人教版高中数学必修第二册 第八章 立体几何初步 课件6份打包

第第页人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步课件（6份打包）(共117张PPT)

空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1平面

1.平面的概念

几何里所说的“”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的。几何里的平面是无限延展的。

平面

【思考】

几何中的平面有什么特点？

提示：（1）平面是平的。

（2）平面是没有厚度的。

（3）平面是无限延展而没有边界的。

2.平面的画法

（1）水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍。如图①。

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来。如图②。

3.平面的表示法

如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD。

4.点、线、面之间的关系

（1）直线在平面内的概念：

如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l。

（2）直线、平面都可以看成点的集合。点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作Pl；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作Pα；直线l在平面β内，记作lβ；直线l在平面α外，记作lα。

【思考】

直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？

答案：点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“”或“”表示。

5.平面的基本事实及推论

基本事实内容图形符号

基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面α使A，B，C∈α

基本事实内容图形符号

基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈αlα

基本事实内容图形符号

基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈βα∩β=l，且P∈l

推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（图①）。

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面（图②）。

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面（图③）。

【思考】

三个基本事实各有什么作用？

提示：基本事实1：确定平面。

基本事实2：确定直线在平面内。

基本事实3：确定两个平面相交，确定三点共线、三线共点。

【素养小测】

1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）

（1）一条直线和一个点可以确定一个平面。（）

（2）四边形是平面图形。（）

（3）两条相交直线可以确定一个平面。（）

【解析】（1）×。一条直线和直线外一个点可以确定一个平面。

（2）×。四边形不一定是平面图形。

（3）√。两条相交直线可以确定一个平面。

2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记

为（）

A.平面MNB.平面NQ

C.平面αD.平面MNPQ

【解析】选A。表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP。

3.已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确个数是________。

①A∈l，A∈α，B∈l，B∈αlα

②A∈α，A∈β，B∈α，B∈βα∩β=AB

③lα，A∈lAα

④A∈l，lαA∈α

【解析】由基本事实2知，①正确；由基本事实3知，②正确；若l∩α=A，显然有lα，A∈l，但是A∈α，③错误；④正确。

答案：3

类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

【典例】1.点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（）

A.P∈a，aαB.Pa，aα

C.Pa，a∈αD.P∈a，a∈α

2.用符号表示下列语句，并画出图形。

（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B。

（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上。

【思维·引】解决本例的关键是，要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“”，“”，“”，“∩”的意义。

【解析】选A。

2.（1）用符号表示：α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B，如图。

（2）用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α=C，CAB，如图。

【内化·悟】

根据题目给出符号语言作图时，要注意哪些问题？

提示：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意分清点线面之间的关系，作图时要注意实线和虚线的区别。

【类题·通】

三种语言的转换方法

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示。

（2）要注意符号语言的意义。如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”。

【习练·破】

根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形。

（1）A∈α，Bα。

（2）lα，m∩α=A，Al。

（3）P∈l，Pα，Q∈l，Q∈α。

【解析】（1）点A在平面α内，点B不在平面α内。

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上。

（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。

图形分别如图①，②，③所示。

类型二点、线共面问题

【典例】证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内。

【思维·引】证明多线共面，一般先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面内。

【解析】已知：如图所示，l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C。

求证：直线l1，l2，l3在同一平面内。

【证明】方法一（纳入法）：

因为l1∩l2=A，所以l1和l2确定一个平面α。因为l2∩l3=B，所以B∈l2。又因为l2α，所以B∈α。同理可证C∈α。又因为B∈l3，C∈l3，所以l3α。

所以直线l1，l2，l3在同一平面内。

方法二（重合法）：

因为l1∩l2=A，所以l1、l2确定一个平面α。

因为l2∩l3=B，所以l2、l3确定一个平面β。

因为A∈l2，l2α，所以A∈α。因为A∈l2，l2β，所以A∈β。

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β。

所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内。

所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内。

【内化·悟】

在该例中，如何确定一个平面，确定平面的理论依据是什么？如何判断一条直线在平面内，理论依据是什么？

提示：确定平面，可以根据基本事实1或三个推论，在本例中，确定平面的依据是推论2；判断一条直线在平面内，关键是找到这条直线上的两个点在这个平面内，理论依据是基本事实2。

【类题·通】

证明直线共面常用的方法

（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内。

（2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合。

【习练·破】

下列说法正确的是（）

①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面。

A.①②B.②③C.②④D.③④

【解析】选C。不共线的三点确定一个平面，所以①错；圆上的三点一定不共线，所以可以确定一个平面，②对；如果四点共线，无法确定平面，所以③错；根据推论3，两条平行线确定一个平面，所以④对。

类型三点共线、线共点问题

角度1三点共线问题

【典例】如图，E，F，G，H分别是空间四

边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且

直线EH与直线FG交于点O。

求证：B，D，O三点共线。

【思维·引】先证O∈平面ABD以及O∈平面BCD，从而O∈平面ABD∩平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，从而O∈BD，得证B，D，O共线。

