湖北省随州市联兴中学高三数学文下学期摸底试题含解析

湖北省随州市联兴中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i是虚数单位，复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===2+i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知复数，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（

）A.(0,－1) B.(0,1) C.(1,－1) D.(－1,0)参考答案：A【分析】根据复数除法运算求得，从而可得对应点的坐标.【详解】

对应的点坐标为：本题正确选项：【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到复数的除法运算，属于基础题.3.设D为△ABC所在平面内一点，，则(

)A． B．C． D．参考答案：A【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．4.设为虚数单位，则复数的虚部是（

）A．3

B．

C．1

D．-1参考答案：D.试题分析：由复数的概念即可得出复数的虚部是，故应选D.考点：１、复数的概念.5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：①的值域为M，且Mí；②对任意不相等的，∈，都有|－|<|－|．那么，关于的方程=在区间上根的情况是A．没有实数根

B．有且仅有一个实数根C．恰有两个不等的实数根

D．有无数个不同的实数根参考答案：B略7.已知向量

B

C

D

参考答案：D8.函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.已知函数的图象在点处的切线斜率为，数列的前项和为，则的值为A. B. C. D.参考答案：C略10.已知复数（其中，是虚数单位），则的值为

（

）A．

B．

C．0

D．2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为虚数单位，复数，则复数的实部是___________；

．参考答案：,.12.已知，若是的充分条件，则实数a的取值范围是

．参考答案：略13.已知向量p＝(1，－2)，q＝(x,4)，且p∥q，则p·q的值为________．参考答案：-10略14.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为．参考答案：95【考点】众数、中位数、平均数．【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可．【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，则92×50=90×30+20x，解得：x=95，故答案为：95．15.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是___________分钟．参考答案：4016.曲线在点(－1，－1)处的切线方程为

.

参考答案：17.不等式对于任意非零实数，均成立，则实数的最大值为

▲

.参考答案：，设，（）得：无解，所以，即的最大值为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。参考答案：（1）,(2)知识点：轨迹方程的求法;斜率的取值范围;分类讨论思想.解析：解：（1）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：（2）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：

①与双曲线T： ②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 ③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是 ④或 ⑤解方程④得，解方程⑤得.综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集.思路点拨：(1)先求直线AB、AC、BC的方程，在求出点到AB、AC、BC的距离依次为d1，d2，d3．由此能求出点的轨迹方程．

(2)点P的轨迹包含圆：与双曲线：．△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由，解得．设的方程为．再分情况讨论能够求出直线的斜率的取值范围．19.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N两点.(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.参考答案：(1)由C：ρsin2θ＝2acosθ，得(ρsinθ)2＝2aρcosθ，所以曲线的普通方程为y2＝2ax.由直线l的参数方程，消去参数t，得x－y－2＝0.……5分(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝2ax,得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a).因为|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2.解得a＝1.………10分20.（12分）在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验.已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响.（Ⅰ）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；

（Ⅱ）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率.参考答案：解析：（Ⅰ）解：记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.

----------1分由题意，事件A包括以下两个互斥事件：1事件B：有2件甲批次产品检验不合格.由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得；

-------------3分2事件C：3件甲批次产品检验都不合格.由相互独立事件概率乘法公式，得；

所以，“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为；-------6分（Ⅱ）解：记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D.

由题意，事件D包括以下两个互斥事件：

1事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有1件乙批次产品检验不合格.其概率；

---------------9分2事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格.其概率；所以，事件D的概率为.

---------------12分21.已知点是椭圆的一个焦点,点在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,且(O为坐标原点),求直线l斜率的取值范围.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由题可知，椭圆的另一个焦点为，利用椭圆的定义，求得，再理由椭圆中，求得的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，在由，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。【详解】（Ⅰ）由题可知，椭圆的另一个焦点为，所以点到两焦点的距离之和为.所以.又因为，所以，则椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意.故设直线的方程为，，，联立，可得.所以而，由，可得.所以，又因为，所以.综上，.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。22.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（2－a）（x－1）－2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）＝f（x）＋x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y＝f（x）在区间（0，）内无零点，求实数a的最小值．参考答案：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无