因为，且，则，且，故若，则故答案为（中的任意一个数均可）.14.与曲线和圆都相切的直线的方程为

​.知识点：直线与抛物线的综合应用直线和圆相切答案：解析：如图，

由题意得，当切线的斜率不存在时，显然不符合题意；

当切线的斜率存在时，设切线方程为，

当时，显然不符合题意；

当时，因为切线与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，

即，化简得

又因为切线和曲线相切，联立方程组，

消去得，即，

则，即

所以，解得或

当时，，舍去；当时，

所以切线方程为，即

故答案为：15.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为由椭圆的光学性质知，、、三点共线若，，则

​.知识点：椭圆的对称性椭圆的定义答案：解析：如图所示：

因为点关于的对称点为，则，

因为，且，

所以，所以，

可得，则，

所以，故

故答案为：.16.已知动圆和定圆的半径均为，动圆自初始位置（如图，圆心的坐标为，圆上的点的坐标为，逆时针沿圆滚动，则在滚动过程中，点的纵坐标的最大值为

​

知识点：导数与最值与圆有关的最值问题答案：解析：如图所示，设圆绕圆逆时针转的弧长为，对应的圆心角为，

因为圆和圆的半径都是，所以，即，且，

过点作轴，再过点作，垂足为，可得,

设，则，不妨设，

设，可得，

令，即，解得或，

当，即时，，函数单调递减；

当，即时，，函数单调递增，

所以时，即时，函数取得极大值，也是最大值，

即时，函数取得最大值，最大值为

故答案为：

17.如图，矩形中，，，为的中点，现将，分别沿，向上翻折，使点，分别到达点，的位置，且平面，平面均与平面垂直（如图）

(1)证明：，，，四点共面；(2)求直线与平面所成角的正弦值知识点：立体几何中的四点共面、三点共线立体几何中的折叠问题用空间向量研究直线与平面所成的角答案：(1)分别取的中点，连接，

因为，所以

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面

同理可得平面，所以

在中，，所以，同理，

所以四边形是平行四边形，所以

因为分别是的中点，所以，所以，

所以，，，四点共面.(2)在图（）中，，所以，所以

取的中点，连接，则，所以

由（），两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为，

因为，

则，令，可得

又因为，设直线与平面所成的角为，

所以

所以直线与平面所成角的正弦值为.解析：(1)略(2)略18.在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求；(2)若点为边的中点，点，分别在边，上，，设，将的面积表示为的函数，并求的取值范围知识点：余弦定理及其应用解三角形中的最值（范围）问题答案：(1)因为，所以，

即，所以

因为，所以.(2)由及可知为等边三角形

又因为，，所以

在中，，

由正弦定理可得,，即

在中，，

由正弦定理可得，，即

所以

因为

，

因为，所以，

所以，所以

所以，所以，

所以

所以的取值范围为.解析：(1)略(2)略19.已知数列为：，，，，，，，，，，，，，，即先取，接着复制该项粘贴在后面作为，并添加后继数作为；再复制所有项，，并粘贴在后面作为，，，并添加后继数作为，依次继续下去记表示数列中首次出现时对应的项数.(1)求数列的通项公式；(2)求知识点：等比数列的定义与证明分组求和法答案：(1)由题意知：，即，且，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，则.(2)由（）可知，，所以在前项中出现次，在前项中出现次，在前项中出现次，在前项中出现次，在前项中出现次，在前项中出现次，

所以.解析：(1)略(2)略20.为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐建悦读小屋自年以来，某村一直在组织开展悦读小屋读书活动下表是对年以来近年该村少年儿童的年借阅量的数据统计：年份年份代码年借阅量（册）

（参考数据：）(1)在所统计的个年借阅量中任选个，记其中低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；(2)通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种模型作为年借阅量关于年份代码的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的经验回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好知识点：统计分析的应用超几何分布线性回归模型的最小二乘法残差答案：(1)由题知，年的借阅量的平均数为：，又，则

所以低于平均值的有个，所以服从超几何分布，，

所以，，，

所以的分布列为：

所以；(2)因为，

所以，即

所以模型②的经验回归方程为：，

根据模型①的经验回归方程可得：，

根据模型②的经验回归方程可得：

因为​​​​，且

所以模型①的残差平方和大于模型②的残差平方和，所以模型②的拟合效果更好.解析：(1)略(2)略21.已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，离心率等于，点是双曲线在第一象限上的点，直线与轴的交点为，的周长等于，.(1)求的方程；(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，对应的切点为，证明：直线与椭圆相切于点，且知识点：直线与椭圆的综合应用直线与双曲线的综合应用双曲线的定义圆锥曲线的定值、定点问题答案：(1)由题意知，，

又因为，

所以，

所以，又因为，所以，

所以的方程为：.(2)设，则，

，，

设切线的斜率分别为，设的方程为：，

因为，所以，

所以，

所以

（）

因为，整理得，

即，所以，同理：，

因为切线均过点，同理根据上面可知，

为的两解，所以，

所以，为直角三角形，

因为，所以，

所以，同理：，

所以直线的方程为：，

将直线：，代入椭圆的方程：可得：

，即，

所以，，

所以直线与椭圆相切，切点，

所以，所以，

所以

解析：(1)略(2)略22.已知函数，.(1)讨论极值点的个数；(2)若恰有三个零点和两个极值点①证明：；②若，且，证明：知识点：导数与极值利用导数证明不等式利用导数解决函数零点问题导数中的极值点偏移（双变量问题）答案：(1)由题知，

设函数，

当时，开口向上，，

所以，在上单调递减，无极值点；

当时，在