【证明】因为E∈AB，H∈AD，

所以E∈平面ABD，H∈平面ABD。所以EH平面ABD。

因为EH∩FG=O，所以O∈平面ABD。

同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，

所以O∈BD，即B，D，O三点共线。

【素养·探】

证明三点共线问题时，常用到逻辑推理的核心素养。

若把本例改为：已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，如图所示。求证：P，Q，R三点共线。

【证明】因为AP∩AR=A，

所以直线AP与直线AR确定平面APR。

又因为AB∩α=P，AC∩α=R，所以平面APR∩平面α=PR。

因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC平面APR。

因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α，

所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线。

角度2三线共点问题

【典例】如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB

的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=

2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点。

【思维·引】EF，GH交于一点BD经过EF与GH交点EF、GH、BD共点。

【证明】如图可知，平面ABD∩平面BCD=BD。

易知FH∥AC且FH=AC，GE∥AC且GE=AC，

所以FH∥GE且GH，EF交于点O。

因为GH平面ABD，O∈GH。

所以O∈平面ABD。

因为EF平面BCD，O∈EF。

所以O∈平面BCD，因为平面ABD∩平面BCD=BD，

所以O∈BD。所以EF，GH，BD交于一点。

【类题·通】

证明三线共点常用的方法

（1）先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点在两个平面内。于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点。

（2）也可以说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点。

注意：证明线共点主要利用基本事实1，基本事实3作为推理的依据。

【习练·破】

如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点。求证：FE，HG，DC三线共点。

【证明】如图所示，连接C1B，GF，HE，

由题意知HC1∥EB，且HC1=EB，

所以四边形HC1BE是平行四边形，

所以HE∥C1B。

又C1G=GC，CF=BF，

所以GF∥C1B，且GF=C1B。

所以GF∥HE，且GF≠HE，

所以HG与EF相交。设交点为K，

所以K∈HG，HG平面D1C1CD，

所以K∈平面D1C1CD。

因为K∈EF，EF平面ABCD，

所以K∈平面ABCD，

因为平面D1C1CD∩平面ABCD=DC，

所以K∈DC，

所以EF，HG，DC三线共点。

8.4.2

空间点、直线、平面之间的位置关系

1.异面直线

（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线。

（2）异面直线的画法。

2.空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

【思考】

分别在不同平面内的两条直线是异面直线吗？

提示：不一定。分别在两个平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线。

3.直线与平面的位置关系

位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平

面α平行

公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平

面α平行

符号表示aαa∩α=Aa∥α

图形表示

【思考】

可以根据公共点的个数判断直线与平面的位置关系吗？

提示：可以，0个公共点时，直线与平面交行；1个公共点时，直线与平面相交；多个公共点时，直线在平面内。

4.两个平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

公共点没有公共点有无数个公共点

（在一条直线上）

符号表示α∥βα∩β=l

图形表示

【思考】

判断平面与平面相交时的理论依据是什么？

提示：判断平面与平面相交时的理论依据是基本

事实3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

【素养小测】

1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）

（1）两条直线无公共点，则这两条直线平行。（）

（2）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线。（）

（3）若直线与平面不相交，则直线与平面平行。（）

（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。（）

【解析】（1）×。空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面。

（2）×。过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线。

（3）×。若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行。

（4）×。当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行。

2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）

A.平行或异面B.相交或异面

C.异面D.相交

【解析】选B。一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条相交或异面。

3.已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则（）

A.过P，Q的平面一定与α，β都相交

B.过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行

C.过P，Q的平面不一定与α，β都平行

D.过P，Q可作无数个平面与α，β都平行

【解析】选C。当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A。

类型一空间两条直线的位置关系

【典例】1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填序号）。

【思维·引】1.把展开图还原成空间图形，再进行判断。

2.根据异面直线的定义，保证两条直线不同在任何一个平面内。

【解析】1.选C。把平面展开图折合成正方体，观察相对位置的变化，可知AB与CD，EF与GH，AB与GH是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行。故异面直线有且仅有3对。

2.如题干图①中，直线GH∥MN；

题干图②中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；

题干图③中，连接MG（图略），GM∥HN，因此，GH与MN共面；

题干图④中，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所以GH与MN异面。

答案：②④

【内化·悟】

平面几何中的定理、结论在空间几何体中能直接使用吗？

提示：不能。要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测。

【类题·通】

1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍

（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系。特别关注异面直线。

（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系。

2.判定两条直线是异面直线的方法

（1）证明两条直线既不平行又不相交。

（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。用符号语言可表示为Aα，B∈α，Bl，lα，则AB与l是异面直线。

【习练·破】

1.若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则（）

A.a∥cB.a，c是异面直线

C.a，c相交D.a，c平行或相交或异面

【解析】选D。若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c可以平行，可以相交，可以异面。

2.若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c（）

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

【解析】选C。若a∥b，a，c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c。

类型二直线与平面的位置关系

【典例】1.若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（）

A.直线上所有的点都在平面外

B.直线上有无数多个点都在平面外

C.直线上有无数多个点都在平面内

D.直线上至少有一个点在平面内

2.下列四个命题中正确命题的个数是（）

①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α；

④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α。

A.0B.1C.2D.3

【思维·引】1.根据直线上有一点在平面外，判断直线与平面的位置关系，再判断结论的对错。

2.根据题意叙述，适当构造图形，判断直线与平面的位置关系。

【解析】1.选B。直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外。

2.选B。如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；

③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确。

【内化·悟】

在本例2中必须构造正方体才能解决这个问题吗？

提示：本题中，也可以不构造正方体，根据每个小题的叙述，逐题作图，判断。

【类题·通】

在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断。

【习练·破】

1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）

A.α内的所有直线都与直线a异面

B.α内不存在与a平行的直线

C.α内的直线都与a相交

D.直线a与平面α有公共点

【解析】选D。直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或aα。

2.一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（）

A.l∥αB.l⊥α

C.l与α相交但不垂直D.l∥α或lα

【解析】选D。当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当lα时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个；当l与α斜交时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个。

类型三平面与平面的位置关系

【典例】已知下列说法：

①两平面α∥β，aα，bβ，则a∥b；

②若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，aα，bβ，则a与b平行或异面；

⑤若两个平面α∩β=b，aα，则a与β一定相交。

其中正确的序号是________（将你认为正确的序号都填上）。

【思维·引】由平面间的位置关系逐一判断。

【解析】①错。a与b也可能异面。

②错。a与b也可能平行。

③对。因为α∥β，所以α与β无公共点。

又因为aα，bβ，所以a与b无公共点。

④对。由已知及③知：a与b无公共点，

那么a∥b或a与b异面。

⑤错。a与β也可能平行。

答案：③④

【类题·通】

1.平面与平面的位置关系的判断方法

（1）平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点。

（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点。

2.常见的平面和平面平行的模型

（1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行。

（2）长方体的六个面中，三组相对面平行。

【习练·破】

两平面α、β平行，aα，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；

②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；

④a与β无公共点。

其中正确命题的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】选B。①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确。

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基本立体图形

第1课时

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

1.空间几何体、多面体的概念

（1）空间几何体

如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

（2）

一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

多面体

【思考】

多面体怎样分类？

提示：（1）按多面体是否在任一面的同侧关系分，可分为凸多面体（把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧）和凹多面体。我们所研究的多面体若不特别说明，都是指凸多面体。

（2）多面体按围成它的面的个数分，可分为四面体、五面体、六面体…

2.棱柱

（1）棱柱的结构特征：

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

（2）棱柱的图形表示：

（3）棱柱的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四棱柱ABCD-A′B′C′D′。

【思考】

棱柱具有哪些重要的特征？

提示：（1）侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形。

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

3.棱锥

（1）棱锥的结构特征：

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

（2）棱锥的图形表示：

（3）棱锥的表示方法：如上图所示，该棱锥可表示为四棱锥S-ABCD。

【思考】

棱锥的结构特征中应注意什么？

提示：对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形。

4.棱台

（1）棱台的结构特征：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。

（2）棱台的图形表示：

（3）棱台的表示方法：如上图所示的棱柱，可记为四棱台ABCD-A′B′C′D′。

【思考】

棱台具有哪些重要的特征？

提示：棱台的上下底面必须平行，各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台。

【素养小测】

1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）

（1）棱柱的侧面都是平行四边形。（）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥。（）

（3）正三棱锥也称为正四面体。（）

【解析】（1）√。棱柱的两个底面是全等的多边形，侧面是平行四边形。

（2）×。其余各面都是有一个公共顶点的三角形。

（3）×。正四面体是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体。

2.下列关于棱柱的说法中正确的是（）

A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高

C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行

【解析】选D。由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确。

3.下面四个几何体中，是棱台的是（）

【解析】选C。由棱台的概念知侧棱延长应交于一点。

4.面数最少的多面体有________个面。

【解析】面数最少的多面体是四面体（三棱锥），有4个面。

答案：4

类型一棱柱的结构特征

【典例】1.下列说法中，正确的是（）

A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

2.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1。

（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由。

【思维·引】根据棱柱的结构特征判断。

【解析】1.选D。A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点。

2.（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义。

（2）截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1。

【内化·悟】

怎样判断棱柱的底面？

提示：棱柱的底面，不是看到直观图“位置”上的上下底面，而是平行且全等的那两个多边形。

【类题·通】

棱柱结构特征问题的解题策略

1.有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：

①两个面互相平行；

②其余各面是四边形；

③相邻两个四边形的公共边互相平行。求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征。

2.多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除。

【习练·破】

1.下列几何体是棱柱的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【解析】选D。棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行。当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱。很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合。

2.下列关于棱柱的说法错误的是（）

A.所有的棱柱两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行

C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

【解析】选C。对于A，B，D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱。如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误。

类型二棱锥、棱台的结构特征

【典例】1.下列三种叙述，正确的有（）

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.如图在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是（）

A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.三棱台

【思维·引】根据棱锥、棱台的结构特征判断。

【解析】1.选A。①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错。

2.选B。剩余部分为四棱锥A′-B′BCC′。

【内化·悟】

棱台能不能由棱锥截得？

提示：能。

【类题·通】

判断棱锥、棱台形状的两个方法

（1）举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确。

（2）直接法：

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

【习练·破】

下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②棱锥的侧面只能是三角形；

③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。

其中正确说法的序号是________。

【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥。

答案：①②

类型三多面体的表面展开图

【典例】1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（对面是相同的图案）（）

2.如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？

【思维·引】1.正方体的平面展开图以其中一个面不动把其他面展开。

2.常见几何体的定义与结构特征空间想象或动手制作平面展开图进行实践。

【解析】1.选A。由选项验证可知选A。

2.图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；

图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点。把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台。

【类题·通】

多面体展开图问题的解题策略

（1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型。在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图。

（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推。同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图。

【习练·破】

如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（）

A.①③B.②④C.③④D.①②

【解析】选C。可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体。

第2课时

圆柱、圆锥、圆台、球、

简单组合体的结构特征

1.圆柱、圆锥、圆台、球

【思考】

（1）圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否互相转化？

提示：它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不相等的圆；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥。

（2）球与球面有何区别？

提示：球与球面是两个完全不同的概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分；球是实心的，球面是空心的。

2.组合体的结构特征

（1）定义：由简单几何体组合而成的几何体。

（2）基本形式：

【思考】

怎样正确认识简单组合体？

提示：（1）准确理解简单几何体（柱、锥、台、球）的结构特征。

（2）正确掌握简单组合体构成的两种基本形式。

（3）若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或面）。

【素养小测】

1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）

（1）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是

圆锥。（）

（2）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是

圆台。（）

（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个

圆台。（）

【解析】（1）×。应以直角三角形的一条直角边为轴。

（2）×。应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴。

（3）×。应是平面与圆锥底面平行时。

2.圆锥的侧面展开图是（）

A.三角形B.长方形

C.正方形D.扇形

【解析】选D。圆锥的侧面展开图是扇形。

3.如图所示的组合体的结构特征是（）

A.一个棱柱中截去一个棱柱

B.一个棱柱中截去一个圆柱

C.一个棱柱中截去一个棱锥

D.一个棱柱中截去一个棱台

【解析】选C。由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥。

类型一旋转体的结构特征

【典例】1.下列结论：

①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线相互平行。

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

2.下列说法中正确的是（）

①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；

②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；

③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；

④球面上任意三点可能在一条直线上；

⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段。

A.①②③B.②③④C.②③⑤D.①④⑤

【思维·引】根据圆柱、圆锥、圆台以及球的定义及结构特征进行判断。

【解析】1.选D。①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符。③若所取两点连线的延长线不与轴交于一点，则不符合圆台母线的定义。②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质。

2.选C。由球的结构特征可知②③⑤正确。

【内化·悟】

判断简单旋转体结构特征应注意哪两个方面的问题？

提示：（1）明确由哪种平面图形旋转而成。

（2）明确旋转轴是哪条直线。

【类题·通】

1.判断旋转体形状的步骤

（1）明确旋转轴l。

（2）确定平面图形中各边（通常是线段）与l的位置关系。

（3）依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状。

2.与简单旋转体的截面有关的结论

（1）圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面。

（2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面（即过旋转轴的截面）分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形。

【习练·破】

给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体。其中说法正确的是_______。（填序号）

【解析】①正确，圆柱的底面是圆面；

②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③不正确，圆台的母线延长，相交于一点；

④不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体。

答案：①②

类型二简单组合体的结构特征

【典例】1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在

直线旋转一周，所得的几何体包括（）

A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥

C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥

2.描述下列几何体的结构特征。

【思维·引】1.先将平面图形割补成三角形、矩形，再旋转识别几何体。

2.关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成。

【解析】1.选D。图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥。

2.题干图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；题干图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；题干图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体。

【内化·悟】

常见的简单旋转体有哪些？

提示：圆柱、圆锥、圆台和球。

【类题·通】

识别简单组合体的结构特征的策略

（1）组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割。

（2）用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线（或面），进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体。

【习练·破】

如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC=45°。将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征。

【解析】如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的。

类型三空间几何体中的计算问题

【典例】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长。

【思维·引】过圆锥的轴作截面图，利用三角形相似解决。

【解析】设圆台O′O的母线长为lcm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm，4rcm，过轴SO作截面，如图所示。

则△SO′A′∽△SOA，SA′=3cm。

所以。所以

解得l=9，即圆台O′O的母线长为9cm。

【类题·通】

1.简单旋转体的轴截面及其应用

（1）简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量。

（2）在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想。

2.与圆锥有关的截面问题的解决策略

（1）画出圆锥的轴截面。

（2）在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可。

【习练·破】

有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度。

【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图所示），

由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC==5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm。

谢谢(共173张PPT)

空间直线、平面的平行

8.5.1直线与直线平行

1.基本事实4

平行于同一条直线的两条直线平行。

【思考】

平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？

提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等。

2.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？

提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等。

【素养小测】

1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）

（1）分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线。（）

（2）如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平行。（）

提示：（1）×。也可能是相交直线。

（2）×。等角定理的逆定理不成立。

2.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45°，则另一个角为________。

【解析】若一个角两边和另一个角两边分别平行，

则这两个角相等或互补，由一个角为45°，则另一个角为45°或135°。

答案：45°或135°

3.已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________。

【解析】如图所示，MNAC，

因为ACA′C′，所以MNA′C′。

答案：平行

类型一空间中两直线平行的判定及应用

【典例】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且

。求证：四边形GHFE是梯形。

【思维·引】根据梯形的定义证明。

【证明】因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，所以EF∥BD，且EF=BD，

因为G，H分别是BC，CD边上的点，且，

所以HG∥BD，且HG=BD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形GHFE是梯形。

【内化·悟】

本题中证明线线平行用了哪些定理？

提示：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4。

【类题·通】

关于空间中两直线平行的证明

（1）辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边。

（2）证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系。

【习练·破】

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点。

求证：EE1∥FF1。

【证明】连接EF，E1F1，A1C1，AC，

由长方体ABCD-A1B1C1D1知，ACA1C1，

因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，

所以由三角形中位线定理得：EFAC，

同理E1F1A1C1，

所以EFE1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，

故EE1∥FF1。

【加练·固】

如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，点E为AA1的中点，点F为CC1的中点，求证：EB∥FD1。

【证明】取DD1的中点M，连结AM，FM，

因为FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，

所以四边形FMAB为平行四边形，可得BF∥AM，且BF=AM，

又因为四边形AMD1E也是平行四边形，

所以ED1∥AM，且ED1=AM，

所以BF∥ED1，且BF=ED1，可得四边形EBFD1是平行四边形，所以EB∥FD1。

类型二等角定理的应用

【典例】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点。

求证：∠NMP=∠BA1D。

【思维·引】证明两个角的两边分别平行。

【证明】如图，连接CB1，CD1，

因为CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，

所以A1D∥B1C。

因为M，N分别是CC1，B1C1的中点，

所以MN∥B1C，所以MN∥A1D。

因为BC∥A1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥CD1。

因为M，P分别是CC1，C1D1的中点，

所以MP∥CD1，所以MP∥A1B，

所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，所以∠NMP=∠BA1D。

【内化·悟】

两个角的边分别平行时，怎样区分两个角相等还是互补？

提示：如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，否则互补，也可以通过观察两角是锐角还是钝角，如果同为锐角或钝角，则两角相等。

【类题·通】

关于等角定理的应用

（1）根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行。

（2）根据角的两边的方向判定两角相等。

【习练·破】

如图所示，△ABC和△A′B′C′的

对应顶点的连线AA′，BB′，CC′

交于同一点O，且

（1）求证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′。

（2）求的值。

【解析】（1）因为AA′∩BB′=O，且

所以△AOB∽△A′OB′，所以∠ABO=∠A′B′O，

所以AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′。

（2）因为A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和

A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′。

同理∠ABC=∠A′B′C′，∠ACB=∠A′C′B′，

所以△ABC∽△A′B′C′且

所以

【加练·固】

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点。

求证：（1）四边形MNA1C1是梯形。

（2）∠DNM=∠D1A1C1。

【证明】（1）如图，连接AC，在△ACD中，

因为M，N分别是CD，AD的中点，

所以MN是三角形的中位线，所以MN∥AC，MN=AC。

由长方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1。

所以MN∥A1C1，且MN=A1C1，即MN≠A1C1，

所以四边形MNA1C1是梯形。

（2）由（1）可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，

所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补。

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，

所以∠DNM=∠D1A1C1。

类型三空间中直线平行关系的综合应用

角度1共面问题

【典例】如图，已知正方体ABCD-

A1B1C1D1，E，F，G，H分别是AD1，

CD1，BC，AB的中点。

求证：E，F，G，H四点共面。

【思维·引】证明EF∥HG即可。

【证明】如图，连接AC。

因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC。

因为G，H分别是BC，AB的中点，所以GH∥AC。

所以EF∥GH。所以E，F，G，H四点共面。

【素养·探】

在证明共面问题时，常常用到核心素养中的逻辑推理，将共面问题转化为平行问题，通过证明线线平行证明四点共面。

将本例的条件改为“”，试证明EH与FG交于一点。

【证明】连接AC，因为E，F分别是AD1，CD1的中点，

所以EF∥AC，EF=AC。

因为，所以GH∥AC，GH=AC。

所以EF∥GH，EF≠GH，

所以四边形EFGH是梯形，所以EH与FG交于一点。

角度2探究问题

【典例】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，直线l与MN是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由。

【思维·引】先作出直线l，再利用比例关系证明是否平行。

【解析】连接BM并延长，交DA于点E，连接PE，

则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，因为底面ABCD是平行四边形，所以AE∥BC，

所以△AEM∽△CBM，所以

因为点M，N分别在AC，PB上，

且AM=MC，BN=BP，

所以MN∥PE，即直线l∥MN。

【类题·通】

1.关于共面问题

根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行。

2.关于探究问题

处理探究问题时一般假设其存在，再进行证明，或先选取如中点等特殊位置进行验证，再给出严格证明。

【习练·破】

如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H

分别是边AB，BC，CD，DA的中点。

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形。

（2）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形。

【解析】（1）在△ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，

所以EF∥AC，且EF=AC，

同理有GH∥AC，且GH=AC，

所以EF∥GH且EF=GH，

故四边形EFGH是平行四边形。

（2）当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：

若AC=BD，则有EH=EF，

又因为四边形EFGH是平行四边形，

所以四边形EFGH是菱形。若AC⊥BD，则EH⊥EF，

所以菱形EFGH是正方形。

8.5.2直线与平面平行

1.直线与平面平行的判定定理

（1）定理：如果一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

（2）符号：

（3）实质：

平面外

aα，bα，且a∥ba∥α。

线线平行线面平行，即空间问题转化为平面问题。

【思考】一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面一定平行吗？

提示：不一定，该直线也可能在平面内。

2.直线与平面平行的性质定理

（1）定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该。

（2）符号：

（3）实质：

直线与交线平行

a∥α，aβ，α∩β=ba∥b。

线面平行线线平行，即线面平行蕴含线线平行。

【思考】一条直线与一个平面平行，该直线与此平面内任意直线平行吗？

提示：不一定，可能是异面直线。

【素养小测】

1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）

（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α。（）

（2）若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点。（）

（3）平行于同一平面的两条直线平行。（）

提示：（1）×。直线也可能与平面相交。

（2）√。若有公共点，则平行不成立。

（3）×。两条直线可能平行，也可能相交或异面。

2.能保证直线与平面平行的条件是（）

A.直线与平面内的一条直线平行

B.直线与平面内的某条直线不相交

C.直线与平面内的无数条直线平行

D.直线与平面内的所有直线不相交

【解析】选D。A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内。

B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交。

C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内。

D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行。

3.如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（）

A.MN∥PDB.MN∥PA

C.MN∥ADD.以上均有可能

【解析】选B。四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，

MN平面PAC，平面PAC∩平面PAD=PA，

由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA。

类型一直线与平面平行判定定理的应用

【典例】（2023·常熟高一检测）如图，

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，

D，E分别是AB，B1C的中点。

求证：DE∥平面ACC1A1。

【思维·引】构造中位线或平行四边形，利用线线平行证明。

【证明】方法一：连接BC1，AC1，

因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点，

因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1，

又DE平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，

所以DE∥平面ACC1A1。

方法二：连接A1C，AC1交于O，连接OE，

则O是A1C的中点，又E是B1C的中点，

所以OE∥A1B1，OE=A1B1，

又AD∥A1B1，AD=A1B1，

所以OEAD，

所以四边形ADEO是平行四边形，

所以AO∥DE，

因为AO平面ACC1A1，DE平面ACC1A1，

所以DE∥平面ACC1A1。

【内化·悟】

构造中位线、平行四边形的关键是什么？

提示：想象出相应的三角形、四边形。

【类题·通】

关于线面平行的判定

（1）充分利用平面图形中的平行关系，如三角形中中位线平行于底边，平行四边形对边平行，梯形的两底平行等。

（2）连接平行四边形的对角线是常作的辅助线，因为平行四边形的对角线相互平分，可以得到中点从而构造平行关系。

（3）书写步骤时一定要注明面外直线，面内直线，避免步骤扣分。

【习练·破】

1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）

A.不存在B.有1条

C.有2条D.有无数条

【解析】选D。由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，则它们都与平面D1EF平行，故选D。

2.（2023·宁德高一检测）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点。

求证：AC1∥平面CDB1。

【证明】连接BC1交B1C于点E，连接DE，

又因为四边形BCC1B1为平行四边形。

所以E是BC1的中点，

因为D是AB的中点，所以DE∥AC1，

因为DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

所以AC1∥平面CDB1。

【加练·固】

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，E为棱CC1的中点。求证：AC∥平面B1DE。

【证明】连接AC1，交B1D于点O，连接OE，

则OE为△ACC1的中位线，

所以OE∥AC，

又OE平面B1DE，AC平面B1DE，

所以AC∥平面B1DE。

类型二直线与平面平行性质定理的应用

【典例】（2023·玄武高一检测）一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，

（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？

（2）在面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？

【思维·引】根据线面平行，作出截面与各个表面的交线即可。

【解析】（1）取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，分别连接PD，PF，EF，DE，

则PD，PF，DE，EF即为应画的线。

（2）因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，

因为平面ABC∩平面PDEF=EF，

所以AC∥EF。

【内化·悟】

利用线面平行的性质定理需要满足哪两个前提条件？

提示：一是线面平行，二是存在或作出过直线的平面与已知平面的交线。

【类题·通】

关于线面平行性质定理的应用

（1）如果题目中存在线面平行的条件，寻找或作出交线是前提，也是关键。

（2）对应画线问题，要根据线面平行，确定出平行的直线后画出。

【习练·破】

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上。若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________。

【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，

所以AC=2。又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C=AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点，所以EF=AC=。

答案：

【加练·固】

如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，DE与AB不重合，证明：DE∥AB。

【证明】因为ABC-A1B1C1为三棱柱，

所以A1B1∥平面ABC，

又平面A1B1ED∩平面ABC=DE，

所以A1B1∥DE，

又A1B1∥AB，

所以DE∥AB。

类型三直线与平面平行判定、性质定理的综合应用

角度1线面平行关系的综合应用

【典例】如图所示，四边形EFGH为空间

四边形ABCD的一个截面，若截面为平行

四边形。

求证：AB∥平面EFGH。

【思维·引】先由线线平行推线面平行，再利用线面平行推出线线平行，进而证明线面平行。

【证明】因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG。因为HG平面ABD，所以EF∥平面ABD。

因为EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，AB平面EFGH。所以EF∥AB。

因为AB平面EFGH，EF平面EFGH，

所以AB∥平面EFGH。

【素养·探】

在确定线面平行的条件时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过线面平行与线线平行的相互转化证明。

本例的条件改为“截面EFGH与AB，CD分别平行”，

试证明截面EFGH是平行四边形。

【证明】因为AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EF，AB平面ABC，

所以AB∥EF，

因为AB∥平面EFGH，平面ABD∩平面EFGH=GH，AB平面ABD，所以AB∥GH，

由基本事实4可得：EF∥GH，同理可得EH∥FG，

所以四边形EFGH为平行四边形。

角度2线面平行条件的确定

【典例】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）

【思维·引】从特殊点入手寻找，再验证是否符合。

【解析】取CC1中点P，连接A1P，

因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，

所以当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，

因为A1P平面BCD，CD平面BCD，

所以当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD。

答案：P是CC1中点

【类题·通】

关于线面平行关系的综合应用

判定和性质之间的推理关系是由线线平行线面平行线线平行，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化。

【习练·破】

若在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上的一点，当点E满足条件________时，SC∥平面EBD。

【解析】当E为SA的中点时，连接AC，

设AC与BD的交点为O，连接EO。

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以点O是AC的中点。

又E是SA的中点，

所以OE是△SAC的中位线。

所以OE∥SC。

因为SC平面EBD，OE平面EBD，

所以SC∥平面EBD。

答案：SE=EA

8.5.3平面与平面平行

1.平面与平面平行的判定定理

（1）定理：如果一个平面内的与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（2）符号：

（3）实质：

两条相交直线

aα，bα，a∩b=P，a∥β，b∥βα∥β。

线面平行面面平行

【思考】定理中的“相交”能否去掉？

提示：不能，如果是两条平行直线与另一个平面平行，两个平面也可能相交。

2.平面与平面平行的性质定理

（1）定理：

（2）符号：

（3）实质：

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么交线平行。

α∥β，α∩γ=a，β∩γ=ba∥b。

面面平行线线平行

【思考】由面面平行能推出线面平行？

提示：能，两个平面平行，其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。

【素养小测】

1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）

（1）如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。（）

（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线平行。（）

（3）已知两个平面平行，若第三个平面与其中的一个平面平行，则也与另一个平面平行。（）

提示：（1）×。这无数条直线可能是平行直线。

（2）×。也可能是异面直线。

（3）√。第三个平面与另一个平面也没有公共点，所以也是平行的。

2.下列命题中不正确的是（）

A.平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β

B.平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面β

C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行

D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

【解析】选A。A中，平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a不一定平行于平面β；因为a有可能在平面β内；故错误；

B中，平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面β，由面面平行可得一个平面内的线与另一平面平行，故正确；

C中，一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，由面面平行的判定可知结论正确；

D中，分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线；由面面平行的性质可知结论正确。

3.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP=1，BP=4，CD=6，那么CP=

________。

【解析】因为平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，

直线AB与CD交于点P，所以AC∥BD，

所以，因为AP=1，BP=4，CD=6，

所以，所以CP=2。

答案：2

类型一平面与平面平行判定定理的应用

【典例】如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点。

求证：平面MNQ∥平面PBC。

【思维·引】在平面MNQ中，分别证明两条直线与平面PBC平行。

【证明】因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，

点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，

所以N是AC的中点，

所以MN∥PC，

又因为PC平面PBC，MN平面PBC，

所以MN∥平面PBC。

因为M，Q分别是PA，PD的中点，

所以MQ∥AD∥BC，

又因为BC平面PBC，MQ平面PBC，

所以MQ∥平面PBC。

因为MQ平面MNQ，MN平面MNQ，MQ∩MN=M，

所以平面MNQ∥平面PBC。

【内化·悟】

要证明面面平行，需要先证明什么？

提示：先证明线线平行。

【类题·通】

平面与平面平行的判定方法

（1）定义法：两个平面没有公共点。

（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。

（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β。

（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

【习练·破】

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点。

求证：平面MDB1∥平面ANC。

【证明】如图，连接MN。

因为M，N分别是所在棱的中点，

所以四边形AMB1N和四边形MNCD是平行四边形。

所以MB1∥AN，CN∥MD。

又因为MB1平面MDB1，AN平面MDB1，所以AN∥平面MDB1，

同理可证CN∥平面MDB1，

又因为AN∩CN=N，

AN平面ANC，CN平面ANC，

所以平面MDB1∥平面ANC。

类型二平面与平面平行性质定理的应用

【典例】（2023·南昌高一检测）如图，

平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，

N，线段AD分别交α，β于C，D，线段

BF分别交α，β于F，E，若AM=9，MN=11，NB=15，

S△FMC=78。求△END的面积。

【思维·引】根据两个平面平行，确定两边的比值，再由面积的比求另一个三角形的面积。

【解析】因为平面α∥β，又平面AND∩平面α=MC，

平面AND∩平面β=ND，所以MC∥ND，

同理EN∥FM，

又AM=9，MN=11，NB=15，

所以

又∠FMC=∠END，

所以

因为S△FMC=78，所以S△END=100。

故△END的面积为100。

【内化·悟】

本例中推出FM∥NE，MC∥ND的依据是什么？FC与ED平行吗？为什么？

提示：依据一是α∥β，二是FM与NE，MC与ND分别共面。不一定平行，也可能异面。

【类题·通】

1.应用平面与平面平行性质定理的步骤

2.关于平行平面分线段

类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理。

【习练·破】

如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D。

（1）求证：AC∥BD。

（2）已知PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长。

（3）若点P在α与β之间，试在（2）的条件下求CD的长。

【解析】（1）因为PB∩PD=P，

所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ，

则α∩γ=AC，β∩γ=BD。

又α∥β，所以AC∥BD。

（2）由（1）得AC∥BD，所以

所以CD=cm，

所以PD=PC+CD=（cm）。

（3）同（1）得AC∥BD，所以△PAC∽△PBD。

所以

所以，所以PD=cm。

所以CD=PC+PD=3+（cm）。

类型三平面与平面平行关系的综合应用

角度1面面平行条件的探究

【典例】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中

点，设Q是CC1上的点，当点Q在________

位置时，平面D1BQ∥平面PAO。（）

A.Q与C重合B.Q与C1重合

C.Q为CC1的三等分点D.Q为CC1的中点

【思维·引】从特殊点入手进行探究。

【解析】选D。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，

所以PO∥BD1，

因为Q是CC1上的点，当点Q在CC1的中点位置时，

PQAB，

所以四边形ABQP是平行四边形，

所以AP∥BQ，

因为AP∩PO=P，BQ∩BD1=B，

AP，PO平面APO，BQ，BD1平面BQD1，

所以平面D1BQ∥平面PAO。

【素养·探】

在探究面面平行的过程中，常常用到核心素养中的直观想象，想象出平行平面的位置，从而确定面面平行的条件。

本例中，若Q是AA1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO。

【解析】当Q在AA1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，

所以PO∥BD1，

因为PO面BD1Q，BD1面BD1Q，

所以PO∥面BD1Q，

因为Q是AA1上的点，当点Q在AA1的中点位置时，AQD1P，

所以四边形AQD1P是平行四边形，

所以AP∥D1Q，

因为PA面BD1Q，D1Q面BD1Q，

所以PA∥面BD1Q，

又PA∩PO=O，所以平面D1BQ∥平面PAO。

角度2空间平行关系的综合应用

【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证：

（1）MN∥平面CC1D1D。

（2）平面MNP∥平面CC1D1D。

【思维·引】（1）利用平行四边形构造线线平行证明。

（2）利用线线平行证明线面平行。

【证明】（1）连接AC，CD1，

因为ABCD是正方形，N是BD的中